三角函数公式大全

三角函数公式大全 同角三角函数的基本关系式 倒数关系: 商的关系: 平方关系: 22tanα ?cotα,1 sinα，cosα,1 sinα/cosα,tanα,secα/cscα 22sinα ?cscα,1 1，tanα,secα cosα/sinα,cotα,cscα/secα 22cosα ?secα,1 1，cotα,cscα (六边形记忆法:图形结构“上弦中切下割，左 正右余中间1”;记忆方法“对角线上两个函数的 积为1;阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方 和等于下顶点的三角函数值的平方;任意一顶点 的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的 乘积。”) 诱导公式(口诀:奇变偶不变，符号看象限。) sin(,α),,sinα cos(,α),cosα tan(,α),,tanα cot(,α),,cotα sin(2π,α),,sinα sin(π/2,α),cosα sin(π,α),sinα sin(3π/2,α),,cosα cos(2π,α),cosα cos(π/2,α),sinα cos(π,α),,cosα cos(3π/2,α),,sinα tan(2π,α),,tanα tan(π/2,α),cotα tan(π,α),,tanα tan(3π/2,α),cotα cot(2π,α),,cotα cot(π/2,α),tanα cot(π,α),,cotα cot(3π/2,α),tanα sin(2kπ，α),sinα sin(π/2，α),cosα sin(π，α),,sinα sin(3π/2，α),,cosα cos(2kπ，α),cosα cos(π/2，α),,sinα cos(π，α),,cosα cos(3π/2，α),sinα tan(2kπ，α),tanα tan(π/2，α),,cotα tan(π，α),tanα tan(3π/2，α),,cotα cot(2kπ，α),cotα cot(π/2，α),,tanα cot(π，α),cotα cot(3π/2，α),,tanα (其中k?Z) 两角和与差的三角函数公式 万能公式 sin(α，β),sinαcosβ，cosαsinβ 2tan(α/2) sin(α,β),sinαcosβ,cosαsinβ sinα,—————— cos(α，β),cosαcosβ,sinαsinβ 2 1，tan(α/2) cos(α,β),cosαcosβ，sinαsinβ 2 1,tan(α/2) tanα，tanβ cosα,—————— tan(α，β),—————— 2 1，tan(α/2) 1,tanα ?tanβ 2tan(α/2) tanα,tanβ tanα,—————— tan(α,β),—————— 2 1,tan(α/2) 1，tanα ?tanβ 半角的正弦、余弦和正切公式 三角函数的降幂公式 二倍角的正弦、余弦和正切公式 三倍角的正弦、余弦和正切公式 3sin2α,2sinαcosα α sin3α,3sinα,4sin 22223cos2α,cosα,sinα,2cosα,1,1,2sinα cos3α,4cosα,3cosα 3 3tanα,tanα 2tanα tan3α,—————— tan2α,————— 22 1,3tanα 1,tanα 三角函数的和差化积公式 三角函数的积化和差公式 α，β α,β 1 sinα，sinβ,2sin———?cos——— sinα ?cosβ,-[sin(α，β)，sin(α,β)] 2 2 2 α，β α,β 1 sinα,sinβ,2cos———?sin——— cosα ?sinβ,-[sin(α，β),sin(α,β)] 2 2 2 α，β α,β 1 cosα，cosβ,2cos———?cos——— cosα ?cosβ,-[cos(α，β)，cos(α,β)] 2 2 2 α，β α,β 1 cosα,cosβ,,2sin———?sin——— sinα ?sinβ,— -[cos(α，β),cos(α,β)] 2 2 2 化asinα ?bcosα为一个角的一个三角函数的形式(辅助角的三角函数的公式) 同角三角函数的基本关系式 倒数关系 商的关系 平方关系 22,,sinsectan,,cot,,1 sin,，cos,,1 ,,tan, cos,csc,22sin,,csc,,1 1，tan,,sec, ,,coscsc,,cot, 22cos,,sec,,1 1，cot,,csc, sin,sec, 六边形记忆法:图形结构“上弦中 切下割，左正右余中间1”;记忆方法 “对角线上两个函数的积为1;阴影三 角形上两顶点的三角函数值的平方和等 于下顶点的三角函数值的平方;任意一 顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的 三角函数值的乘积。” 诱导公式(口诀:奇变偶不变，符号看象限。) cos(,,),cos,tan(,,),tan,sin()sin,,,,, cot(,,),cot, ,,,sin(,,),cos,cos(,,),sin,tan(,,),cot, 222 ,,,sin(，,),cos,cos(，,),,sin,tan(，,),,cot, 222 ,cot(，,),,tan, 2 余弦定理 三角函数 三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。 由于三角函数的周期性，它并不具有单值 函数意义上的反函数。 三角函数在复数中有较为重要的应用。在 物理学中，三角函数也是常用的工具。 基本初等 它有六种基本函数(初等基本示): 函数名 正弦 余弦 正切 余切 正割 余割 正弦函数 sinθ=y/r 余弦函数 cosθ=x/r 正切函数 tanθ=y/x 余切函数 cotθ=x/y 正割函数 secθ=r/x 余割函数 cscθ=r/y 以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数: 正矢函数 versinθ =1-cosθ 余矢函数 vercosθ =1-sinθ 同角三角函数间的基本关系式: ?平方关系: sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) ?积的关系: sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα ?倒数关系: tanα?cotα=1 sinα?cscα=1 cosα?secα=1 三角函数恒等变形公式: ?两角和与差的三角函数: cos(α+β)=cosα?cosβ-sinα?sinβ cos(α-β)=cosα?cosβ+sinα?sinβ sin(α?β)=sinα?cosβ?cosα?sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα?tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα?tanβ) ?辅助角公式: Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) ?倍角公式: sin(2α)=2sinα?cosα cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] ?三倍角公式: sin3α=3sinα-4sin^3(α) cos3α=4cos^3(α)-3cosα ?半角公式: sin^2(α/2)=(1-cosα)/2 cos^2(α/2)=(1+cosα)/2 tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα) tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα ?万能公式: sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)] ?积化和差公式: sinα?cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα?sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα?cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα?sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] ?和差化积公式: sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] ?其他: sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n -1)/n]=0 cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π *(n-1)/n]=0 以及 sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0 部分高等内容 ?高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得): sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/2 cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2 tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[^(ix)+e^(-ix)] 泰勒展开有无穷级数，e^z=exp(z),1，z/1～，z^2/2～，z^3/3～，z^4/4～，…，z^n/n～，… 此时三角函数定义域已推广至整个复数集。?三角函数作为微分方程的解: 对于微分方程组 y=-y'';y=y''''，有通解Q,可证明 Q=Asinx+Bcosx，因此也可以从此出发定义三角函数 三角函数和角公式 又称三角函数的加法定理是几个角的和(差)的三角函数通过其中各个角的三角函数来表示的关系 一般的最常用公式有: Sin(A+B)=SinA*CosB+SinB*CosA Sin(A-B)=SinA*CosB-SinB*CosA Cos(A+B)=CosA*CosB-SinA*SinB Cos(A-B)=CosA*CosB+SinA*SinB Tan(A+B)=(TanA+TanB)/(1-TanA*TanB) Tan(A-B)=(TanA-TanB)/(1+TanA*TanB) 注意:正切也可以表示为“Tg” 如:TanA=TgA 倍角公式 倍角公式是三角函数中非常实用的一类公式. 现列出公式如下: sin2α=2sinαcosα tan2α=2tanα/(1-tanα) cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(α/2)=(1+cosα)/sinα=sinα/(1-cosα)