西安交大 《矢量与张量分析》作业题

西安交大 《矢量与张量分析》作业题 矢量与张量分析习题 第一章 1(证明下列恒等式: (1); abcdacbdbcad，,，,,,,,,，，，，，，，，，，，， (2); abcbcacab0，，，，，，，，,，，，，，， 2abbccaabc，,，，，,,，(3). ，，，，，，，， 2(试证明矢量积满足分配律，即 . abcabac，，,，，，，， 第二章 1( 若 ，， Aijk()sin cos tttt,，，Bijk()cos sin 4 ttt,,, d(())ABC，， ，求在的. t,0Cijk()7 6 2 t,，,dt 2,,aa,2( 设, 求 . aijk,，，uvchuvu cos 2,,vu ,/23sin 4cos ttdtij，3( 求. ，，,0 第三章 ?3.1 3fxyzxyz(,,),，A(3,1,4)1. 求标量场在点处的梯度及沿从点A B(8,4,16)指向点方向的方向导数. 23333uxyz,，，xtytzt,,,,,,(1,1,1),2. 求在曲线上点处, 沿 曲线在该点的正切线方向的方向导数. fxy(,)P(3,1)s,,(1,1)3. 设在点处沿的方向导数是2, 沿 的方向导数是, 求在处沿的方向导数. m,,(0,1)n,(4,5)P,1 22hxyxxy(,)2311,,,,，4. 设为山的高度. (1) 从点沿哪一方向是最陡下降的方向? (0,1) (2) 决定山顶的位置和高度. ?3.2 22Aijk,,，,xyxyz () 1. 求矢量场通过点的力线方M(2,1,1) 程. ?3.3 2Fijk,，，xzxyxy 2 1. 求矢量场沿圆周 222Cxyzz:4, 0，，,,(从z轴看C依顺时针方向)的环流. 3Fijk,,，yzxzz 4 2. 计算力沿螺旋线 从t,0运动到时刻所作的功. Rijk()cos sin 2 tttt,，，t,,3. 已知 2223232Aij,,，，，,，(223)(42)xzxyzxyyzxxyz 4222(22)yzxzxy，,k v为一势量场, 试求势函数. ?3.4 22Aijk,,，,(3) xzxyxz1. 求矢量场经过立方体 02,02,02,,,,,,xyz的通量. , 求矢径经过球2. 设rijk,,，,352||2rr,,Rijk,，，xyz 00 面的通量. ?3.5 1. 载直流电流I的无限长导线产生的磁场强度为 I, 求. div HHij,,，yx ，，22,2xy，，， 22xyz，,,,4, 022. 求矢量经过直圆柱 Aijk,,，xzxyz 3 的通量. 3232222aFijk,,，,，,(22)(3)(63)xyaxzyxyxzyz3. 设. 问取何 值时, 是一个管形场? F ,jkre22,，,k04. 验证 (r,0, k j是一个常数,为纯虚数单位). ，，r ?3.6 24Aijk,，，，xyzxzyz () 1. 求矢量场在点M(3,2,1)的旋度. 2. 求矢量场Fijk,，，PxQyRz() () () 的旋度. 22222Aijk,，,yxyz 3 3. 设， S为上半球面的上zxy,,,1 nrotdSAn,侧， 为其单位外法线矢量. 计算面积分 . ,,S a,,，raf(r)4. 设为常矢量, 求. ,, ?3.7 22,,,,g,,,,ggxyz(,,)1. 如果存在使在区域D中有和, D . 的边界为S. 证明 ,,,, 0,,,,,dS，，,,S 第四章 ?4.1 1. 对椭圆柱坐标系: (,,)uvz xachuv, cos, ,yashuv, sin , ,zz, , (1) 求它的坐标面和坐标线; 123aaa, , (2) 求酉矢量aaa, , 和互易矢量; 123 ijgg(3) 求度规系数和; ij udA(4) 求体积元dV和表面上的面积元. 1 22xy，,12. 求椭圆柱面在和之间的体积和表面积. z,0z,5259 ?4.2-?4.3 1. 