厦门理工 高数 第三章 微分中值定理与导数的应用
高等数学练习题 第三章 微分中值定理与导数的应用 系 专业 班 姓名 学号
习题九 微分中值定理
一(选择题
1( 在区间??1,1?上,下列函数满足罗尔中值定理的是
[ A ]
(A)f?x??3
2x2?1 (B)f?x??12fx? (C) (D)fx?1?3x?2x ?
???21?x
2( 若f(x)在(a,b)内可导,x1、x2是(a,b)内任意两点,且x1?x2,则至少存在一点?,使得
[ C ]
(A)f(b)?f(a)?f?(?)(b?a) (a???b);
(B)f(b)?f(x1)?f?(?)(b?x1) (x1???b);
(C)f(x2)?f(x1)?f?(?)(x2?x1) (x1???x2);
(D)f(x2)?f(a)?f?(?)(x2?a) (a???x2)
3(下列函数在给定区间上不满足拉格朗日定理条件的有
[ B ]
(A)f(x)?2x,[?1,1] (B)????,?? EMBED Equation.DSMT4 21?x
??????
(C)?? EMBED Equation.3 ??????, [0,1] (D)?? EMBED Equation.3 ??????,?? EMBED Equation.DSMT4 ??????
4( 若?? EMBED Equation.3 f(x)和g(x)对于区间内每一点都有f?(x)?g?(x), 则在(a,b)内必有 [ B ]
(A)f(x)?g(x) (B)f(x)?g(x)?C (C)f(x)?g(x)?1 (D)f(x)?g(x)?C
二(填空题
1( 对函数f(x)?px?qx?r在区间[a,b]上应用拉格朗日定理时,所求的拉格朗日定理结论中的?,总是等于2a?b 2
2( 若f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则至少存在一点??(a,b),
使得 ef(b)?ef(a)? ef(?)?f'(?)(b?a) 成立
x?3)(x?4)3(设f(x)?x(x?1)(x?2)(,则f?(x)?0有个根,它们分别位于区间
35
(0,1); (1,2); (2,3);(3,4) 内.
三(
题
1( 当0?a?b,试证:
xb?abb?a?ln? baa证:令f(x)?ln, 可知 f(x)在[a,b]连续,在(a,b)上可导
由拉格朗日定理可知,存在 ??(a,b)
使得 f'(?)(b?a)?1
?(b?a)?lnb?lna?ln b
a
??所以
??且
????????????即
??????得证
2( 证明:arcsinx?arccosx??
2
证明:令f(x)?arcsinx?arccosx
则f(x)在[?1,1]上可导,且 f(x)?'1
?x2?1?x2?0
所以,f(x)?c(c为常数), 又f(1)?arcsin1?arccos1? 故arcsinx?arccosx?
5'?2?0??2, ?2 3( 证明方程x?x?1?0只有一个正根.
5证: 令f(x)?x?x?1,则f(x)在R上连续,且f(1)?1?0,f(0)??1?0
由闭区间上连续函数的性质可知,存在 ??(0,1),使得f(?)?0。
ab? 即f(x)有一正根。又假设f(a)?0,f(b)?0,(0?),
36
又f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)可导,所以由拉格朗日定理可知,存在
) ??(a,b,使得f'(?)?
0 矛盾,假设不成立。所以。。。
高等数学练习题??????第三章??????微分中值定理与导数的应用
????????????????系????????????????专业??????????????班??????????
姓名??????????????
??????????学号??????????
习题十????洛比达法则
一( 填空题
??
