无限循环小数可以化成分数
小数分为两大类:一类是有限小数,一类是无限小数.而无限小数又分为两类:无限循环小数和无限不循环小数.有限小数都可以
示成十分之几、百分之几、千分之几…,很容易化为分数.无限不循环小数即无理数,它是不能转化成分数的.但无限循环小数却可以化成分数:
(1)把0.323232…(即0.EQ \* jc2 \* "Font:宋体" \* hps16 \o\ad(\s\up 9(·),3)
EQ \* jc2 \* "Font:宋体" \* hps16 \o\ad(\s\up 9(·),2))化成分数.
设x=0.EQ \* jc2 \* "Font:宋体" \* hps16 \o\ad(\s\up 9(·),3)
EQ \* jc2 \* "Font:宋体" \* hps16 \o\ad(\s\up 9(·),2)=0.323232… ①
上面的方程两边都乘以100得
100x=32. 323232… ②
②-①得(目的是把无限循环部分减掉)
100x-x=32
99x=32
x= EQ \F(32,99)
所以0.EQ \* jc2 \* "Font:宋体" \* hps16 \o\ad(\s\up 9(·),3)
EQ \* jc2 \* "Font:宋体" \* hps16 \o\ad(\s\up 9(·),2)=0.323232…= EQ \F(32,99)
同样可得0.EQ \* jc2 \* "Font:宋体" \* hps16 \o\ad(\s\up 9(·),5)= EQ \F(5,9) ,0.EQ \* jc2 \* "Font:宋体" \* hps16 \o\ad(\s\up 9(·),3)0EQ \* jc2 \* "Font:宋体" \* hps16 \o\ad(\s\up 9(·),2)= EQ \F(302,999) .
我们把循环节从小数点后第一位开始循环的小数叫做纯循环小数,通过上面的例子可以发现,纯循环小数的循环节最少位数是几,化成分数的分母就有几个9组成,分子恰好是一个循环节的数字.
(2)把0.4777…化成分数
把小数乘以10得
0.4777…×10=4.777… ①
再把小数乘以100得
0.4777…×100=47.77… ②
②-①得
0.4777…×100-0.4777…×10=47- 4
0.4777…×90=43
0.4777…= EQ \F(43,90)
所以 0.4777…= EQ \F(43,90)
现在将0.325656…化成分数.
把小数乘以100得
0.325656…×100=32.5656… ①
把小数×10000得
0.325656…×10000=3256.56… ②
②-①得
0.325656…×(10000-100)=3256-32
0.325656…×9900=3224
所以 0.325656…= EQ \F(3224,9900)
同样可得0.17EQ \* jc2 \* "Font:宋体" \* hps16 \o\ad(\s\up 9(·),2)
EQ \* jc2 \* "Font:宋体" \* hps16 \o\ad(\s\up 9(·),5)= EQ \F(1708,9900) ,0. 3EQ \* jc2 \* "Font:宋体" \* hps16 \o\ad(\s\up 9(·),2)EQ \* jc2 \* "Font:宋体" \* hps16 \o\ad(\s\up 9(·),9)= EQ \F(326,990) .
我们把循环节不从小数点后第一位开始循环的小数叫做混循环小数.混循环小数化分数的规律是:循环节的最少位数是n,分母中就有n个9,第一个循环节前有几位小数,分母中的9后面就有几个0,分子是从小数点后第一位直到第一个循环节末尾的数字组成的数,减去一个循环节数字的差,例如0.17EQ \* jc2 \* "Font:宋体" \* hps16 \o\ad(\s\up 9(·),2)
EQ \* jc2 \* "Font:宋体" \* hps16 \o\ad(\s\up 9(·),5)化成分数的分子是1725-17=1708,0. 3EQ \* jc2 \* "Font:宋体" \* hps16 \o\ad(\s\up 9(·),2)
EQ \* jc2 \* "Font:宋体" \* hps16 \o\ad(\s\up 9(·),9)化成分数的分子是329-3=326.
再看一例:
2.3EQ \* jc2 \* "Font:宋体" \* hps10 \o\ad(\s\up 9(·),1)
EQ \* jc2 \* "Font:宋体" \* hps10 \o\ad(\s\up 9(·),7) = 2 + 0.3EQ \* jc2 \* "Font:宋体" \* hps10 \o\ad(\s\up 9(·),1)
EQ \* jc2 \* "Font:宋体" \* hps10 \o\ad(\s\up 9(·),7)
= 2 + eq \f (317-3,990)
= eq \f (1147,495) = 2 eq \f (157,495)
这里,2.3EQ \* jc2 \* "Font:宋体" \* hps10 \o\ad(\s\up 9(·),1)
EQ \* jc2 \* "Font:宋体" \* hps10 \o\ad(\s\up 9(·),7)可以化成整数2加上小数 0.3EQ \* jc2 \* "Font:宋体" \* hps10 \o\ad(\s\up 9(·),1)
EQ \* jc2 \* "Font:宋体" \* hps10 \o\ad(\s\up 9(·),7) ,将小数部分化成分数加上整数,即带分数或假分数.