高等数学教案
一、课程的性质与任务
高等数学是计算机科学与技术;信息管理与信息系统两个专业
的一门重要的基础理论课,通过本课程的学习,也是该专业的核心
课程。要使学生获得“向量代数”与“空间解析几何”,“微积分”,
“常微分方程与无穷级数”等方面的基本概论、基本理论与基本运
算;同时要通过各个教学环节逐步培训学生的抽象概括能力、逻辑
推理能力、空间想象能力和自学能力。在传授知识的同时,要着眼
于提高学生的数学素质,培养学生用数学的方法去解决实际问题的
意识、兴趣和能力。
第一章:函数与极限
教学目的与要求 18学时
1.解函数的概念,掌握函数的表示方法,并会建立简单应用问题中的函数关系式。
2.解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。
3.理解复合函数及分段函数的概念,了解反函数及隐函数的概念。 4.掌握基本初等函数的性质及其图形。
5.理解极限的概念,理解函数左极限与右极限的概念,以及极限存在与左、右极限之间的关系。
6.掌握极限的性质及四则运算法则。
7.了解极限存在的两个准则,并会利用它们求极限,掌握利用两个重要极限求极限的方法。
8.理解无穷小、无穷大的概念,掌握无穷小的比较方法,会用等价无穷小求极限。
9.理解函数连续性的概念(含左连续与右连续),会判别函数间断点的类型。
10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性,了解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理),并会应用这些性质。 第一节:映射与函数
一、集合
1、 集合概念
具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。组成这个集合的事物称
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为该集合的元素
表示方法:用A,B,C,D表示集合;用a,b,c,d表示集合中的元素
A,{a,a,a,??}1) 123
2) A,{xx的性质P}
元素与集合的关系: a,Aa,A
一个集合,若它只含有有限个元素,则称为有限集;不是有限集的集合称为无限集。
+常见的数集:N,Z,Q,R,N
元素与集合的关系: A、B是两个集合,如果集合A的元素都是集合B的元素,则称A是B的子集,记作。 A,B
如果集合A与集合B互为子集,则称A与B相等,记作 A,B若作且则称A是B的真子集。 A,BA,B
空集,: ,,A
2、 集合的运算
A,B,{x|x,A或x,B}并集 : A,B
A,B,{x|x,A且x,B}交集 : A,B
A\B,{x|x,A且x,B} 差集 : A\B
CA全集I 、E 补集:
集合的并、交、余运算满足下列法则:
交换律、 A,B,B,AA,B,B,A
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结合律、 (A,B),C,A,(B,C)
(A,B),C,A,(B,C)
分配律 (A,B),C,(A,C),(B,C)
(A,B),C,(A,C),(B,C)
ccccccA,B),A:B(A,B),A,B对偶律 ( 笛卡儿积A×B,{(x,y)|x,A且y,B}
3、 区间和邻域
开区间 (a,b)
,,a,b闭区间
,,,,a,ba,b半开半闭区间
有限、无限区间
邻域:U(a) U(a,,),{xa,,,x,a,,}
a 邻域的中心 邻域的半径 ,
,
去心邻域 U(a,,)
左、右邻域
二、映射
1. 映射概念
f定义 设X,Y是两个非空集合,如果存在一个法则,使得对X中
xf的每一个元素,按法则,在Y中有唯一确定的元素与之对应,y
f则称为从X到Y的映射,记作
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f:X,Y
x其中 称为元素的像,并记作,即 f(x)y,f(x)y
注意:1)集合X;集合Y;对应法则 f
2)每个X有唯一的像;每个Y的原像不唯一
3) 单射、满射、双射
2、 映射、复合映射
三、函数
1、 函数的概念:
定义:设数集,则称映射为定义在D上f:D,RD,R
的函数 记为 y,f(x)x,D
自变量、因变量、定义域、值域、函数值
用f、、 g,
函数相等:定义域、对应法则相等
自然定义函数;单值函数;多值函数、单值分枝.
例:,) ,,,
2) ,, x1x,0,
,y,0x,0,3) 符号函数
,,1x,0,
,,y,x4) 取整函数 (阶梯曲线)
,2x0,x,1y,5) 分段函数 ,1,xx,1,
2、 函数的几种特性
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1) 函数的有界性 (上界、下界;有界、无界)
有界的充要条件:既有上界又有下界。
注:不同函数、不同定义域,有界性变化。
2) 函数的单调性 (单增、单减)在x、x点比较函数值 12
f(x)与f(x)的大小(注:与区间有关) 12
3) 函数的奇偶性(定义域对称、与关系决定) f(x)f(,x)
图形特点 (关于原点、Y轴对称)
4)函数的周期性(定义域中成立:) f(x,l),f(x)3、 反函数与复合函数
,1f(y),x 反函数:函数f:D,f(D)是单射,则有逆映射,称此映
,1f射为f函数的反函数
函数与反函数的图像关于对称 y,x
复合函数:函数u,g(y)定义域为D,函数y,f(x)在D上有定义、1
f(D),D且。则u,g(f(x)),g,f(x)为复合函数。(注意:构成1
条件)
4、 函数的运算
和、差、积、商(注:只有定义域相同的函数才能运算) 5、 初等函数:
axy,xy,a1) 幂函数: 2)指数函数:
y,log(x) 3) 对数函数 a
4)三角函数
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y,sin(x),y,cos(x),y,tan(x),y,cot(x)
5) 反三角函数
y,arcsin(x)y,arccos(x),
y,arctan(x)y,arccot(x) 以上五种函数为基本初等函数
6) 双曲函数
x,xx,xe,ee,echx, shx, 22
x,xshxe,ethx,, x,xchxe,e
注:双曲函数的单调性、奇偶性。
双曲函数公式
sh(x,y),shx,chy,chx,shy
sh(x,y),shx,chy,chx,shy
ch(x,y),chx,chy,shx,shy
ch(x,y),chx,chy,shx,shy
y,arshx
y,archx反双曲函数:
y,arthx
作业: 同步练习册练习一
第二节:数列的极限
一、数列
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数列就是由数组成的序列。
1)这个序列中的每个数都编了号。
2)序列中有无限多个成员。
aaaa??a??一般写成: 1234n
,,u缩写为 n
1,,,,x例 1 数列是这样一个数列,其中 ,,nn,,
1 , ,n,1,2,3,4,5???xnn
也可写为:
1111 1????2345
可发现:这个数列有个趋势,数值越来越小,无限接近0,记为
1 lim,0n,,n
1、 极限的定义: ,,N
,,x则称数列的极限,,,0,N,n,Nx,a,,nn
a为,记成 limx,an,,n
也可等价表述:
,,,0,N,n,N,(xa),,1) n
,,,0,N,n,Nx,O(a,) 2) n
极限是数列中数的变化总趋势,因此与数列中某个、前几个的值没
有关系。
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二、收敛数列的性质
,,x定理1:如果数列收敛,那么它的极限是唯一 n
,,,,xx定理2 如果数列收敛,那么数列一定有界 nn定理3:如果且a>0(a<0)那么存在正整数N>0,当n>N时,limx,an,,x
x,0(x,0) nn
{x}定理4、如果数列收敛于a那么它的任一子 数列也收敛,且收敛于a。 n
第三节:函数的极限
一、极限的定义
x1、在点的极限 0
xx1)可在函数的定义域内,也可不在,不涉及f在有没有定义,00
f(x)以及函数值的大小。只要满足:存在某个,,0使:0
。 (x,,,x),(x,x,,),D0000
xx2)如果自变量趋于时,相应的函数值 f(x)有一个总趋势-----0
以某个实数为极限 ,则记为 :limf(x),A。 Ax,x0形式定义为:
,,,0,,,,,x(0,x,x,,)f(x),A,, 0注:左、右极限。单侧极限、极限的关系
x,,2、的极限
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设:如果当时函数值 有一个总趋势------该y,f(x)x,(,,,,,)
,曲线有一条水平渐近线-----则称函数在无限远点有极限。记为:y,Alimf(x),A x,,
, 在无穷远点的左右极限:
f(,,),limf(x) x,,,
f(,,),limf(x) x,,,
关系为:
limf(x),A,limf(x),A,limf(x) x,,x,,,x,,,
二、函数极限的性质
1、 极限的唯一性
2、 函数极限的局部有界性 3、 函数极限的局部保号性 4、 函数极限与数列极限的关系 第四节:无穷小与无穷大
一、无穷小定义
,,x定义:对一个数列,如果成立如下的命题: n
,,,0,,N,,n,N,x,, 则称它为无穷小量,即nlimx,0 nx,,
,,,注: 1、的意义;
,(0,x),,2、可写成; x,,x,0,,nnn
, 3、上述命题可翻译成:对于任意小的正数,存在一个号码
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nxN,使在这个号码以后的所有的号码,相应的与极限0的距离比这n个给定的,还小。它是我们在直观上对于一个数列趋于0的认识。
x,x,,定理1 在自变量的同一变化过程(或中,函数fxx,,)0
,具有极限A的充分必要条件是,其中是无穷小。 f(x),A,,
二、无穷大定义
,,x 一个数列,如果成立: n
,G,0,,N,,n,N,x,G那么称它为无穷大量。记成:n
limx,,。 nx,,
,G,0,,N,,n,N,x,G 特别地,如果,则称为正无穷大,记n
成limx,,, nx,,
,G,0,,N,,n,N,x,,G特别地,如果,则称为负无穷大,n
limx,,,记成 nx,,
注:无法区分正负无穷大时就笼统地称之为无穷大量。 三、无穷小和无穷大的关系
1f(x)定理2 在自变量的同一变化过程中,如果为无穷大,则f(x)
1f(x)f(x),0为无穷小;反之,如果为无穷小,且则为无穷大 f(x)
x,0即:非零的无穷小量与无穷大量是倒数关系:当时:有 n
1lim0lim,,,, x,,x,,xn
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1lim,,,lim,0 x,,x,,xn
注意是在自变量的同一个变化过程中 第五节:极限运算法则
1、无穷小的性质
,,,,xy设和是无穷小量于是: nn
(1)两个无穷小量的和差也是无穷小量:
limx,0limy,0,lim(x,y),0 nnnnx,,x,,x,,
,,c,x (2)对于任意常数C,数列也是无穷小量: n