??????????????????????????????????????(limx?ax?ax?a? 2lntan3xx3?x2?x?1lim3(lim= 4(= 1
x?12x3?3x2?1x?0?lntan5x5(lim(1?x)tanx?1?x2= 2
xe? ?? 6(lim?x?01x
6(下列极限能够使用洛必达法则的是
1?x(A)lim; (B) lim; x?11?sinbxx???x
(C)limx(x????2x2sin?arctanx); (D)limx?0sinx1x的值,
二、判断题:(正确的括号内打“?”,错误的在括号内打“×”)
1(limx?sinx1?cosx?lim?(不存在)
[ × ] x??x?sinxx??1?cosx
ex?cosxex?sinxex?cosx?lim?lim?1 [ × ] 2(lim2x?0x?0x?0x2x2
37
三(计算题
0x?arcsinx0xecosx
()()1(lim 2(lim
x?0x?01?sinx?cosx0sin3x0
x?
arcsinxecoxs?xsinx?ecxo s
?lim?li3x?0?x?0x?cosx?sixnx?0 e ?31 22(1?x)(?2x)??1??e
3(limx?1??x1??x?1?lnx?? lnx?ln1[?(x?1)]
xlnx?(x?1)xlnx
?lim?(x?1)
x?1(x?1)lnx?limx?1(x?1)(x?1)
?limlnx?1?1
x?12(x?1)?1
2
4. lim(1
x?0x2?1sin2x) ?lim(sin2x?x2
x?0x2sin2x)
sin2x?x2
?lim(x?0x4)
?lim(2sinxcosx?2x
x?04x3)
?lim(2cos2x?2
x?012x2)
?lim((?2)2x2?1
x?012x2)?3
5( limarctanx?x
x?0ln(1?2x3)
?limarctanx?x
x?02x3
38 ?lim1x?06x??6
1?12?lim2 x?06x
?1? 6
6(lim(cotx)x??01lnx
1
令y=(cotx)ln 则 xlny?1cotxln xln
lncotxtanx(?cscx2)?xtanx1cotx?lim??limlim??1
lixlnx??0lnxx??0x??0sin2xx??0ln()x
x??o原式?elim(lny)?e?1.
ylncotxtanx(-c2scx)l?7(lim(arctanx) limln?
x????x??0x??0lnxx??0x2x
令y?(22
?arctanx) 则
2arctanxxln?xlny?arctanx
x???limln?limyln?x???1
x11?2?lim x????2x
2x21???lim?? x???1?x2arctanx?
ln?lime?ex???所以 原式x???ylimlny?e?. ?2
39
?2?3?4?8(lim?? x?03??
2x?3x?4x1ln)x, 则 lny?令y?(3x(2x?3x+4x)3xxx1x
limlny?limx?0x?0ln(2x?3x+4x)3x32xln2+3xln3+4xln4?()xxx ?
limx?01
?124ln?, 3
所以,原式=limex
?0lny?ex?olim(lny)?e?
高等数学练习题 第三章 微分中值定理与导数的应用 系 专业 班 姓名 学号
习题十一 函数的单调性与极值
一(填空题
321(函数y?x?3x?9x?5在区间(?1,3)单调减少, 在区间(??,?1)和( 3,+?)
内单调增加(
2(y?x?1 内单润减少,在区间 在区间 (-1,0)和(0,1)x
内单调增加(
3
(函数y?的单调增区间是。
2(0) 内单调减少, 在区间 (4(函数y?2x?lnx在区间1
21,?? 2
5(1. 当x??1时,函数y?x?3px?q有极值,那么p?
6(函数,在区间[??,y?sin(x??)??2
二(选择题
三(选择题 3?]上的极大值点x0?
