【2017年整理】第五章不定积分习题课参考答案

【2017年整理】第五章不定积分习题课参考 1994786098.doc - 1 - 第五章 不定积分 x,例1 为的一个原函数～则, 。 e，cosxf(x)f(x) xxx,解: 由已知为的导函数～即 e，cosxf(x)fxexex()(cos)sin,，,, xx,,所以～ fxexex()(sin)cos,,,, 12,例2 设为的原函数～求:。 x，xxf(x)dxf(x),0 22,解: 由已知为的导函数～即 x，xf(x)xxfx，,() 1111123243,xfxxxxxxxxxxxC()d()d()d,，,，,，，所以～ ,,,00043 例3 求下列不定积分: 231,2x(x,1)dx?, ?( dx2,,1，xx 分析:用分项积分法～ 5311,332，，(1)331xxxx,,，,2222解: ?, dd33dxxxxxxx,,,，,,,1,,,x，，2x 75313(1)26x,2222故 d22xxxxxC,,，,，,75x 221232(1)3,,，xx，，? dd2d3arctan2xxxxxC,,,,,，,,,222,,111，，，xxx，， 1例4 计算不定积分:dx。 ,x(2x，1) 1(21)21211xx，,，，,解: ddddd(21)xxxxx,,,,,，,,,,,,,,xxxxxxxx(21)(21)2121，，，，，， 1故 dlnln21xxxC,,，，,xx(21)， f(x)dx,F(x)，Cf(sinx)cosxdx例5 设～则, 。 ,, fxxxfxxFxC(sin)cosd(sin)d(sin)(sin),,，解: ,, 例6 求下列不定积分: 1994786098.doc - 2 - dxxdx11?, ?, ?, sindx22,,,2x1，xxx1,lnx凑微分求不定积分～必须牢记基本积分公式类型～这样就不会被复杂的式子所迷 惑～同时为提高凑微分技巧～应熟悉常见的微分公式( 常用的凑微分积分类型: 1nn,1nn?, f(ax，b)xdx,f(ax，b)d(ax，b),,an ?, f(sinx)cosxdx,f(sinx)dsinx,, 2?, f(tanx)secxdx,f(tanx)dtanx,, 1?, f(arctanx)dx,f(arctanx),darctanx2,,1，x 1xxxxxxxx?f(a)adx,f(a)da,?, f(e)edx,f(e)de,,,,lna 1?f(lnx)dx,f(lnx)dlnx( ,,x 2xxxd1d(1)1，2解: ? , ,,，，ln(1)xC,,221212，，xx 11111? , sindsind()cosxC,,,，2,,xxxxx ddlnxx? ,,，arcsin(ln)xC,,22xxx1ln1ln,, 2xedx例7 计算:, x,1，e 2xxxeee(1)11，,xxxxxxddddd(1+)ln(1)xeeeeeeC,,,,,,，，解: ,,,,,xxxx1111，，，，eeee 32例8 计算:x,1，xdx。 , 4133322223: xxxxxxC,，,，，,，，1d1d(1)(1)解 ,,28 1dx例9 计算。 ,xlnx 11dd(ln)lnlnxxxC,,，解: ,,xxxlnln 例10 求下列不定积分: dxdx1,lnx,xdx1，edx?, ?, ?, ?( ,,2,,222(x,lnx)xx,1x4，x 1994786098.doc - 3 - 11,xx,2tant分析:?令或～?令～?令～?令( x,x,t,1，ex,secttt 第二类换元法常用代换有:根式代换～三角代换～倒代换～其中三角代换可使被 积函数消去根号而有理化～尤为多用(使用第二类换元法求出原函数后一定要将 变量回代(常用第二类换元法积分类型: 22nnx,asint?～令,?～令, t,ax，bf(x,ax，b)dxf(x,a,x)dx,, 2222x,atant?～令,?～令, f(x,a，x)dxf(x,x,a)dxx,asect,, 1?倒代换～常用于消去被积函数分母中的因子( x,xt ,,d1d111xx,,解: ?, ,,,，d()arcsinC2,2xxx,,11xx,1211(),,,,2xx x,0法, 当时～ 1令x,,tdd11xtt,,, ,,,,,,，,，darcsinarcsinttCC,,222tx,1,xxt,,11,1,2t x,0 当时～同理。 ,,,令xtt2tan, (,),,222dsecdsecd1cosdxtttttt?,,,,,,,,, 22,,,,22228tan8sintt，，xxtt44tan44tan d111x,,,,21 ,,，,，sind(sin)sintttCC,,22888sintxx4， 2xd4xx,， 由于～所以～。 sint,,，C,2228xx，4xx4， ,x22令则text,，,,-1)1,ln(,,,2(22)2tt,x? 1ddd，,,,,,,,,,,exttt,,,22-1-1tt ,x2111te,，,，，,x ,,,,,,，,,，,，2d2ln21lnttCeC 2,,,,x-1tt，1，，11，，e 1令 x,t1ln1ln11ln,，,，xtt?