limx,0,lim(c,x),0 nnx,,x,,
,,x,y(3)也是无穷小量,两个无穷小量的积是一个无穷小nn
量。
limx,0limy,0,lim(x,y),0 nnnnx,,x,,x,,
(4)也是无穷小量: ,,xn
limx,0,limx,0 nnx,xx,x00
(5)无穷小与有界函数的积为无穷小。 2、函数极限的四则运算
xf1、 若函数和在点有极限,则 g0
lim(f(x),g(x)),limf(x),limg(x) x,xx,xx,x000
xaf2、 函数在点有极限,则对任何常数成立 0
lim(a,f(x)),a,limf(x) x,xx,x00
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x3、若函数和在点有极限,则 fg0
lim(f(x),g(x)),limf(x),limg(x) x,xx,xx,x000
limg(x),,,0x3、 若函数和在点有极限,并且,fg0x,x0
则
limf(x),,,f(x)x,x0,,lim,, ,,x,x0g(x)limg(x),,,x,x0
x极限的四则运算成立的条件是若函数和在点有极限 fg0例:求下述极限
2x,3x,3lim lim22x,1x,3x,5x,4x,9
232323x,2x,13x,4x,2 2x,x,5limlimsinx3232limx,,x,,7x,5x,32x,x,5lim2x,,x,,3x,2x,1x
4、 复
合函数的极限运算法则
y,f[g(x)}y,f(u)u,g(x)定理6 设函数是由函数与复合而成,
xf[g(x)]在点的 某去心邻域内有定义,若limg(x),u, 00x,x0
0
,,0limf(u),A,且存在,当时,有 x,u(x,,)000u,u0
g(x),u,则 0
limf[g(x)],limf(u),Ax,xu,u00
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第六节:极限存在准则 两个重要极限
,,,,,,zxy 定理1 夹逼定理 :三数列、和,如果从某个号码起成nnn
,,,,x,y,zzx立:1),并且已知和收敛, nnnnn
limx,a,limz2),则有结论: nn,,,,xx
limy,a n,,x
定理2 单调有界数列一定收敛。
单调增加有上界的数列一定收敛;单调减少有下界的数列一定收
敛。
xsinlim,1例:证明: x,0x
tanx1,cosxlimlim例: 2x,0x,0xx
xarcsinlim x,0x
11xxlim(1,)lim(1,)证明:有界。求 的极限 ,,,,xxxx
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第七节:无穷小的比较
定义:若,,,为无穷小
,
lim,0,
,lim,,,
,且 lim,,0c,
,lim,,0cK,
,lim,1,
,,高阶、低阶、同阶、 k阶、等价,
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1、 若为等价无穷小则 ,,,,,,,,(,)
1,11,,2、 若, 、,且存在, ,,lim1,
1,,lim,lim1,则: ,
tan2xsinxlim例: lim 3x,0x,0sin5xx,3x
123(1,x),1lim x,0cosx,1
第八节:函数的连续性与间断点
一、 函数在一点的连续性
xf(x)函数f在点连续,当且仅当该点的函数值 、左极限00f(x,0)f(x,0)与右极限三者相等: 00
f(x,0),f(x),f(x,0) 000
xf或者:当且仅当函数在点有极限且此极限等于该点的函数值 。 0
limf(x),f(x) 其形式定义如下: 0x,x0
,,,0,,,x(x,x,,)f(x),f(x),,00
函数在区间(a,b)连续指:区间中每一点都连续。
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函数在区间,a,b,连续时装意端点。 注:左右连续,在区间上连续(注意端点)
连续函数的图像是一条连续且不间断的曲线
二、间断点
f(x,0),f(x),f(x,0) 若:中有某一个等式不成立,就间断,000
分为:
1、 第一类间断点:
f(x,0),f(x,0) 00
即函数在点的左右极限皆存在但不相等,曲线段上出现一个跳跃。
f(x,0)f(x,0)x2 、第二类间断点:左极限与右极限两者000
之中至少有一个不存在
例:见教材
第九节:连续函数的运算与初等函数的连续性 一、连续函数的四则运算
limf(x),f(x)limg(x),g(x)1.且, 00x,xx,x00
,,lim,,f(x),,,g(x),,,f(x),,,g(x) ,00x,x0
limf(x),f(x)limg(x),g(x)2且, 00x,xx,x00
,,limf(x),g(x),f(x),g(x) ,00x,x0
limf(x),f(x)3. 且, limg(x),g(x),000x,xx,x00
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f(x)f(x)0,lim ,x,x0g(x)g(x)0
f:y,f(x)x,D 反函数连续定理:如果函数是严格单调增加f
,1,1f(减少)并且连续的,则存在它的反函数:并x,f(y)y,Df
,1f且也是严格单调增加(减少)并且连续的。
注: 1)反函数的定义域就是原来的值域。
2)通常惯用X表示自变量,Y表示因变量。反函数也可表成
,1y,f(x)x,D ,1f
复合函数的连续性定理:
,,D 设函数f和满足复合条件,若函数在点x连续;gg0gf
g(x),uxu,又若f函数在点连续,则复合函数f,g在点连续。 0000
注:复合函数的连续性可以保证极限号与函数符号的交换:
limf(g(x)),f(limg(x)) x,xx,x00
从这些基本初等函数出,通过若干次四则运算以及复合,得到的种种函数统称为初等函数,并且:初等函数在其定义区间内连续。
第十节:闭区间上连续函数的性质
一、 最大、最小值
y,f(x),x,D设函数:在上有界,现在问在值域
,,D,yy,f(x),x,D 1
x,D中是否有一个最大的实数,如果存在,譬如说它是某个点的函数0
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y,f(x)值 ,则记叫做函数在D上的最大值。 ,,y,maxf(x)000x,D
Dx,D 类似地,如果 中有一个最小实数,譬如说它是某个点的f2f
,,y,minf(x)y,f(x)函数值,则记称为函数在上的最小222x,Df
值 。
二、有界性
,,,,有界性定理:如果函数在闭区间a,b上连续,则它在a,b上有f
界。
三、零点、介值定理
,,a,b最大值和最小值定理:如果函数 f在闭区间上连续则它在,,a,b上有最大值和最小值,也就是说存在两个点和,使得 ,,
,,f(,),f(x),f(,),x,a,b
亦即
,,f(,),maxf(x),,f(,),minf(x) ,,x,a,bx,,,a,b
f(x),0 若x使,则称x为函数的零点 000
零点定理:
,,,,a,ba,bff如果函数在闭区间上连续,且在区间的两个端点
f(a)*f(b),0,,(a,b)f(,),0异号:则至少有一个零点,使
中值定理:
,,,,a,ba,bff如果函数在闭区间上连续,则在上能取到它的最大
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值 和最小 值 之间的任何一个中间值。
作业:见课后各章节练习。
第二章 导数与微分
教学目的与要求 22学时
1、 理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义,会
求平面曲线的切线方程和法线方程,了解导数的物理意义,
会用导数描述一些物理量,理解函数的可导性与连续性之间
的的关系。
2、 熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则,熟练
掌握基本初等函数的导数公式,了解微分的四则运算法则和
一阶微分形式的不变性,会求函数的微分。
3、 了解高阶导数的概念,会求某些简单函数的n阶导数。 4、 会求分段函数的导数。
5、 会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数,会
求反函数的导数。
0一、导数概念() 0
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,y/1、定义 f(x),lim0,x,x,0
f(x,,x),f(x)00,lim ,x,x,0
f(x),f(x)0,limx,xx,x00
f(x,,x),f(x)/ f(x),lim,x,x,0
左导数
,,,,f(xx)f(x)f(x)f(x)/000 ,,f(x)limlim-,-,xx-x,,,xxx000右导数
f(xx)f(x)f(x)f(x),,,,/000 f(x)limlim,,,,,xx-x,,xx,,x000
///? f(x),A,f(x),f(x),A0-0,0可以证明:
可导?连续。即可导是连续的充分条件。
连续是可导的必要条件。
左右导数(注:与左右极限关系) 2、导数的几何意义
,,,,y,fxx,y曲线 在点处切线: 00
/ ,,,,y,y,fxx,x000
1,例1:讨论xsinx,0在x=0处可导性 ,f(x),x,0 x,0,,
1解:? limf(x),limxsin,0,f(0)x,0x,0x
f(x) 在x = 0连续
f(x)-f(0)1f(x) 不存在 ? 在limlimsin,x-0xx,0x,0
x = 0不可导
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/例2:已知存在 f(x)0
/f(x,2h)-f(x)00则 2f(x),lim0h0,h
/f(x,5h)-f(x)00 ,5f(x)lim,0,h0h
fxhfxh(,3),(,)00 limh,0h
f(x3h)-f(x)f(xh)-f(x),,0000= lim,h,0hh
/ ,4f(x)0
f(x)例3:设函数可微,
22/f(xx)-f(x),, 则 2f(x)f(x)lim,,,x0x,
例4:
2,xx,x0, 设 f(x),,ax,bx,0,,
f(x)为使在x = x 处可导,应如何选取常数a、b 0
f(x)解:首先必须在x连续 0
22 limf(x),limx,x0--,,xxxx00
limf(x),limax,b,ax,b0,,,,xxxx00
2? ax,b,x ? 0
22f(x)f(x)xx,,/00 f(x)limlim,,-,,x-xx-x,,xxxx0000
,limx,x,2x00,,xx0
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2f(x),f(x)ax,b-x/00f(x),lim,lim,,,x-xx-x x,xx,x0000
ax-ax0 ,lim,a,x-x,xx00(由?得)
/? 存在 f(x)0
2 a,2x? 从而 b,,x00
/,,f0,f(x)例5: = x (x-1)(x-2)„„(x-9) , 则 ,9!