40
1(设函数f(x)满足,f?(x0)?0,f?(x1)不存在,则 [ D ]
(A) x?x0及x?x1都是极值点 (B) 只有x?x0是极值点
(C) 只有x?x1是极值点 (D) x?x0与x?x1都有可能
不是极值点
2(下列命题为真的是
[ D ]
(A) 若x0为极值点,则f?(x0)?0 (B) 若f?(x0)?0,则x0为
极值点
(C) 极值点可以是边界点 (D) 若x0为极值点,且
存在导数,则f?(x0)?0
3(设f(x),g(x)是恒大于零的可导函数,且f?(x)g(x)?f(x)g?(x)?0,则当
a?x?b时,有
[ A ]
(A)f(x)g(b)?f(b)g(x) (B)f(x)g(a)?f(a)g(x)
(C)f(x)g(x)?f(b)g(b) (D)f(x)g(x)?f(a)g(a)
4(设函数f(x)连续,且f?(0)?0,则存在??0,使得 [ C ]
(A)f(x)在(0,?)内单调增加 (B)f(x)在(??,0)内单调减少
(C)对任意的x?(0,?)有f(x)?f(0) (D)对任意的x?(??,0)有f(x)?f(0)
5(当x?x0时,f?(x)?0,当x?x0时,f?(x)?0,则x0必定是函数f(x)的 [ D ]
(A) 极大值点; (B) 极小值点; (C) 驻点; (D) 以上都不对
三(求函数y?(x?5)
y?(x?5) 2
31?22y??2(x?5)(x?1)?(x?5)(x?1)3 3
?
6(x?5)(x?1)?2(x?5)23(x?1)13
x?5 2 令y??0 可得 x= 1 或
41
当 x??1时 y?不存在
由x??1, x=
1 , x?5
把(??,??)分成四个部分区间,并列表讨论如下:
四(证明题:
1( 证明tanx?x?13?x (0?x?) 32
13证明:令f(x)?tanx?x?x 3
故 f(x)?senx?1?x?tanx?x
又,?x?(0,'2222?
2)tan
x?x?0
所以,f'(x)?0,即f(x)在 (0,
?x?( ?2)单调递增 ?2)
f(x?)13f?(0) 即0, tanx?x?x。 得证 3
高等数学练习题 第三章 微分中值定理与导数的应用
系 专业 班 姓名 学号
习题十二 函数的极值与最大值和最小值
一(填空题
1(当a? 时,函数f(x)?asinx?1sin3x在x??处取得极值时,其极33
2(函数f(x)?x?2cosx在[0,?
2]上的最大值为 ?
6 ? 2
3. y?x?8x?2(?1?x?3)在x?处取得最大值在x?
42 42
二. 选择题
1(如果f(x)在x0达到极大值,且f??(x0)存在,则f??(x0)
[ A ]
(A) ?0; (B) ?0; (C) ?0; (D) ?0
2(设函数f(x)在(??,??)内连续,其导数的图形如图所示,则f(x)有 [ C ]
(A)一个极小值点和两个极大值点
(B)两个极小值点和一个极大值点
(C)两个极小值点和两个极大值点
(D)三个极小值点和一个极大值点 3(函数f(x)?x?ln(1?x2)在定义域
内 [ A ]
(A)无极值 (B)极大值为1?ln2
(C)极小值为1?ln2 (D)f(x)为非单调函数
4(若函数y?2?x?x2的极大值点是x?1,则函数y?2?x?x2的极大值是
[ D ] 2
81931(A) (B) (C) (D) 16422
2
5(y?x在[?1,2]上没有 [ A ]
(A)极大值 (B)极小值 (C)最大值 (D)
最小值
6(函数y?1在(0,1)内的最小值是 [ D ] x
(A)0 (B)1 (C)任何小于1的数 (D)
不存在
7(函数y?x2?1在区间(?1,1)上的最大值是 [ D ]
(A)0 (B)1 (C)2 (D)
不存在
8(设有一根长为L的铁丝,将其分为两断,分别构成圆形和正方形,
若记圆形面积为S1,正方形面积为S2,当S1?S2S1?
[ C ] S2
1?4 (A) (B) 4 (C) (D)
44?
三(求下列函数极值
321(y?x?3x?9x?5
y?=3x?26x??93?(x3) (x+1)
令y??0 可得 x= -1 或 x?3
43
当 x??1时,y??0当-1?x?3时 y?<0
所以y在x??1处 取得极大值 y(?1)?10
当-1?x?3时 y?<0 当x?3 时 y??0
所以y在3处 取得极小值 y(3)??22。
四. 某地区防空洞的截面积拟建成矩形加半圆〔如下图〕,截面的面积为5m2,问底宽为多少时才能使截面的周长最小,从而使建造时所用的材料最省(
解:由已知 5=xy+?()?xy+?x 可得,y?1
2x221
8251??x x8
1?51?
