“哥德巴赫猜想”讲义(第1讲)

“哥德巴赫猜想”讲义 (第1讲) “哥德巴赫猜想”的来历 主讲王若仲 哥德巴赫(Christian Goldbach),1690年3月18日出生于普鲁士的哥尼斯堡一个官员家庭。当时的普鲁士是德意志的一个邦国,哥尼斯堡(Konigsberg)是一座历史名城,德国的很多重要历史事件在这里发生。秀丽的小城哥尼斯堡,普雷格尔河贯穿全城,给城市带来了灵气。这条河有两条支流,它们环绕着一个小岛,在这两条支流上有七座桥,城里的居民常到这里散步,久而久之,人们就有了这样一个问题:能不能既不重复又不遗漏地一次走遍这七座桥?这就是有名的“哥尼斯堡七桥问题”。当时居住在俄国圣彼得堡的大家欧拉知道这个问题之后,进行了研究。他将陆地和小岛用点表示,而将七座桥用线表示,得到了一个用七条线组成的图形,于是七桥问题就变成了能否一笔画出这个图形的问题。1736年欧拉用严格的数学方法证明了这种画法是不存在的,就是说不可能既不重复又不遗漏地一次走遍这七座桥。欧拉关于哥尼斯堡七桥问题的研究,推动了一个重要的数学分支的产生,这个分支叫做拓扑学。 哥德巴赫年轻时在家乡的哥尼斯堡大学学习数学和医学。20岁大学毕业,由于年轻,渴望出去看看外面的世界,加之家庭状况也不错,于是1710年之后,哥德巴赫云游欧洲,结识了不少当时欧洲的第- 1 - 页共6 页 数学名家。哥德巴赫首先去莱比锡,拜访了大数学家莱布尼茨。莱布尼茨(G. W. Leibniz,1646-1716)对于数学的最大贡献是发明了微积分。哥德巴赫的到来,使莱布尼茨感到很高兴,对于这位朝气蓬勃的晚辈,莱布尼茨少不了给予指点和教诲。莱布尼茨广博的学识和高屋建瓴的观点,也使哥德巴赫终身受益。接着哥德巴赫又到伦敦访问棣莫弗。棣莫弗(De Moivre,1667-1754)是法国人,因躲避宗教迫害移居英国。棣莫弗最擅长的研究领域是概率论,并对此做出了很大的贡献。概率论是研究偶然性(或者随机现象)的数学分支,它的起源与掷骰子赌博的输赢问题有关。哥德巴赫对于理论研究和实际问题都很有兴趣。后来哥德巴赫去了欧洲其它一些城市,分别见到伯努利家族的几位成员,其中丹尼尔?伯努利和哥德巴赫关系密切。16世纪末,伯努利家族的祖辈为躲避宗教迫害,从比利时的安特卫普辗转来到瑞士的巴塞尔,在那里繁衍生息。这个家族以经商为传统,也有个别人行医,似乎都和数学沾不上边。但在一个世纪之后,却在三代人中出现了八位数学家,其中几位有相当大的成就。欧洲的旅行,使哥德巴赫不断开阔眼界,增长了学识,还在学术圈里交了不少朋友,收获颇丰。 1724年哥德巴赫回到了故乡哥尼斯堡,此时的哥德巴赫已经 34岁。俄罗斯彼得大帝听取莱布尼茨的建议, 1724年1月颁布谕旨,决定成立圣彼得堡科学院,彼得大帝拟定了科学院章程,其中强调,科学院的理论研究应对与国家实际利益密切相关的问题做出贡献,章程中的重要一条是,邀请国外的一些知名学者到科学院工作,以带动 俄罗斯科学的发展。据说莱布尼茨还写信给中国清朝的康熙皇帝,建议成立北京科学院,可惜未被采纳。1725年哥德巴赫又到俄罗斯。丹尼尔?伯努利也于1725年来到了圣彼得堡科学院,哥德巴赫就有了共同研究的伙伴,他们时常徜徉在涅瓦河畔,切磋讨论数学问题。1728年欧拉也到了圣彼得堡。此时的欧拉是一位20岁的青年,他是约翰?伯努利的学生,也是约翰的儿子丹尼尔的好朋友。在数学的历史上,人们常常将欧拉与阿基米德、牛顿、高斯并列为最伟大的数学家。由于丹尼尔的关系,哥德巴赫和欧拉很快就熟悉起来了,涅瓦河畔散步又多了一个伙伴。哥德巴赫比欧拉年长17岁,哥德巴赫欣赏欧拉的聪明和勤奋,欧拉钦佩哥德巴赫见多识广,他们之间是一种忘年之交。后来欧拉由于身体原因去了德国柏林,哥德巴赫与远在德国柏林的欧拉一直保持通信,讨论各种数学问题。1742年6月7日在莫斯科的哥德巴赫给柏林的欧拉一封信,同年 6月30日欧拉给哥德巴赫回信。