f(x)-f(0)/? f(0)lim,x-0x,0
,lim(x,1)(x,2)??(x,9),,9!x,0
f(x)f(x)例6:设在x = 0 领域内连续,, lim,2x,01,x,1
/ 则 1f(0),
? (分母?0) f(0),limf(x),0x,0
f(x)-f(0)f(x)/? f(0)limlim,,x-0xx,0x,0
f(x)1,x,11 ,lim,,2,,1x,0x21,x-1
例7:设函数 f (1+x) = a f ( x ) ,
/ 且 (a , b ?0), f(0),b
/ 问 存在否? f(1)
,,,f(1x)-f(1)af(x)-af(0)/解: ,,f(1)limlimc,,,x,0,x,0xx
f(,x)-f(0)/ ,lima,,af(0),ab,,,xx0
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二、导数的求法
1、显函数导数
求一个显函数的导数需解决:
?基本初等函数导数(P); 64
?导数四则运算法则(P); 65
?复合函数与反函数求导法则(P)。 66
定理:
dydu,,,,y,fuu,,x在X有导数,在对应点u有导数,
dudx
,,,,y,f,x则复合函数在X处也有导数,
dydydu//。 ,,,f,,,,u,,xdxdudx
/2例1: 求 y,,y,xsin2x,1
/22解: ,,,,y,sin2x,1,x,4xcos2x,1
/2例2: 求 yy,ln1,x
1212xx/解: ,,y,ln1,xy,,,22221,x1,x
/例3: 求y y,arctgx
11/解: y ,,1x,2x
1arctg/xy例4: 求 y,a
解:
11arctgarctg 11lna,,/xxy,alna,,,,,a,,222,,x1,x1,,1,,,x,,
/3y例5: 求 ,,y,ln2x,1
2/2解: ,,y,3ln2x,1,2x,1
第- 23 –页
/y,x,x,x例6: 求 y
,,111,,解: /y,1,,1,,,,,2x,,,,2x,x,,2x,x,x
sinx/例7: 求 y,xy
sinx,lnxsinx,,/sinx解: y,ey,x,cosx,lnx,,x,,
xbabax/y,a,x,b例8: 求 y
xba/bxba,1xa,1解: y,alna,blnb,ax,blnb,ax
2x/e例9: 求 yy,ln2xe,1
112x2x2x解: ,,,,,,y,lne,lne,1,x,lne,122
2x12e1/ y,1-,,2x2x2e,11,e
高阶导数、二阶:
//2f,,,,x,,x,fxdy00 ,lim2x,x,x,,x0dx0
//fx,fx,,,,0 ,limx,xxx,00
dy/2x例10: , 求 ,,,,fx,lnxy,fe
dx
2x2x,,dydfede解: ,,2xdxdxde
/2x2x ,,,fe,2e
2x2x2x ,lne,2e,4xe
第- 24 –页
先讲微分(后页)
2、隐函数导数参数方程导数
如方程F(x,y)=0确定了y=y(x),只需方程两边对x求导,注意y=y(x)
例10:求下列隐函数的导数
/,,ysinx,cosx,y,0(1)设 求 y解: 方程两边对x求导,
// ,,,,ysinx,ycosx,sinx,y,1,y,0
ycosx,sinx,y,,/ y,,,sinx,y,sinx
yxy(2)设是由方程所确定的隐函数, ,,y,yxe,ln,0x,1
/ 求 ,,y0
1解: 由原方程知当x=0时,, y,
e
方程两边对x求导。
/1y1xy/ ,将x=0,代入得:y,,,ey,xy,,,0ey1,x
11,,1// ? ,,y0,1,,,,ey0,1,0,,eee,,
y,,y,yx(3) 是由方程e,xy,e所确定的隐函数,
/// 试求,。 ,,,,y0y0
解: 方程两边对x求导:
y// ? ey,y,xy,0
方程两边再对x求导:
2y//y//// ? ,,ey,ey,2y,xy,0
1/y,1由原方程知,当时,,代入?得 x,0y(0),,e
第- 25 –页
1/y,1再将,,代入?式, x,0y(0),,e
1//得 y(0),2e
22tdydy,x,e,1 (4) 设 求 ,23dx,dxy,t,1,
dy2dy3t3解: 2,2tdt,,,te2tdxdx22e
dt
dy,,d,,dy,,dx,,d,,2dy31dx ,,2t22t,,dt,,,(2te,2te),22tdxdx2dx2e
dt
3,4t ,t(1,t)e2
2,x,t,2t,3dy (5) 设y,y(x)是由方程组所确定的函数,求:。 ,ydxy,esint,1,0,
解:
dx,2t,2dt
ydydydyecostyy,ecost,esint,0,ydtdtdt1,esint
dyydyecost dt,,ydxdx2(t,1)(1,esint)
dt
3、分段函数的导数
22,xa,1,,x,0,1) 设 aaf(x),(a,0,a,1),,sinx,,x,0,x
/求: f(x)
第- 26 –页
2/xx,0,f(x),lna,aa解:当
xcosx,sinx/x,0,f(x),2x
22xa11,,,f(x)f(0),/aa f(0),lim,lim_,,x0x,,,x0x0
2x(a,1)2a ,lim,lna,xa,x0
sinx1,f(x)f(0),/x f(0)limlim,,,,,xxx,0x,0
sinx,xcosx,1 ,lim,lim,02,,2xxx,0x,0
// f(0),f(0),,
,/x,0,/? 不存在,故 f(0)f(x),,x,0,,
高阶导数(n阶)略,
23 例 y,x(2x,1)(x,3)
(6) 4,6! y,
f(0),0f(x)2) 设,,,,,在()上具有二阶连续导数,且,对函
x,0f(x),
,x数 ,g(x),,
,ax,0,,
ag(x),,,,,(1) 确定的值,使在()上连续
第- 27 –页
a(2) 对(1)中确定的,证明在()上 g(x),,,,,
一阶导数连续
解:
f(x)f(x),f(0)/ ? a,limg(x),lim,lim,f(0)xxx0x0x0,,,
/y(x) 即当 在连续, a,f(0),x,0
也就是在()连续 ,,,,,
f(x)/f(0),g(x)g(0),/x ? g(0)limlim,,xx,,x0x0
/////f(x)f(x)f(0) limlim,,,2x22,,x0x0
/xf(x),f(x)/ 而 limg(x),lim2x,0x,0x
//////xf(x),f(x),f(x)f(0)/ ,,,lim,lim,g0,,x0x02x2
/,,,,,,,在连续,即在连续 x,0,,gx
三、 微分
y,f(x) //dy,f(x),x,f(x)dx
y,f(u) 一阶微分形式不变
/u dy,f(u)du (自变量)
y,f(u)u,,(x) 如
//u (中间变量) dy,f(u),(x)dx,f(u)du
2222xxx2xy,e例: , , dy,2xedxdy,edx,2xedx
第- 28 –页
可导 可微
第三章微分中值定理导数的应用 教学目的与要求
1掌握并会应用罗尔定理、拉格朗日中值定理,了解柯西中值定理和泰勒中值定理。
2理解函数的极值概念,掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法,掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。 3( 用二阶导数判断函数图形的凹凸性,会求函数图形的拐点以及水平、
铅直和斜渐近线,会描绘函数的图形。
4( 握用洛必达法则求未定式极限的方法。
5( 道曲率和曲率半径的概念,会计算曲率和曲率半径。 6( 了解方程近似解的二分法及切线法。
一、中值定理,泰勒公式(放入泰勒级数中讲)
1(罗尔定理
,,fx如满足:
,,a,b(1)在连续.
第- 29 –页
,,a,b(2)在可导.
,,,,fa,fb,,,,a,b(3) 则至少存在一点
/ 使 ,,f,,0
例 设,则 ,,,,,,,,gx,xx,12x,13x,1
/ 在区间(-1,0)内,方程 ,,gx,0
// 有2个实根;在(-1,1)内有2个根 ,,gx,0
,,,,,,fxf0,f1,0例 设在[0,1]可导,且,
/,,,,0,1 证明存在,使。 ,,,,f,,,f,,0,,,,,,,,Fx,xfxF0,F1证: 设在[a,b]可导,
//,,,,0,1? 存在使 即 ,,,,,,F,,0f,,,f,,0,,,,,,fxf0,f1,0例 设在[0,1]可导,且,
/,,,,F,,F,,0 证明存在 。 ,
x,,,,F0,F1解: 设,且 由罗尔定理 ,,,,Fx,efx
/,,/ 存在 使 即, ,,,,,,F,,0ef,,ef,,0,
/ 亦即,,,, f,,f,,0
例 习题6
,,gx 设(复合函数求导) ,,,,Fx,fxe
2、 拉格朗日中值定理
,,fx如满足:?在[a,b]连续;?在(a,b)连续,
,,,,a,b则存在
/使。 ,,,,,,,,fb,fa,f,b,a
第- 30 –页
/,,fx,c推论:? 如果在区间I上,则 ,,fx,0
/ ? 如果在区间I上, ,,fx,0(,0)
,,fx 在,单增(减)
例 对任意满足的x, x,1
1,x1, 都有 arctg,arcsinx,1,x24
1,x1设 f,,x,arctg,arcsinx1,x2
11,211? /,,fx,,,,,021,x221,x,,1,x1,x1,21,x1,x
11,x1,x21 ,,,,,,,0222221,x1,x21,x,,fx,c?