10L(x)?x?2y??x=(+1)x+2( -?x)=(?1)x+22x84x
?10L?(x)?(?1)?2
?x?
4x由于驻点唯一,且最小值存在,所以当x? 高等数学(?)练习 第二章 一元函数微分学 系 专业 班 姓名 学号
习题十三 曲线的凹凸性与拐点
二(填空题
1(曲线y?xe?x的凸(向上凸)区间是______________,凹(向下凸)区间是 (??,2)
2(若曲线y?(ax?b)3在(1,(a?b)3)处有拐点,则a与b应满足关系
。
, 点(0,1)为曲线 3(当ab,c 时
y?ax3?bx2?c的拐点。
44
4(若曲线y?ax3?bx2?cx?d在x?0处取得极值y?0,(1,1)点是拐点,则a?13c?d? b?二(选择题
????
????????????????????????????????????????????????????????????????
????????????[????????B????]
(A)凹且单调增加??????(B)凹且单调减少????(C)凸且单调增加??????(D)凸且单调减少 ??(
阶可导,且f(x)??f(?x),又x?(0,??)时,f?(x)?0,f??(x)?0,则在(??,0)内曲线y?f(x)
[ C ]
(A)单调下降,曲线是凸的 (B)单调下降,曲线是凹的
(C)单调上升,曲线是凸的 (D)单调上升,曲线是凹的
3(曲线y?(x?1)(x?3)的拐点个数为
[ C ]
(A) 0 (B)1 (C)2 (D)3
三(证明题:利用函数的凹凸性证明 xlnx?ylny?(x?y)ln(
五.作函数y?22x?y) (x?0,y?0,x?y) 26的图形 2x?2x?4
解:(1)所给函数的定义域为R,
45
y?=
-6(2x-2)?12(x?1)
= 2222
(x-2x+4)(x-2x+4)
[(x2?2x?4)2?(x?1)2(x2?2x?4)(2x-2)]
y????1224
(x?2x?4)
x(x-2)[(x2-2x+4)?4(x?1)2]36 ?12= (x2?2x?4)3(x2?2x?4)3
(2)y?的零点为x?1, y??的零点为x?0,x?2, 这些点把定义域分
成四个部分 (3) 在各个区间,y?,y??得符号,相应的曲线的升降性及凹凸性,以及拐点,如下表:
高等数学练习题 第三章 微分中值定理与导数的应用 系 专业 班 姓名 学号
习题十四 曲率
一、填空题
1(抛物线y?x2?x在点(1,0)处的曲率K?,曲率半径??2
1331
2(曲线x?4sint,y?2cost在x?2处的曲率K?,曲率半径??)2. 3
1213
)2
12
3(曲线x?xy?y?3在点(1,1)的曲率为2
2
x2y2
二、选择题:椭圆2?2?1 (a?b?0) 在长轴端点(a,0)的曲率K? [ B ]
ab
46
(A)0 (B)
三、计算题: ab (C) (D)不存在 b2a2
1(求曲线y?lnx上曲率最大的点及该点处的曲率半径(
解:y??1
xy????1, 2x
1y??x2? K(x? )?3331(1?(?y2)2)(1?22(x2?12)x
31(x?1)?x(x2?1)22x2(x?1)2(1?2x2)K?(x)? ?(x2?1)3(x2?1)32321
令K?(x)?
0 ?x? , 且可知
当x?时K(x)取得最大值。
2? 曲率半径
??