哥德巴赫在信中说:“对于那些虽未切实论证但很可能是正确的命题,我不认为关注它们是一件没有意义的事情。即使以后万一证明它们是错误的,也会对于发现新的真理有帮助。正如你已经证明的那样,费尔马关于Fm给出一列素数的想法是不正确的,但如果能够证明Fm可以用唯一的方式表成两个平方数之和的话,那也是一个很了不起的结果”。当m ≥ 1 时,F m是形如 4n+1 的正整数。由上述费尔马的一个命题,如果F m是素数的话,那么F m自然就可以用唯一的方式表成两个平方数之和。哥德巴赫的意思是,在无法保证 F m 是素数的情况下,看看能否证明弱一点的结果“ F m 可以用唯一 的方式表成两个平方数之和”。欧拉在回信中否定了哥德巴赫的想法。 哥德巴赫在信中又说:“类似地,我也斗胆提出一个猜想:任何由两 个素数所组成的数都是任意多个数之和,这些数的多少随我们的意愿 而定,直到所有的数都是 1 为止。例如:4=1+3=1+1+2=1+1+1+1, 5=2+3=1+1+3=1+1+1+2=1+1+1+1+1,6=1+5=1+2+3=1+1+1+1+2=1+1+1 +1+1+1,…。哥德巴赫又在页边的空白处补充道:“重新读过上面的 内容后,我发现,如果猜想对于n成立,而且n+1可以表成两个素数 之和的话,那么,可以严格地证明猜想对于n+1也成立。证明是容易 的。无论如何,看来每个大于2的数都是三个素数之和”。这里哥德 巴赫把1看成了素数。下面欧拉也采用这种看法,欧拉在回信中说: 关于每个可以分成两个素数之和的数又可分拆为任意多个素数之和 这一论断,可由你以前写信告诉我的一个观察(即每个偶数是两个素 数之和)来说明和证实。如果所考虑的数n是偶数的话,那么它是两 个素数之和。又因为n-2也是两个素数之和,所以n是三个素数之和, 同理它也是四个素数之和,如此等等。如果n是奇数的话,因为n-1 是两个素数之和,所以n是三个素数之和,因此它可以分拆为任意多 个素数之和。无论如何,我认为“每个偶数是两个素数之和”是一条 相当真实的定理,虽然我不能证明它。因为这是私人间的通信,所以 其中的说法相当随意,在数学上是不严格的。后人在数学上将它们严 格化,并称之为“哥德巴赫猜想”。 英国数学家华林(E. Waring,1736-1798),在1770年出版的《代 数沉思录》一书中,首次提出了如下形式的哥德巴赫猜想: 1. 每个大于2的偶数都是两个素数之和; 2. 每个奇数或者是一个素数,或者是三个素数之和。 标准的现代版本是这样的: 1. 每个不小于6的偶数都是两个奇素数之和; 2. 每个不小于9的奇数都是三个奇素数之和。 也可以将它们写成下面的数学公式: 1. N=p1+p2 , 当N(N≥6)是偶数; 2.N=p1+p2+p3,当N(N≥9)是奇数;其中p i(i=1,1,3)均为奇素数。哥德巴赫猜想的表达形式简洁明了,体现了数学的优美感觉。从乘法来看,素数是构成自然数的基本元素,在哥德巴赫猜想中,将素数放到加法的环境里,实际上是刻画了加法和乘法的某种关系,而这两种运 算在数学中是最基本和最常见的。 据说早在哥德巴赫之前,法国哲学家和数学家笛卡儿(R. Descar tes,1596-1650)在他的手稿里就有“每个偶数是至多三个素数之和”这样的叙述。虽然欧拉无法预料素数理论的发展,但他深知解决哥德巴赫猜想已经远远超出他的能力之外。 1900年,第二届国际数学家大会在巴黎举行,大数学家希尔伯特(David Hilbert)作了题为“数学问题”的讲演。在这篇著名讲演中,他为新世纪的数学家提出了23个问题, 这些问题对于后来的数学发展产生了深刻的影响。希尔伯特以有机统一的观点,来看待数学的整体发展,他将哥德巴赫猜想作为第8问题(即“素数问题”)的一部分, 从此哥德巴赫猜想不再是孤立的数学难题,而成了近代数学重要的一环。后来的发展证明,希尔伯特的眼光是非常正确的。 参考文献 [1]贾朝华,从哥德巴赫说开去 二〇一四年四月十日第- 6 - 页共6 页