,? ,,f0,4
,? ,,fx,4
x,,x,0例 设,证明 ,,,ln1,x,x1,x
求导证明
作业:见各章节课后习题。
二、洛必达法则
未定形:
如下的函数极限都是未定形。
x,sinx0lim 1、型: 如:型: x,0tanx,x0
第- 31 –页
lnx,lima,02、型: 如: a,,,x,x
a3、型: 如: limx,lnxa,00,,x,,,
11,,,lim(,)4、型:如: x,0xxsin
arctanx0limx5、 型: 如: 0,,x0
10lnx6、 型: 如: ,lim(ctgx),,x0
1sinx2,xlim()7、 型: 如: 10x,x
它们的计算不能用函数极限的四则运算法则,
且它们只表示类型,没有具体意义。
,0x,ax,, 1、 ()型的洛必达法则(同理) 0,
定理:对函数和,如果:
limf(x),0limg(x),0(1), x,ax,a(x,,)(x,,)
N(a,,)(2)在某个邻域内(后)有导数 x,Xf'g'g'(x),0和,且;
f'(x)lim(3)存在(或无穷),则成立: x,ag'(x)(x,,)
f'(x)f(x)limlim= x,ax,ag'(x)g(x)(x,,)(x,,)
sinaxlim例:1) x,0sinbx
第- 32 –页
x,sinxlim2) 3x,0x
3x,3x,2lim3) 32x,1x,x,x,1
,,arctanx2lim例: 1) 1,,,xx
lnxlim2) n,,,xx
nxlim3) (>0) ,,x,,,xe
3、其它类型
0,0,,,,1) 11,0
110,0,,,,,,2) 000,0
0y,0,lny,0,ln0(0,,型)3) ,0y,1,y,, 4) 解法同3) nlimxlnx(n,0)例 : 1) ,x,0
lim(secx,tanx)2) ,x,2
xlimx3) ,,0x
tanxx,lim4) 2x,0xsinx
第- 33 –页
三、泰勒公式
一、多项式:
n2P(x),a,a(x,x),a(x,x),?,a(x,x) n010200
在点的各阶导数:
P(x),a 00
P'(x),a 01
P''(x),2a 02
???
(n)P(x),n!,a 0n
1()na,f(x) 得: 0nn!
f''(x)20P(x),a,f'(x)(x,x,)(x,x),?, 00002!
n()f(x)n0(x,x) 0n!
二、泰勒中值定理:
xf(x)(a,b)(n,1)如果函数在含有的某个开区间有直到阶的0
x,(a,b)导数,则对任一有:
1、(N阶泰勒公式)
f''(x)20f(x),f(x,)f'(x)(x,x,)(x,x),?, 00002!
第- 34 –页
n()f(x)n0(x,x),R(x) 0nn!
R(x)称为余项。 n
(n,1)f(),n,1R(x),(x,x)xx(1)( 在与之间) ,n00(n,1)!
拉格朗日型余项
nR(x),o[(x,x)](2) 皮亚诺余项。 n0
x,02、当得麦克劳林公式: 0
f''(0)2,,,,?,f(x)f(0)f'(0)xx 2!
()nf(0)nx,R(x) nn!
三、常见函数的泰勒展开
xy,e1)
2n,x,xxexn,1,1,,,,,ex?x 2!!(,1)!nn
x,R(0,,,1) y,sinx2)
352,1mxxx,1msinx,x,,,,(?1,),R(x)x,R n3!5!(2m,1)!y,cosx3)
ay,(1,x)
第- 35 –页
四、函数的性态
1、极值
,,,,,,,,,,xfx,fxfx,fx1)定义:如在邻域内,恒有, ,000
,,fx,,fx则称为函数的一个极大(小)值。 0
//可能极值点, 不存在的点与的点。(驻点) ,,,,fxfx,0驻点 ?极值点
2)判别方法
?、导数变号。
f(x),0,极小值 //0?、, ,,fx,0,f(x),00,极大值
///例1、 设满足关系式,且, ,,y,fx,,fx,0y,2y,4y,0
/x ,则在点处 A ,,fx,,fx,000
A、取得极大值 B、取得最小值
xx C、在某邻域内单增 D、在某邻域内单减 00
2///,xx,,fx例2(已知函数对一切满足 ,,,,,,xfx,3xfx,1,e
/ 如,,则 A ,,x,0,,fx,000
,,A、 是fx的极小值 ,,fx0
B、是的极大值 ,,fx,,fx0
C、是曲线的拐点 ,,,,x、fx00
,,fx,,fxD、不是的极值,也不是曲线 ,,,,x、fx000
,,y,fx 的拐点。
第- 36 –页
/,,fx例3( 设函数在的某邻域内可导,, x,0,,f0,0
/f(x)1,,,,f0fx,则是的极 大 值。 ,,limx0,sinx2
2、函数的最大值与最小值
,,a,b(1)求出内可能的极值点,不需判别极大还是极小,求出它们的函数值,再与端点的函数值进行比较,其中最大的(小)为最大(小)值。
,,a,b(2)在内可能极值点唯一,如是极小值则为最小值;如是极大值则为最大值。
,(3)如分别为最小, 最大值。 f,0(,0),f(a)f(b)
(4)实际问题据题意可不判别。
2例1、 在抛物线上的第一象限部分求一点P,过P点作切线,y,4,x
使该切线与坐标轴所围成的三角形面积最小。
,,Px,y解:设切点为,切线方程为
2 ,,,,Y,4,x,,2xX,x
XY即 ,,122x,4x,4
2x
? 三角形面积:
22 1(x,4)1163S(x),,,(x,8x,),0,x,222x4x
第- 37 –页
116 , /2S(x),(3x,8-)24x2/ S(x)0x,,3
28x,,y, 33
2//令 (唯一) S(),0
3
28 ? 故 为所求点 (,)33
3、曲线的凹凸、拐点及渐近线
,,fx 在I上可导
//,,y,fx 如则曲线是凹(凸)的, ,,,,fx,0,0
在连续曲线上凹凸部分的分界点称为曲线的拐点。
////,,,,fx,0fx 可能的拐点 和 不存在的点
3x,,,1,,fx,,,fx例1、 设,试讨论的性态。 2x
2(x-1)(x,2)6(x-1)///f(x),,f(x), 34xx
///f(x),0x,1,x,-2,f(x),0,x,1
第- 38 –页
x (-?,-2) -2 (-2,0) 0 (0,1) 1 (1,+
?) ’y + 0 - 间 + 0 + ’’断 y - - - - 0 + y 单调增 极大值 单减 单增拐 单增
,,f,2,上凸 上凸 上凸 点 下凸
(1,
270) ,4
limf(x),a渐近线 如 则称y,a为水平渐近线 x,,
limf(x),,x,x 如 则称为垂直渐近线 0x,x0
渐近线可能没有,或多条。
2x,1y,例2、 求 渐近线 (斜渐近线不讨论) 2(x,1)
解:
x2,1? lim,02x,,x(,1)
y,0 ? 为水平渐近线
2x,1? ,,lim2x,1(x,1)
? x,1垂直渐近线
第- 39 –页
xx
y,例2、 曲线的渐近线有 4 条 (x,1)(x,2)
4 证明不等式
(1)利用中值定理(R,L);
(2)利用函数单调性;
(3)利用最值;
(4)引入辅助函数把常值不等式变成函数不等式; (5)利用函数凹凸性;
(6)利用泰勒公式。
b,abb,a例1、 当,试 0,a,b,ln,
baa即证:
1lnb,lna1 ,,bb,aa
y,lnx(a,b)[a,b]证: 设 ,在连续,可导, 由拉格朗日中值定理
1lnb,lna,(b,a) ,
lnln1b,a 即 ,a,,,bb,a,
1lnb,lna1? ,, bb,aa
第- 40 –页
x,ln(1,x),x例2、设,证明 x,01,x
f(x),x,ln(1,x)证: 设
1x/ f(x),1,,1,x1,x
f(x),f(0),0f(x)单增,当 x,0
x,ln(1,x)?
x设 f(x),ln(1,x),1,x
112,x/ f(x),,,,0221,x(1,x)(1,x)
f(x),f(0),0f(x)单增,当 x,0
xln(1,x),? 1,x
2x,1,lnx例3、当 证明 x,0
2 证: 令 f(x),x,1,lnx(x,0)
22x1,/ f(x),x
1/x, 令得 f(x),02
驻点唯一,
1//f(x),x,,0 ? 2x
1f() ? 极小 2
第- 41 –页
1f() ? 为最小值 2
131,,即 x,0f(x),f,,ln2,0,,222,,
p,1例4、 当 0,x,1
p,1pp 证明 ,,2,x,1,x,1
证:
pp 设 0,x,1,,,,fx,x,1,x
p,1/p,1 ,,,,fx,px,p1,x/令 , ,,fx,0
1x, 驻点唯一 2
,,,,f0,f1,1
11,,1,pf,,2,, p,122,,
1,,,,p,1fx0,1当 , ? 在上 ,1p,12
1,p21最大值为 ,最小值为
2p,1pp,,2,x,1,,,1?
