高三文科数学立体几何(含答案)高三文科数学一摸专题复习(立体几何)
【基础知识点】
一、平行问题
1. 直线与平面平行的判定与性质
定义
判定定理
性质
性质定理
图形
条件
a∥α
结论
a∥α
b∥α
a∩α=
a∥b
2. 面面平行的判定与性质
判定
性质
定义
定理
图形
条件
α∥β,a?β
结论
α∥β
α∥β
a∥b
a∥α
...
高三文科数学一摸专题复习(立体几何)
【基础知识点】
一、平行问题
1. 直线与平面平行的判定与性质
定义
判定定理
性质
性质定理
图形
条件
a∥α
结论
a∥α
b∥α
a∩α=
a∥b
2. 面面平行的判定与性质
判定
性质
定义
定理
图形
条件
α∥β,a?β
结论
α∥β
α∥β
a∥b
a∥α
平行问题的转化关系:
二、垂直问题
一、直线与平面垂直
1.直线和平面垂直的定义:直线l与平面α内的 都垂直,就说直线l与平面α互相垂直.
2.直线与平面垂直的判定定理及推论
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直
推论
如果在两条平行直线中,有一条垂直于平面,那么另一条直线也垂直这个平面
3.直线与平面垂直的性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行
4.直线和平面垂直的常用性质
①直线垂直于平面,则垂直于平面内任意直线.
②垂直于同一个平面的两条直线平行.
③垂直于同一条直线的两平面平行.
二、平面与平面垂直
1.平面与平面垂直的判定定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直
2.平面与平面垂直的性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
性质定理
两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面
【典例探究】
类型一、平行与垂直
例1.如图,已知三棱锥
中,
为
中点,
为
中点,且△
为正三角形。
(Ⅰ)求证:
∥平面
;
(Ⅱ)求证:平面
平面
;
(Ⅲ)若
,
,求三棱锥
的体积。
例2. 如图,已知三棱柱
中,
底面
,
,
,
,
,
分别是
棱
,
中点.
(Ⅰ)求证:
平面
;
(Ⅱ)求证:
平面
;(Ⅲ)求三棱锥
的体积.
【变式1】. 如图,三棱柱
中,侧棱
平面
,
为等腰直角三角形,
,且
,
分
别是
的中点。
(1)求证:
平面
;
(2)求证:
平面
;
(3)设
,求三棱锥
的体积。
二、线面平行与垂直的性质
例3、如图4,在四棱锥
中,平面
平面
,
,
是等边三角形,已知
,
.
(1)求证:
平面
; (2)求三棱锥
的体积.
例4、如图,四棱锥P—ABCD中,
平面ABCD,底
面
为正方形,BC=PD=2,E为PC的中点,
(I)求证:
; (II)求三棱锥C—DEG的体积;
(III)AD边上是否存在一点M,使得
平面MEG。若存在,
求AM的长;否则,
理由。
【变式2】直棱柱ABCD-A1B1C1D1底面ABCD是直角梯形,
∠BAD=∠ADC=90°,AB=2AD=2CD=2.
(Ⅰ)求证:AC
平面BB1C1C;(Ⅱ) A1B1上是否存一点P,
使得DP与平面BCB1与平面ACB1都平行?证明你的结论.
三、三视图与折叠问题
例5、如图是一几何体的直观图、正视图、侧视图、俯视图。
若
为
的中点,求证:
面
;
(1) 证明:
∥面
;
(2) 求三棱锥
的体积。
例6.已知四边形
是等腰梯形,
(如图1)。
现将
沿
折起,使得
(如图2),
连结
。
(I)求证:平面
平面
;
(II)试在棱
上确定一点
,使截面
把几
何体分成两部分的体积比
;
(
)在点
满足(II)的情况下,判断直线
是否平行于平面
,并说明理由。
【变式3】一个四棱锥的直观图和三视图如下图所示,E为PD中点.科网
(I)求证:PB//平面AEC;(II)求四棱锥
的体积;
(Ⅲ)若F为侧棱PA上一点,且
,则
为何值时,
平面BDF.