对椭圆柱坐标系导出梯度、散度、旋度形式. ,,,,f2. 设f是一标量场, 证明 . 如果(, v, w)u是正,,,f，，,,,,yy,, ,,f,,,,,f交曲线坐标系, 则方程是否总成立? ，，,,,,vv,, ?4.3-?4.5 1,,32,,f(,,)cosrzrz,，1. 在圆柱坐标系中计算标量场在点,,3r,, ,rz,,,,1, , 3的梯度. ,4 23Fiii,，，rrzsin 3cos 4 ,,2. 在圆柱坐标系中计算矢量场的231 散度. 322Aiii,,，rrcossin cos sin ,,,,为球坐标系中的矢3. 设231 量场, 在点计算. xyz,,,1,0,0||,，A 1,,4. 验证球坐标系中的方程 ,,. ,,,，,cos ，，,,r,, 222,,,,,,，，,,5. 用椭圆柱坐标写出方程式 . 222,,,xyz 第五章 1. 证明张量识别定理(第151页的定理). klmklmlpmq2. 设为张量分量, 证明 . TT, gTggT,ipqikipq 123a3. 设在直角坐标系下, 的分量为 xxx,,，， 113221332aaxxaxxaxx,,,, , . 求在球坐标系下的协变分量和 逆变分量. 1234. 设在直角坐标系中给出二阶张量 xxx,,，， 12312，，xxxxx ,,23213axxxxx,, ，，ij,,12133,,,,xxxxx，， 2',aa求它在圆柱坐标系下的协变分量和混合分量. ,3'2'3' 5. 求椭圆柱坐标系的克氏记号. 复习: 梯度、散度、旋度的计算与性质 一) 正交曲线坐标系下的计算公式 123,,,,，，(,,), uuuFFFFiii 设 , 则 231123 31,, 梯度 (4—92) gradi = ,,,,,jjhu,,j1j 散度 , 计算公式为(4—93); div = FF,, 旋度 , 计算公式为(4—95)或(4—94)( rot = FF,， 其中度规系数(尺度因子)为: hhh,,,1, 1, 1; 直角坐标系 见(3—14)，(3—73) 及 123 (3—115) hhrh,,,1, , 1; 圆柱坐标系 见(4—115) 123 hhrhr,,,1, , sin;, 球坐标系 见(4—125) 123 (设c为常数, crr为常矢量,为矢径,r=||).二) 性质 (1) 线性性质 ,,,,,,,,,，,,，() , () , () ;cfcfccccAAAA ,，,,，,() ;fhfh (3—23) ,,，,,,，,,() ;AFAF (3—80) ,，，,,，，,，() ;AFAF (3—128) (2) 两个函数乘积的微分性质 ,,,，,() ;fhfhhf (3—24) ,,,,,，,,() ;fffAAA (3—81) ,，,,，，,，() ;fffAAA (3—129) (3) 两个函数商的微分性质 fhffh,,,,, (3—25) ,,, (0)h,,2hh,, (4) 复合函数的微分性质 , (3—26) ,,,fhfhh() (); (5) 特例 ,,,,,，,，() = ; () = ;ffffcccc r0 ,,,,,,,，,rrrr0; 3; ; r 0, ,,,，,frfrfr()(); ();rr0,, (3—130) ,,，,,,，,,,，()()();abbaab (6) 势(量)场)管形场)无旋场 势场 A,,,u 无旋场 ,，,A0 管形场 ,,,,A0 AF,,， v 势场与势函数的关系为 A,,gradv A (7) 基本的二次微分运算 2,，,,,,，,,,,,,,,();,,,, = 0; 0A ，，，， ,，,，,,,,,,AAA; (3—146) ，，，， (8) 高斯(Gauss)定理 AdsA,,divdV (3—68) ,,,,,SV (9) 斯托克斯(Stokes)定理 AdRAds,,,rot (3—131) ,,,cs