,,,,,,e例5、 设,证明 ,,,
第- 42 –页
,,lnln,证明:即 证 ,,
lnx,,fx,设 x
1,lnx/ , ,,fx,,0x,e2x
,,lnln,,fx时 ? 单减 当 ,,,x,e,,,
,, 即 ,,,
/,,,,,,fx0,cf0,0例6、 设在上可导,且单调减, ,,fx
,,,,,,fa,b,fa,fb证明: ,。 0,a,b,a,b
,,,,,,,,Fx,fx,a,fx,fa 证: 令
/// ,,,,,,Fx,fx,a,fx
/ ? 单调减 ,,fx
// , , a,0x,a,x,,,,fx,a,fx
/,,Fx ? ,即单调减 ,,Fa,0
,,,,,,fx,0 ,bFb,F0,0 ,
,,,,,, 即 fa,b,fa,fb
作业:见课后习题
第四章不定积分
教学目的与要求
1(理解原函数概念、不定积分和定积分的概念。
第- 43 –页
2( 掌握不定积分的基本公式,掌握不定积分和定积分的性质及定积分中
值定理,掌握换元积分法与分部积分法。
3( 求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。
一、一元函数积分的概念、性质与基本定理
1、原函数、不定积分
/,,,,Fx,fx,,fxF,,xF,,x 在区间?上,如,称为的导函数,称
,,fx为的原函数,原函数与导函数是一种互逆关系。
如为的一个原函数,则为的全体原函数。 ,,fx,,,,Fx,,fxFx,C
,,Fx,Cf(x)dxf(x)dx记为,即= ,,
不定积积分性质
/,,(f(x)dx),f(x)df(x)dx,fxdx(1) 或 ,,
/F(x)dx,F(x),C(2) ,
k f(x)dx,k f(x)dx(3) ,,
( f(x),g(x))dx, f(x)dx,g(x)dx(4) ,,,
?原函数与导函数有互逆关系,
?由导数表可得积分表。
lnxF,,x例、 已知是的一个原函数,
x
求: ,,dFsinx
lnx/解: ,F(x)x
dF(sinx)lnsinx dF(sin x),dsinx,cosxdxdsinxsinx
第- 44 –页
,,,,fxfx例、的导函数是 ,则的原函数 sinx
,sinx,cx,ccc,(、为任意常数) 1212
例、在下列等式中,正确的结果是 C
/,, f(x)dx,fx df(x),f(x) A、 B、 ,,
dC、d f (x)dx,f(x) D、 f (x)dx,f(x),,dx
111124例、 xx(1,)dx,x,x(1,)dx,,22xx
35,44,(x-x)dx ,
71,444 ,x,4x,C7
2、计算方法
01 换元法
第一类换元法(凑微分法)
常用凑微分形式
,,dx,c,dx dkx,kdx
1xxdx,dlnxedx,de
x
11,,dxd cosx,dsinx2xx
第- 45 –页
12 secxdx,dtanxdx,dx
2x
1x2 dx,d arc sin xdx,d1,x221-x1,x
2-x2 sin2xdx,dsinx dx,d1,x21-x
2,sin2xdx,,dcosx
例:
11111、 dx,,d(3,2x),,ln3,2x,c,,3,2x23,2x2
3ln x222、 dx,lnxd ln x,(lnx),c,,x3
13343、 cos x sin xdx,sin x d sin x,sin x,c,,4x1224、 d x,,d1-x,1,x,c,,221-x
333112-x-x3-x5、 xedx,,ed(-x),,e,c,,33111x1x,,6、 dx,d,arctan,c,,2,,22a,xaaaax,,,,1,,,a,,
11112x7、 d x,d2x,arctan,c,,2229,4x23,(2x)6a
118、 d x,d(x,1)c,,22x,2x,5(x,1),4
第- 46 –页
1x,1 ,arctan,c221x9、 d x,arcsin,c,22aa-x
dxdx10、 ,,,221,12x-9x5,(2,3x)
12,3x ,,arcsin,c352sec x111、 ,d(tanx,1),2tanx,1,c,,tan x,1tan x,1
42212、 tanxdx,tanx(secx,1)dx,,
22 ,tanxdtanx,(secx,1)dx,,
13 ,tanx,tanx,x,C3
4arcsinx413、 dx,arcsinxdarcsinx,,21,x
15 ,arcsinx,C5
xxxx14、 esin(e,1)dx,sin(e,1)d(e,1),,
x ,,cos(e,1),Ccosx15、 ds,2cosxdx,,x
,2sinx,C arctanxarctanx16、 dx,2dx,,1,x,(1x)x
,2arctanxdarctanx,
第- 47 –页
2,arctanx,C
xx,,11ee17、 ,dxdx,,xx,,1e1e
xe ,1,dx,x1,e
xd1,e,, ,x,,x1,e
x ,,,x,ln1,e,C
xxxe,1dede18、 dx,,,,,2x2xx2xe,4e,4e(e,4)
xx1e11e,,x arctande,,,,,,x2x224ee,4,,
x1ex12x ,arctan,,ln(e,4),C
2248
22x,cosx13x,3cosx19、 dx,dx,,33x,3sinx3x,3sinx
31d,,x,3sinx13 ,,lnx,3sinx,C,33x,3sinx3
xxlnx,,,,x1,lnxdx,edxlnx解: ,,
xlnxx,e,C,x,C lnsinx20、解: dx,lnsinxdtanx,,2cosx
cosx ,tanxlnsinx,tanxdx,sinx
,tanxlnsinx,x,C
第- 48 –页
sinx,tanx,tanx 21、edx,tanxedtanx,,3cosx
,tanx ,,tanxde,
,tanx,tanx ,,tanxe,edtanx,
,tanx,tanx,,tanxe,e,C 22、设,则 ,,xfxdx,arcsinx,C,
3dx12 ,,,,1,x,C,,,fx3
二(第二换元法
定理2
除了凑微分法外其它常用变量代换
(1)被积函数中含有二次根式
22,令 x,asinta,x
22,令 a,xx,atant
22,令 x,ax,asect
2如是配方 ax,bx,C
222222,u,a,u,a,a,u 111
21x,x,sint,dx,costdt例1、 令 dx,2x
cost 解:原式 ,,costdt,21 sintx
t 22 ,cottdt,(csct,1)dt,,
21,x
,,cott,t,C
第- 49 –页
21,x ,,,arcsinx,Cx
1例2、 二种解法 dx,22,xx4
x,2sect
x,4cosx
(2)被积函数中含一般根式
dx
例3、 ,31,x,2
323x,2,tx,t,2dx,3tdt解:令
23t1原式 ,dt,3(t,1,)dt,,1,t1,t
33332 ,,,x,2,3x,2,3ln1,x,2,C2
651x,tdx,6tdt例4、 令 dx,23x,x
526tt1原式 ,dt,6dt,6(t,1,)dt,,,34t,t1,t1,t
2t,, ,6,t,ln1,t,C,,2,,
366,3x,6x,6ln1,x,C
xe,1dx例5、 ,
第- 50 –页
xx2e,1,te,t,1解:令
2t2 ,,,xln(t1)dxdt2,t1
2t1,,原式 ,t,dt,21,dt,,,,22t,1t,1,,
t,1 ,2t,ln,Ct,1
xxx ,2e,1,ln(e,1,1),ln(e,1,1),C
02分部积分
,,,,uxvx<定理> 如、均具有连续的导函数,则
u dv,uv,vdu ,,
xcos x dx,xdsin x例1、 ,,
,x sin x-sin x dx ,
,x sin x,cos x , c
,x,xxedx,,xde例2、 ,,
,x,x,,xe,edx ,
,x,x,,xe,e,C
例3、
2(arcsinx)dx ,
12,,,x arc sinx ,x 2arc sin x , dx,,21-x
第- 51 –页
22 ,,,xarc sinx,2arc sinxd1-x,
1,,222,,xarc sinx21xarc sinx-1-xdx,,,,,,,21,x,,
22 ,,,xarc sinx,21,xarc sinx-2x,C
ln x1,,例4、 dx,,ln x d,,,,2xx,,
lnx1 ,,, dx,2xx
lnx1 ,,- , cxx
ln lnx例5、 dx,ln ln x d ln x,,x
11 ,ln x , ln ln x-ln x,,dx,ln xx
,ln x ln ln x-ln x ,c
22例6、 xtanxdx,x(secx,1)dx,,
2x ,xdtanx,,2
2x xtanxtan x dx,,,,2
2x ,x tan x,ln cos x- ,c2
22xarctanxx,1,1例7、 dx,arctanxdx,,221,x1,x
arctanx ,(arctanx,)dx,21,x
,arctanxdx,arctanxdarctanx,,
第- 52 –页
x12 ,xarctanx,dx,(arctanx),21,x2
1122 ,xarctanx,ln(1,x),(arctanx),c22
例8、
dx22 ln(x,1,x)dx,xln(x,1,x),,c,,21,x
22 ,xln(x,1,x),1,x,c
2xxxx例9、 ecosedx,edsine,,
xxxx ,esine,sinede,
xxx ,esine,cose,c
1222例10、 xsinxdx,x(1,cos2x)dx,,23x12 ,,xdsin2x,64
3x112 ,,xsin2x,xsin 2x dx,642
32xx1 ,,sin2x,xdcos2x,644
3x1112 ,,xsin2x,xcos2x,sin2x,c6448
xarcsinx2例11、 dx,,arcsinxd1,x,,21,x
第- 53 –页
2 ,,1,xarcsinx,x,c
03有理函数的积分 ,,Rxdx,
有理函数的积分
,AAAP(x)12,,,,,,?,1Q(x)(x,a)(x,a)(x,a)