2( 汽车连同载重共5吨,在抛物线拱桥上行驶,速度为21.6(公里/小时)桥的跨度为10米,
拱的矢高为0.25米,求汽车越过桥顶时对桥的压力。
解:取桥顶为原点,竖直向下为y轴的正方向,则抛物线的方程为
y?ax2(a?0)
桥端点(5,0.25)在抛物线上,?a?0.01
所以抛物线的方程为y?0.01x, 2
y??0.02x,y??=0.02,所以 y?(0)=0,y??(0)?0.02
所以在桥顶处抛物线的曲率半径为
3
2??(1?(y?))1??50, y??0.022
47
5?10321.6?103
离心力为F??()?3600(N) ?5060?60
(N) 压力 N= G?F= 50000?3600?46400
高等数学练习题 第三章 微分中值定理与导数的应用
姓名学号综合练习
一(填空题
1(函数f(x)?x?x在[0,3]上满足罗尔定理的条件,由罗尔定理确定的??
2(极限lim(cos)? x??mv22xx
3
(y? 内单调减少在区间 (??,0)和(4,+?)
内单调增加。
4(y?x2x在x??1处取得极小值( 3。 45(y?x?在[?5,1]的最大值点为x?
2??x?t,t?[0,??)的凸区间是[0,1]凹区间是[1,??拐点是(1,4) 6(曲线?3??y?3t?t,
二(选择题
1(设limx?af(x)?f()a则在x?a处
[ B ] ?1?,(x?a)2
(A)f(x)的导数存在,且f?(a)?0 (B) f(x)取得极大值
(C) f(x)取得极小值 (D) f(x)的导数不存在
lnx
[ B ] x
(A)x?1是垂直渐近线 (B)y?x为斜渐近线 (C)单调减少 (D)
有2个拐点
?lnx?x,x?13(设函数f(x)??2,则
[ C ] x?2x,x?1?
(A) 该函数在x?1处有最小值 (B) 该函数在x?1处有
最大值 2(曲线y?x?
48
(C) 该函数所表尔的曲线在x?1处有拐点 (D) 该函数所表示的曲
线x?1处无拐点
1)、f?(0)、f(1)?f(0)或f(0)?f(1)的大4(设函数f(x)在[0,1]上满足f??(x)?0,
则f?(
小顺序为
[ B ]
(A)f?(1)?f?(0)?f(1)?f(0) (B)f?(1)?f(1)?f(0)?f?(0)
(C)f(1)?f(0)?f?(1)?f?(0) (D)f?(1)?f(0)?f(1)?f?(0)
5(设f?x?一阶可导,且limf??x??1,则f?0?
[ C ] x?0
(A) 一定是f?x?的极大值 (B) 一定是f?x?的极小
值
(C) 一定不是f?x?的极值 (D) 不一定是f?x?的
极值
6(函数f(x)可微,a?b,f(a)?f(b)?0,f?(a)?0,f?(b)?0,则函数f?(x) [ D ]
(A)无零点; (B)只有一个零点; (C)只有两个零点;
(D)至少有两个零点( ?
二(计算题
1
.x?0
?x?sec2x?cosx2secx?secx?tanx+sinx1??lim ?lim x?0x?01218x236x
1)] x??x
111x1?ln(1?)(?2)?(?2))?lim ?lim(-2x??x??x?2x?3
x2
?x+1x?x2?x2) ?lim()?lim()(x??x??2x?1?2
1x1)? ?lim( x??2x?122(lim[x?xln(1?2
四(设有甲乙两城(甲城位于一直线形的河岸上,乙城离河岸40千米,且到河岸的垂足与甲城
相距50千米(两城拟于此河边合建一水厂取水,从水厂到甲城和乙城之水管费用分别为每千米500元和700元(为使水管费用最省,水厂应设于何处?(
解:以河岸为x轴,过乙城且垂直于河岸的为y轴,指向甲城和乙城的方向飞别分x轴,y轴 的正方向,
假设水厂离原点为x千米,总的费用为y
则
y?500(50?x)?
49
令y???500?
令y??0
可得x???40.82 由于驻点唯一,且最小费用存在,所以当水厂建在离甲城50-40.82=9.18(千米)时,总的费用最省。
50