【变式4】如图1所示,正
的边长为2a,CD是AB边上的高,E,F分别是AC,BC的中点。现将
沿CD翻折,使翻折后平面ACD
平面BCD(如图2)
(1)试判断翻折后直线AB与平面DEF的位置关系,并说明理由;
(2)求三棱锥C-DEF的体积。
四、立体几何中的最值问题
例8. 如图,在
交AC于 点D,现将
(1)当棱锥
的体积最大时,求PA的长;
(2)若点P为AB的中点,E为
【变式5】如图3,已知在
中,
,
平面ABC,
于E,
于F,
,
,当
变化时,求三棱锥
体积的最大值。
高三文科数学专题复习:立体几何平行、垂直问题(答案)
【典例探究】
例1解:(Ⅰ)∵
∴
∥
,又∴
∴
∥
(Ⅱ)∵△
为正三角形,且
为
中点,∴
又由(1)∴知
∴
又已知
∴
,
∴
,又∵
∴
,∴平面
平面
,
(Ⅲ)∵
,∴
,∴
又
,
∴
∴
例2.(Ⅰ)证明:因为三棱柱
中,
底面
又因为
平面
, 所以
.
因为
,
是
中点,
所以
.
因为
,
所以
平面
.
(Ⅱ)证明:取
的中点
,连结
,
,
因为
,
分别是棱
,
中点,
所以
,
.
又因为
,
,
所以
,
.
所以四边形
是平行四边形.
所以
.
因为
平面
,
平面
,
所以
平面
.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知
平面
.
所以
.
变式1.(1)根据中点寻找平行线即可;(2)易证
,在根据勾股定理的逆定理证明
;(3)由于点
是线段
的中点,故点
到平面
的距离是点
到平面
距离的
,求出高按照三棱锥的体积公式计算即可。
【解析】(1)取
中点
,连接
平行四边形
,
平面
,
平面
,
平面
。 (4分)
(2)等腰直角三角形
中
为斜边的中点,
又
直三棱柱
,
面
面
,
面
,
设
又
面
。 (8分)
(3)由于点
是线段
的中点,故点
到平面
的距离是点
到平面
距离的
。
,所以三棱锥
的高为
;在
中,
,所以三棱锥
的底面面积为
,故三棱锥
的体积为
。(12分)
二、线面平行与垂直的性质
例3.(1)证明:在
中,由于
,
,
,
∴
. …… 2分
∴
.
又平面
平面
,平面
平面
,
平面
,
∴
平面
. …… 4分
(2)解:过
作
交
于
.
又平面
平面
, ∴
平面
. …… 6分
∵
是边长为2的等边三角形, ∴
.
由(1)知,
,在
中,
斜边
边上的高为
. …… 8分
∵
,∴
. …… 10分
∴
. …… 14分
例4、(I)证明:
平面ABCD,
又∵ABCD是正方形,∴BC⊥CD,
∵PDICE=D, ∴BC⊥平面PCD
又∵PC
面PBC,∴PC⊥BC
(II)解:∵BC⊥平面PCD,∴GC是三棱锥G—DEC的高。
∵E是PC的中点,
(III)连结AC,取A C中点O,连结EO、GO,延长GO交AD于点M,则PA//平面MEG。
下面证明之
∵E为PC的中点,O是AC的中点,∴EO//平面PA,
又
,∴PA//平面MEG
在正方形ABCD中,∵O是AC中点,
≌
∴所求AM的长为
变式2.证明:(Ⅰ)直棱柱ABCD-A1B1C1D1中,BB1⊥平面ABCD,∴BB1⊥AC.
又∵∠BAD=∠ADC=90°,AB=2AD=2CD=2,
∴AC=
,∠CAB=45°,∴BC=
,∴BC⊥AC.
又BB1∩BC=B,BB1,BC
平面BB1C1C,∴AC⊥平面BB1C1C.
(Ⅱ)存在点P,P为A1B1的中点。
证明:由P为A1B1的中点,有PB1∥AB,且PB1=
AB.
又∵DC∥AB,DC=
AB,∴DC∥PB1,且DC=PB1,
∴DCB1P为平行四边形,从而CB1∥DP.又CB1∥
ACB1,DP
面ACB1,∴DP∥面ACB1.
同理,DP∥面BCB1.
例5、
(1)由几何体的三视图可知,底面
是边长为4的正方形,
面
,
∥
,
为
中点,
又
面
。
(2)取
的中点
,
与
的交点为
,
∥
,
∥
,故
为平行四边形,
∥
,
∥面
。
(3)
例6.答案略
变式3.解:(1)由三视图得,四棱锥底面ABCD为菱形,
棱锥的高为3,设
,则
即是棱锥
的高,底面边长是2,连接
,
分别
是
的中点,
∥
,
∥
(2)
(3)过
作
----10分
---------------12分
---------------14分
变式4.解:(1)判断:AB//平面DEF………………………………………………..2分
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