,BBB12,,,?,,,,1(x,b)(x,b)(x,b) Mx,NMx,NMx,N331122,,,,?,,22,12(x,px,q)(x,px,q)(x,px,q)
Rx,SRx,SRx,S,,1122?,,,,22,12,,(x,rx,s)(x,rx,s)(x,rx,s)方法:
?真分式?部分分式
部分分式:
11Mx,NMx,N ,,,nn22ax,bx,px,q,,ax,b,,x,px,q
2 其中: p,4q,0
确定常数的值;再积分。
x,3dx例: 1) 2,x,5x,6
,2x2) dx 2,,2,3xx
1dx3) ,x(x,1)
第- 54 –页
14) dx 2,(1,2)(1,)xx
x,1 5) dx,2x,x,12
x,1x,1解: ,2,,,,x,x,12x,4x,3
AB ,,x,4x,3
Ax,3,Bx,4,,,, ,,,,,x,4x,3
A,,,,x,3,Bx,4,x,1
5令 x,4A,,7
2 令 x,,3B,7
x,1152,,? dx,,dx,,,,2x,3x,57x,4x,3,,
52 ,lnx,4,lnx,3,C77
11x,26) dx,arctan,c,2x,4x,822
112x,4,2 dx,,,22x,4x,82x,4x,82,,1dx,4,81 ,,,,dx,22,,22,,2x,4x,8x,2,2
11x,22 ,lnx,4x,8,arctan,c222
第- 55 –页
0,,4 三角有理式积分Rsinx,cosxdx ,
2x1,t2t2dt令 tan,tcosx,sinx,dx,22221,t1,t1,t
1127、 dx,,dt,2,2t2,sinx1,t2,21,t
1 ,dt,2t,t,1
11,,,dt,,,,222,,,,13,,,,t,,,,,,22,,,,
1t,2 2,arctan,C33
2
x2tan,122 ,arctan,C
33
2dxsecx8、 ,dx,,223,cosx3secx,1
11 ,d3tanx,23tanx,43
113tanx ,,arctan,C223
13tanx ,arctan,C223
,,,,,,fxFxF0,19、设的原函数恒正,且,当,有x,0
第- 56 –页
2,,fx,求 ,,,,fxFx,sin2x
,解: ,,,,Fx,fx
2, ,,,,FxFx,sinx
2, ,,,,FxFxdx,sin2xdx,,
1 ,,,,,,FxdFx,1,cos4xdx,,2
12 ,,Fx,x,sin4x,C4
,,F0,1 由 得C=1
1? ,,Fx,x,sin4x,14
2? sinxfx,,,1x,sin4x,14
例:
1,sinx1) dx ,sinx(1,cosx)
2xx1tan,2tan22cosx, sinx,22xx1tan,1tan,22
2xu,tan,dxdu 221,u
x1,dx 2) ,x
x,1,udx,2udu
第- 57 –页
dx
3) ,31,x,2
32x,2,udx,3udu
dx
4) ,3(1,x)x
56dx,6tdtx,t
11,xdx 5) ,xx
1,x2tdt,tdx,, 22x(t,1)
作业:见课后习题
第五章 定积分的概念
教学目的与要求:
1( 解变上限定积分定义的函数,及其求导数定理,掌握牛顿—莱布尼茨
公式。
2( 解广义积分的概念并会计算广义积分。
3(掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量(平面图形的面积、平
第- 58 –页
面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力做功、引力、压力和函数的平均值等)。
一、定义及性质
nb<定义>:,,, λ,max,xf,,,,xdx,limfζ,xi,,iia,,1in,x0,i1
注意(1)积分区间有限,被积函数有界;
(2)与“分法”、“取法”无关;
(3)定积分的值与积分变量的选取无关
bb,,; ,,,,fxdx,ftdt,,,,aa,,
,,,,,,,,,,fxa,bfxa,bfx (4)在有界是在可积的必要条件,在
,,,,,,a,bfxa,b连续是在可积的充分条件。
b,,,,y,fxfxdxy,0<几何意义>:在几何上表示介于,,,a
,之间各部分面积的代数和。 x,bx,a
aba补充规定 ,,fxdx,0,,,,fxdx,,fxdx,,,aab<性质> 性质(1)—(9)(1---7省略)
,,a,b,,m,fx,M其中(8)为估计定理:在,,则
b ,,,,,,mb,a,fxdx,Mb,a,a
,,,,,,fxa,b,ζ,a,b (9)中值定理:如在连续,,使
b ,,,,,,fxdx,fζb,a,a
第- 59 –页
1,2例1(利用定积分几何意义,求定积分值 ,,1xdx,04
2上式表示介于, , y,0, 之间面积 x,1x,0y,1,x
12dx1例2、(估计积分值) 证明 ,,,02322xx,,
证:
2991,,2在 上最大值为,最小值为2 ,,0,12,x,x,,x,,,442,,
211? ,,2322xx,,
1211? ,,,02322xx,,
二、基本定理 牛顿—莱伯尼兹公式
0 1变上限积分
,,a,bx,,fx基本定理:设在连续,为上任意一点, ,,a,b
x,则是可导函数,且 ,,,,Φx,fx,,,,Φx,ftdt,a
xxd,,fx 即 说明为的一个原函数。 ,,ftdt,,,,ftdt,fx,,aadx
2222xx1,t,t,t例3、已知,, ,,Fx,edt,,Fx,edtF,e2,1,3,00cosx
2sinxx,t , , ,,Fx,edt,,,,Fx,tftdt,45,0cosx
xx , ,,,,,,Fx,x,tftdt,,,,Fx,xftdt,67,00
,, 求: ,,,??Fxi,1,2,,9,,i,,
第- 60 –页
解:
242,x,x,cosx,,,,,,,,,Fx,eFx,2xeFx,sinxe 123
22,,sinxcosx,,,,,,,,Fx,cosxe,sinxeFx,xfx 45
x,,,,,,,Fx,ftdt,xfx 6,0
'xxx/,,,,,,,,,,Fx,xftdt,tftdt,ftdt ,,7,,,000,,
1tlntdtcosxlncosx,sinx,cosx例4、 lim,lim43x,0x,0x4x
1sinxlncosx ,,,limcosxlimlim2x,0x,0x,04xx
11,sinx ,,,limx,0842x,cosx
22xt例5、有极大值的点为 D ,,y,t,1edt,0
A. B. C. D. x,1x,,1x,,1x,0
1x11x例6、如 ,则 B x,0F,,x,,,,,Fxdtdt,,2200,,1t1t
,1A. B. C. D. 02e
23
第- 61 –页
,,fx例7、 设在上连续,且 ,,,,,,,
x, ,,,,,,Fx,x,2tftdt,0
证明:若f(x)为偶函数,则F(x)也是偶函数。
证:
t,,u,xx ,,,,,,,,,,,,F,x,,x,2tftdt,x,2uf,td,t,,00
x ,,,,,,x,2tftdt,0
,,,Fx
02 定积分计算
?牛顿莱伯尼兹公式
,,a,b,,a,b,,,,,,FxFxFx<定理>设在连续。为在上的任意一个原
函数,则有
bbf(x)dx,F(x),F(b),F(a) ,aa
?定积分换元法与分部积分法
03 奇偶函数在对称区间积分性质,周期函数积分性质
,,fx(1) 在连续, a,0,,,a,a
aa,,fx当为偶数,则 f(x)dx,2f(x)dx,,-a0
a,,fx当为奇函数,则 f(x)dx,0,-a
第- 62 –页
a,TT,,fx(2) ,以T为周期 f(x)dx,f(x)dx,,a0
说明在任何长度为T的区间上的积分值是相等的。
142001x-x例9、 ,,x(1x)(e-e)dx,-1e
1x-x2,x(e-e)dx原式 ,0
1x-x2,xd(e-e) ,0
1xx, ,,,2x(e,e)0
4,
e
πcos xπcos x2例10、 dxdx,π,,2220,cosx,2sinx1,sinx2
ππ1π22,,,dsin x2arctansinx ,2001,sinx2
ππ24xcosxcos,xdx,xcosxsinxdx例11、 ,,00
π,2 ,xcosxsinxdx,xcosxsinxdx,,,0
2
ππ112,xdsin2x,x dsin 2x ,,0π222
第- 63 –页
π,
2
2,1,xx,03,例12、设 则 f(x-2)dx,f(x),,,x1ex,0,,
1,113A、 B、 C、 D、 e,2ee
3331
f(x-2)dx x,2,tf(t)dt ,,1-1
012x,(1,x) dx,edx ,,,10
2222xxdxdx,例13、 ,,00222x,x1-(x,1)x-1,sin t法一 设
2ππ(1,sin t)3222cos t dt,2(1,sint)dt,π ,,0πcost2,2
2法二 设 x,2sint 原式
π3!!π342 ,8sin t dt,8,,,π,04!!22
π,,,,fxfx例14、设为连续函数,且 求 f(x),sinx,f(x) dx,0
第- 64 –页
π,,fx,sinx,A解: 设 则 f(x) dx,A,0
两边积分
ππ
f(x) dx,(sinx,A)dx ,,00
ππA,,cosx,Ax 00
2 A,1,π
2 ? f(x),sinx,1,π
,,0,2,,,,gxfx例15、(、在连续,且
22f(x),3x,g(x)dx ,0
232g(x),x,3x,f(x)dx ,0,,,,gxfx求、的表达式。
2答案: ,,fx,3x,4
3 ) ,,gx,,x
xln t例16、设 ,,, fx,dtx,0,11,t
1,,,,fx,f求 ,,x,,
,,1x1ln tlnt,,,,,,x解: ,,fxfdtdt,,,,,,,,,,,11x1t1t,,,,,,,,
第- 65 –页
1lnlnx1,,x ,,,,,,211xx,,,1,
x
lnxlnxlnx ,,,,,1,xxx,1x
1lnx1,,2 ,,fx,f,dx,lnx,c,,,xx2,,
令 x,1c,0
,,f1,0 (?)
