巧用最值定义,简解湖南省2012年高考数学文理科压轴题

巧用最值定义,简解一道高考压轴题 易正红 (湖南省岳阳县第一中学,414100) 问题源于2012年高考数学湖南卷理科试题第22题.原题如下: 已知函数 ,其中 . (Ⅰ)若对一切 恒成立,求 的取值集合; (Ⅱ)在函数 的图象上取定两点 ,记直线 的斜率为 .问:是否存在 ,使 成立?若存在,求 的取值范围;若不存在,请说明理由. 下面是命题组提供的标准解答. 解 (Ⅰ)若 ,则对一切 , 这与题设矛盾.又 ,故 . 而 ,令 ,得 . 当 时, , 递减;当 时, 递增.故当 时, 取最小值 .于是对一切 恒成立,当且仅当 .……① 令 ,则 .当 时, ,单调递增;当 时, 递减. 故当 时, 取最大值 . 因此,当且仅当 ,即 时,①式成立. 综上所述, 的取值集合为 . （Ⅱ）由题知, , 令 ,则 令 则 .故当 时, 单调递减;当 时, 单调递增. 故当 时, 即 .从而 , 所以 . 因为函数 在区间 上的图象是连续不断的一条曲线,所以存在 ,使得 ,又 单调递增,故这样的 是唯一的,且 . 故当且仅当 ,使 . 综上所述,存在在 ,使 成立,且 的取值范围为 . 笔者认为上述解法中,至少有两处解答可简化. 第一,在第(Ⅰ)问中若能运用最值定义,则完全可以避免再构建函数求导过程; 第二,在第(Ⅱ)中若能应用第(Ⅰ)问的结论,则直接可证明 ,构造函数求导完全是多余的. 为此我们先来回顾一下最小值的含义[1]: 一般地,设函数 的定义域为 ,如果存在实数 满足: (1) 对于任意的 ,都有 ; (2) 存在 ,使得 . 那么,我们称 是函数 的最小值. 下面给出笔者的解答. 解 (Ⅰ) 注意到 ,且对 恒成立,即 .所以由函数的最小值含义知, , 又若 ,则当 时, ,这与题设矛盾,又 ,故 . 又 时,得 ,且当 时, , 递减,当 时, , 递增; 故当且仅当 时,函数 有最小值. 又已知 ,也所以 ,即 . 所以 的取值集合为{1} (Ⅱ)假设存在 ,使 成立. 由题知 . 又由(Ⅰ)知, 令 ,则 ,即 在 上单调递增; 又因为 , 而由(Ⅰ)已知 时,对 时,有不等式 成立,当 时取等号,即 ; 所以 ,又 , 所以 即 ,可见 , 又 , 同理由 , 得 ,又 , 所以 , 即 ,可见 , 所以函数 在区间 上有唯一的零点 ,使得 . 显然当 时, ,即 , 又由 ,求得 . 也所以存在 使 成立,即假设成立. 值得提出的是,以同样的方法可以简化解答2012年高考数学湖南卷文科试题第22题,这里就不再赘述,有兴趣的读者不妨一试. 评注: ①《2012年普通高等学校招生全国统一考试湖南卷考试说明》(数学)中强调“考纲要求”理解函数最大值、最小值及其几何意义,并在“考纲阐释”中明确指出,这是提升对数形结合、几何直观等数学思想方法的考查要求[2].就这一点而言,2012年高考湖南省数学卷压轴题(文理科)的第(Ⅰ)问的命题是很成功的,考查了考生对函数 、 图象的联想运用,但美中不足的是命题者似乎未发现其对“函数最值含义” 的考查功能,而片面地追求所谓的“导数强大功能”去“构造函数”. ②“(Ⅰ)为(Ⅱ)用”是高考试题有力区分考生分析解决问题的重要表现形式,2012年高考湖南省数学卷压轴题(文理科)的第(Ⅱ)问也不例外,但可惜的是命题者似乎忽略了这一点,依然为展示“导数强大功能”, 而舍近求远的“构造函数”,其作为“标准解法”是非常不利于导向中学数学教学的,也违背了按照考生思维“最近发展区”而分析解决问题的教育规律[3]. 参考文献: [1] 课程教材研究所,中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书.数学必修1, 版.北京:人民教育出版社,2007 [2] 湖南省教育考试院,2012年普通高等学校招生全国统一考试湖南卷考试说明.长沙:湖南教育出版社,2012年1月 [3] 付海伦. 思维的“最近发展区”及其开发.中学数学教学参考,1996年第7期