( dddxtt,,,,,222,,,1(ln)(1ln)xxttt,，2(ln)，tt 11x ,,，,，,，d(1ln)ttCC2,(1ln)(1ln)(ln)，，,ttttxx 24,xdx例11 计算:。 , 1994786098.doc - 4 - ,,令 xtt,,,2sin, [,]22222解: 4d44sin2cosd4cosd,,,,,,,,,,xxttttt,,, 1cos2，t,,，,，，4d2dcos2d22sin2ttttttC,,,2 2xxxxx4,2,，,,，,，,，2arcsin22arcsin4CxC22222 例12 求下列不定积分: xarcsinx2axdx?, ?, ?, ?( xlnxdxxsin3xdxxedx,,,,21,x一般被积函数为两类函数的乘积时～考虑用分部积分法～适当选取函数～ u,v 22222xxxxx1解: ?, xxxxxxxClndlnd()lndln,,,,,，,,,22224x ,,cos3cos3cos3cos3sin3xxxxxx?, xxxxxxCsin3dd()d,,,,,,，，,,,33339 axaxaxaxaxeeeee2222axdd()2d2d, ?xexxxxxxx,,,,,2,,,,aaaaa axaxaxaxaxax2，，eeexexee222,,,,,，，xxxC22d ,,2223,aaaaaa，， xxarcsin222?( darcsind(1)1arcsin1d(arcsin)xxxxxxx,,,,,,，,,,,21,x 1222 ,,,，,,,,，，1arcsin1d1arcsinxxxxxxxC,21,x 2xcosxdx例13 计算:, , 21cos2cos2sin2，xxxxx2解: xxxxxxxxxcosddddd(),,，,， ,,,,,22244 22xxxxxxxxsin2sin2sin2cos2,，,,，，，dxC ,444448 例14 求下列不定积分: 4xdxx，12,3xdxdx?, ?, ?( 32,,6,x,3x，2，，5xxx，1 x122,，,分析:?～?去分母的一次项～ 329(x,1)9(x，2)x,3x，23(x,1) 1994786098.doc - 5 - 42x，11x?计算有理函数的积分可分为两步进行～第一步:用待定,，626x，1x，1x，1 系数法或赋值法～将有理分式化为简单分式之和,第二步:对各简单分式分别积分(其中把被积函数变成部分分式是关键( 对有些有理函数的积分～应分析表达式的具体特点～采用一定技巧～如分项积分～变量代换等～简化计算过程( x122解: ?因为 ,，,329(x,1)9(x，2)x,3x，23(x,1) ，，xxd122所以～, ,，,dx32,,,,xxxxx,，,,，323(1)9(1)9(2)，， 122,,,,,，,,，d(1)d(1)d(2)xxx,,,23(1)9(1)9(2)xxx,,，,,, ,122,，,,，，ln1ln2xxC3(1)99x, 11令tx,，t,,2()32xxt,,,2323242? xxtt,,,,,dddd,,,,21191919xx，，5222xtt，，，，()2444 211982tt,,2,,,，,，d4dlnarctantttC,,,,19194221919,,tt，， , 44 821x，2,，，,，ln5arctanxxC，，1919 42x，11x,，?因为 626x，1x，1x，1 42xx，1111,3,,所以～dddarctandxxxxx,，,，( ,,,,6266,,xxxx，，，，11131, 4x，113darctanarctanxxxC,，， ,6x，13 例15 求下列不定积分: 31，，x，1dx?, ?( dx,,34x(1，x)x，1 分析:通过适当的变换将无理函数有理化( 323x，1令txxt,,, ，，t，11232432解: ?, dxtdttttdttttC,,,,,,,，,,，，22，，,,,t，123x，1 1994786098.doc - 6 - 3x，1，，122所以～ dxxxxxC,,，，,23x，1 44令txxt,,,11(1)1t，,3?( d4d4dxttt,,,,,,,,,,23334ttt(1)(1)，，xx(1)， ,,,,2312，， ,，,，，,,，，，，4(1)(1)d(1)4(1)2(1)tttttC,，， 124所以～ dxC,,，,32444xxxx(1)(1)1，，， 附 三角函数相关公式: (1) ; . sin()sincoscossin,,,,,,，,，sin()sincoscossin,,,,,,,,, (2) ; . cos()coscossinsin,,,,,,，,,sin()sincoscossin,,,,,,,,,(3) ;. . 2sincossin()sin(),,,,,,,，，,2cossinsin()sin(),,,,,,,，,, ;. . 2coscoscos()cos(),,,,,,,，，,,,，,,2sinsincos()cos(),,,,,, 222sincossin2,,,,2cos1cos2,,,，2sin1cos2,,,,(4) ;..; . 1994786098.doc - 7 -