11,,2? ,, fx,f,lnx,,x2,,
xπsint,例17、设 求 f(x)dtf(x)dx,,00,πt解:
ππ
f(x)dx,f(x)d(x,π) ,,00
ππ
,(x,π)f(x),(x,π)df(x) ,00
ππsinx ,(x-π),dx,sinxdx,2,,00π-x
,,,,,,,fxf2,1f2,0例18、已知在上二阶可导,且,及,,0,2
2 f(x)dx,4,0
12,,求 xf(2x)dx,0
第- 66 –页
解:原式
11111122 ,,, ,xdf(2x),xf(2x),2xf(2x)dx,,002220
111111 ,,xdf(2x),,xf(2x),f(2x)dx,,002220
21111,,,,,,,f(t)d t1 ,02422
,,,,fx,,,,,例19、设在连续
xxu,,证明: ,f(u)(x-u)d uf(x)dxdu,,,000,,,,
xuxu证:右边 = uf(x)dx,,udf(x)dx,,,0000
xx,xf(x)dx,uf(u)du ,,00
xx,xf(u)du,uf(u)du,,00 x,(x-u)f(u)du,0
1x例20、设 a,1I(a),x,aedx,,1
,I(a)求
a1xxI(a),(a-x)edx,(x-a)edx解: ,,,1a
aa11xxxx,aedx,xedx,xedx,aedx ,,,,,1-1aaa1xaaaxa,I(a),edx,ae,ae,ae,edx,ae ,,1a,
第- 67 –页
a1xxedxedx,,,1a,,
1a1xxaee2ee,,,,,,1ae
f(x)1lim,A,,fx例21、设连续,,且 ,(x),f(xt)d t,x,00x
,,求,并讨论在处连续性 ,(x),(x)x,0
f(x)?lim,A解: x,0x
?f(0),linf(x),0 x,0
,,,0,0得
x1令 x,0xt,u,(x),f(u)d u,0x
1,x,f(u)d ux0,, 0?,,(x)x,
0x,0,,
,,(x)-(0),,(x)lim, x,0x-0
x
f(u)duf(x)A,0,,,limlim 2x,0x,02x2x
x,,xf(x)f(u)du,,0,x0,,?2 ,,(x)x,
A,,x0,,2
第- 68 –页
x
,xf(x)f(u)du,/0,,lim(x)lim 2x0x0,,x
x
f(u)duf(x),0,lim(,)2,x0xx
AA/,A-,,,(0)
22
,? 在连续 ,(x)x,0
,,,,,,,,即在连续 ,(x)
ππxx1,,2例22、试证方程 在内有且,sintdt,dt,0,,2ππ,,sint102,,102
仅有一实根
ππxx1,,2证:设 在连续 ,F(x),sintdt,dtππ,,2,,sint102102,,
且:
ππ1,,10F,,dt,0 ,,π2,10sint,,2
ππ,,22F,,sintdt,0,, ,π2,,10
ππ,,由介值定理 ,使 F(ζ)=0 ,ζ,,,,102,,
即F(x)=0有根
12又? , ,F(x),sinx,,02sinx
第- 69 –页
,,Fx单增
?根唯一
1,x,,fx例23、设在,连续 ,,,,0,1f(0),2efxdx1,2
,试证:内至少一点,使 f(ζ),f(ζ),,0,1,ζ
,xf证:设 ,,,,Fx,efx
,,Fx则在可导 ,,0,1
1-x F(0),f(0),2ef(x)dx中值 1,2
1,cef(c),F(c),c,1
2
,,Fx 在上满足罗尔定理条件 ,,0,1
,,,F,,0?至少存在一点ζ,使
,ζ-ζ-ef(ζ),ef(ζ),0即
,,,,,f,,f,亦即
2y2,3t3例24、 x,edt,y,4,0,0
42,y,,3x,2yye,3yy,0
23x ,y,4,y22ye,3y
第- 70 –页
例25:
,f(x),0f(x)(a,b)设在连续,可导,且,[a,b]
x1,F(x),0(a,b)证明在内,有 ,F(x)f(t)dt,a,xa
x(x,a)f(x),f(t)dt,a证: ,F(x),2(x,a)
(x,a)f(x),(x,a)f(,) ,a,,,x,b2(x,a)
f(x),f(,) ,x,a
,(a,b),,x在单调减, ?f(x),0?f(x)
,F(x),0,f(,),f(x) 故
作业:各章节课后习题。
第六章 定积分应用
1平面图形面积
第- 71 –页
(?)直角坐标:
b,,s,f(x),f(x)dxa,bf(x),f(x) 2112,a
d,,,,(y),,(y)dyc,d,(y),,(y) 2112,c
例1:
2(0,,3)(3,0)求抛物线及其点和处的切线所y,,x,4x,3围成图形的面积
,K,y,,2x,4解:
K,4(0,,3)y,4x,3在点处,,切线方程 1
(3,0)K,,2y,,2x,6在点处,,切线方程 2
y,4x,33,,, 得交点 ,3,,,y,,2x,62,,,
3
22,,S,4x,3,(,x,4x,3)dx ,0
32,,,,2x,6,(,x,4x,3)dx 3,2
33222,xdx,(x,6x,9)dx 3,,02
999 ,,,884
(ii)极坐标
第- 72 –页
,122,,,,,,,S,(),()d21,,2 ,1,,22,[,(),(,)]d,,,,,21,,2,,
2例2、求由曲线所围图形公共部分的,,2sin,,,,cos2,
面积
,,,,2,25,解:两曲线的交点 ,,,,,,,,,,,2626,,,,
,,,,211 64,,,,,,,,S22sindcos2d,,,,,022,,6,,
,,64,+ (1,cos2,)d,cos2,d,,,0,
6
,,641131,,,, sin2sin2,,,,,,,,,,,22620,,6
2旋转体体积
y,0,y,f(x),x,a,x,bx由所围平面图形绕轴旋转一
周所生成的立体体积,
b2 V,,f(x)dx,xa
由所围平面图形绕旋转yx,l(y),x,0,y,c,y,d一周所得旋转体体积
第- 73 –页
d2 V,,,(y)dyy,c
P(1,0)例3、过点作抛物线的切线,求该切线与抛物y,x,2
xx线及轴所围平面图形绕轴旋转而成的旋转体体积 y,x,2
解:设切点为 (x,x,2)00
1切线方程 y,(x,1)
2x,20
? 切点在切线上,
1? x,2,(x,1)00(3,1) 2x,20
,
0 1 2 3 1?切线方程: y,(x,1)2
133,2 V(x1)dx(x2)dx,,,,,,,x,,1246
y
,,2sin,
,,,,4,,6
x
02,,cos2,
第- 74 –页
03平面曲线弧长
,,(1) 曲线: y,fxa,x,b
b2,,s,1,fxdx ,a
,,x,xt,(2) ,,,t,,,,y,yt,
,22,,,,, s,xt,ytdt ,,
,,r,r,(3) ,,,,,
,22,,,,, sr,r,d,,,,,
例 求下类平面曲线的弧长
12,,y,ln1,x1. 曲线相应于的一段 0,x,2
,,,,r,a1,cos,a,02. 心形线的全长 x,1,cost,3. 摆线 的一拱 0,t,2,,y,t,sint,
2,2x1,x2,y,,1,y,解:1. 221,x1,x12,1x2,sdx ,20,1x
111,,21dx,,,,,, ,0,,1x1x,,
第- 75 –页
1
211,x,,,ln 21,x0
1,,,ln3 2
,,,r,,,asin,2.
22,,,,,r,,r,
222222,a,2acos,,acos,,asin,d,
,,2a1,cos,,2acos 22,,S,2acosd, ,02
,2,,,,2acosd,,cosd, ,,0,22
,2,,,,,,,2a2sin2sin,, ,8a22,,0,,,
2,22,,,,,,S,xt,ytdt3. ,0
2,22,,,,,sint,1,costdt ,0
2,t,2sindt ,02
第- 76 –页
2,t,2sindt ,02
2,t,,,4,cos,,,8 2,,0
04向变力沿直线作功,液体的水压力
作业见课后练习
第七章 空间解析几何
教学目的与要求 14学时
1( 解空间直角坐标系,理解向量的概念及其表示。
2( 握向量的运算(线性运算、数量积、向量积、混合积),掌握两个向
量垂直和平行的条件。
3( 解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式,熟练掌握用坐
第- 77 –页
标表达式进行向量运算的方法。
4( 掌握平面方程和直线方程及其求法。
5( 会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角,并会利用平
面、直线的相互关系(平行、垂直、相交等)解决有关问题。 6( 会求点到直线以及点到平面的距离。
7( 理解曲面方程的概念,了解常用二次曲面的方程及其图形,会求以坐
标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。 8( 了解空间曲线的参数方程和一般方程,了解空间曲线在坐标平面上的
投影,并会求其方程
01向量及其线性运算
向量:有大小、方向的量。
向量相等:大小、方向
单位向量、零向量
向量的坐标表达式及其运算
1) 向量的加法、减法
满足:交换律、结合律。平行四边形、三角形法。
2) 向量的数乘
满足:结合律、分配律
3) 两向量平行的充要条件: b,,a
4) 空间直角坐标系(右手坐标系)
5) 利用坐标作向量的线性运算
1) 向量的坐标向量表示
2) 对应坐标运算。
例:书上例题。
6) 向量的模、方向角投影
1)的模与两点间的距离公式。
第- 78 –页
222r,OM,op,oQ,oR
222AB,(x,x),(y,y),(z,z) 212121例4:
1) 方向角与方向余弦
xx cos,,,oMr
y cos,,r
z cos,,r
222cos,cos,cos,1,,, 例: 例7、8
2) 向量在轴上的投影
,,a,acos,1) u
(a,b),(a),(b) 2) uuu
(,a),,((a) 3) uu
02向量的数量积的向量积
,,,,,,a,ai,aj,ak,a,a,a xyzxyz
,,,,
,,b,bi,bj,bk,b,b,b xyzxyz1)向量积
第- 79 –页
,,,,,,,,,,,,,ababcosa,b ,,,,
,,,,,,,,,,abba,, ba
,222a,a,a,a xyz性质:
,,
a,b,ab,ab,ab xxyyzz
,,,,,,,a,b,,,a,b,arccos,,应用:(i) ,,ab,,
,,,,2a,a,a,a(ii)
,,,,
a,b,a,b,0(iii)
例1、习题4,1选择题(1)(2)(3)
2 填空题(3)(4)(5)
,,,,,,π,,,例2、 ,,a,5,b,2,a,b,,则2a,3b,219,,3,,解:
,,,2,,,,,,,2a3b2a3b2a3b,,,,,
,,,,22,4a,2a,b,9b,76
,,2a,3b,219?
第- 80 –页
,,,
a,b,c(2)向量积
,,,,,,,,,,c,a,b,a bsina,b
,,,,,,,,,,c,a,c,b即a,b,a,a,b,b,
右手定则
,,,,,,,,,,a,b,a,0,a,b,b,0即
,,,,
a,b,,b,a注意
,,,
ijk,,a,b,aaaxyz
bbbxyz
1S,AB,AC应用(i) ΔABC2
,,,,a//b,a,b,0(ii)
,,,,,,,,,a,c,b,c,则c//a,b(iii)如
即利用向量积求出同时垂直两个已知矢量的矢量。
例3、习题4,5,2(4)
,,,,,,,,a,b,3,a,b,1,,1,1a,b例3、 设知量满足,
第- 81 –页
,,,,π,,,a,b,则 ,,6,,
,,,a,b,,,3,,,,tana,b,,解: ,,,a,b3,,
,,π, ? ,,a,b,6
03平面及其方程
,,,已知平面过点M(x、y、z),n,A,B,C为的法矢量。 0000
1> 点法式:A(x-x)+B(y-y)+C(z-z)=0 0002> 一般式:Ax+By+Cz+D=0,A、B、C不全为零。
yxc3> 截距式:,a,b,分别为平面在x轴、y轴、z轴上的截,,,1abz
距。
,,,ππnn? ? 1212
,,,ππnn? ? 1212
点M(x、y、z)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离为 0000
Ax,By,Cz,D000d, 222A,B,C
例1、
求通过点P(2,-1,-1),Q(1,2,3)且垂直于平面2x+3y-5z+6=0的平面
方程。
第- 82 –页
,,,ijk,,,,解 QPn13427i3j9k,,,,,,,1
235,
,,QP,1,,3,,4: ,
,,,n,2,3,,5已知平面的法矢量 1
,,,n,,9,,1,3取
所求平面为:9(x-2)-(y+1)+3(z-1)=0
即:9x-y+3z-16=0
例2、
解:(1)解法一:设平面方程:x+By+D=0 将点M(2,-1,0),M(3,0,5)分别代入得 12
,2,B,D,0,B,,1,, 3,D,0,D,,3,,
?平面方程为:x–y–3=0
,,,n,MMn,k解法二:, 12
,,,ijk,,, kMM001ij,,,,,12
115
,,, 取 n,,1,1
-(x–2)+(y+1)=0
得平面方程:x–y–3=0
第- 83 –页
yz,,1(2)设平面方程为y+Cz+D=0 即 D,D,C
,D,5,, D,,,2,C,
5C, ? 得 2
D,,5
5y,z,5,0 ? 2
2y,5z-10,0
04直线及其方程
<1> 空间直线的一般方程
Ax,By,Cz,D,0,1111L: ,Ax,By,Cz,D,02222,
<2> 点向式(对称式)
,,,s,m,n,p直线过点M(x、y、z),为L方向向量 0000
xxyyzz,,,000,,则 L: mnp
x,x,mt,0,y,y,nt<3>参数式L: t为参数 ,0
,z,x,pt0,
第- 84 –页
,,,sL?L ? s1212
,,,sL?L ? s1212
05直线与平面关系
,,,,s,n,0,s<1> L?π ? 即 n
ABC,,,,,s<2> L?π ? nmnp
,,,<3> 点P到直线L的距离,L的方向向量s,m,n,p,M为L上一点 0
,MPs,0
d, ,s
例3、 习题4 2、(7)、(8)
x,2y,4z,1,,解(7) 直线 即所求平面法向量,131
,,,n,-1,3,1
由点法式 -(x–1)+3(y–2)+(z+1)=0 即 x–3y–z+3=0
x,By,Cz,0(8)设平面方程为,
,,,,,,n,1,B,C,n,4,,1,2 1
第- 85 –页
,,n,n,04,B,2C,0B,1 得 1
(6,,3,2)6,3B,2C,0点代入平面,得:
3 C,,2
2x,2y,3z,0所求平面
<4>平面束方程
,,,,0AxByCzD,1111,直线L: ,,,,0AxByCzD2222,
Ax,,By,Cz,D,(Ax,By,Cz,D),0则 11112222
Ax,By,Cz,D,0为过直线L的除平面外的平面束方程 2222
3x,4y,2z,5,0,
z例 一平面过直线L:,且在轴有截距,,3,x,2y,z,7,0,
求它的方程
解:过直线L的平面束方程为:
3x,,4y,2z,5,(x,2y,z,7),0
(,,,3)x,(4,2,)y,(,,2)z,7,5,0即
7,511,,3,,,据题意 ,24,
第- 86 –页
11
,,,代入平面束方程,得: 4
x,38y,19z,57,0
习题4 , 2 ,(9)
x,1y,2z,3L:,,例 已知两直线方程 110,1
21x,y,zL,,,则过且平行的平面方程是LL2:12211
x,3y,z,2,0
,,4,0xz,,,,s,1,0,,1L,解: 1:,2,0y,
x,,z,4,(y,2),0L过的平面束方程: 1
,,,x,,y,z,4,2,,0n,1,,,1即
,,
,,,3s,n,0L由平行 ? 得 2
x,3y,z,2,0所求方程为:
2x,y,2,0,,:y,2z,2,0L:例 已知平面 直线 ,3y,2z,2,0,
,(1)直线和平面是否平行, L
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,,(2)如直线与平面平行,则求直线与平面的距离,如不平行,LL
,则求与的交点。 L
,(3)求过直线且与平面垂直的平面方程 L
,,,n,0,1,2,解:法矢量
,,,
ijk,,,,2,10,2i,4j,6k的方向向量?, s
03,2
,,,s,1,2,3 取
,,n,s,0?
? 不平行 L与,
y,2z,2,0,
,2x,y,2,0解一、 得 交点(1,0,1) ,
,3y,2z,2,0,
xy,2z,2,,解二、将化为点向式,(在中令LL123
x,0,
(0,,2,,2)为Ly,,2,z,,2得,即上的一点),
化为参式
第- 88 –页
,得8t,8t,1,得交点(1,0,1)代入
x,t,
,y,2t,2,过直线的平面束方程: L
,z,3t,2,
2x,,y,2,(3y,2z,2),0
2x,,(3,,1)y,2,z,2,2,0即
3,,,1,4,,0,,1,? ? ,1
x,2y,z,2,0所求平面:
06曲面及其方程
常用二次曲面的方程及其图形
1、球面 :
,,Px,y,z,,Px,y,z设是球心,R是半径,是球面上任一点,则0000
PP,R,即 0
2222,,,,,,x,x,y,y,z,z,R 000
2222x,y,z,R
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2、椭球面
222xyz
,,,1 222abc
3、旋转曲面
fx,z,0,,,设L是x0z平面上一条曲线,L绕z旋转一周所 ,y,0,
(0,0,z)0
(x,y,z)(x,y,0)得旋转曲面:00
22,,f,x,y,z,0
22222 ,,x,x,y,z,z,x,y,z,z000
22,,x,,x,yz,z代入方程fx,z,0 00
22,,f,x,y,z,0得
z
y例1、0
x
2222,,z,x,y,z,ax,y 称为旋转抛物面
222x,yz,,1旋转双曲面:,(单) 22ac
222x,yzz,,, 22ac
第- 90 –页
22z,ax,byab,04、椭圆抛物面
222xyz,,,15、单叶双曲面 222abc
222xyz,,,,16、双叶双曲面 222abc
222xyz,,,07、二次锥面 222abc
222222z,x,yz,ax,by圆锥面
2,,y,axa,08、柱面 抛物柱面
22xy 椭圆柱面 ,,122ab
222x,y,R 圆柱面
06空间曲线及曲线在三个坐标面上投影方程
一般式
x,xt,,, Fx,y,z,0,,,,1y,yt,,参数式,,,,Fx,y,z,02,,曲线 在三坐标面上投,,z,ztFx,y,z,0,,,,1,,,Fx,y,z,02,影方程
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Fx,y,z,0,,,1在x0y面上投影曲线方程:在 中消去z,再与,,,Fx,y,z,02,
z=0联立。
其他坐标平面上的投影曲线方程求法类似。
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