学而思高中完整讲义：排列与组合版块四排列数组合数的计算与证明学生版

学而思高中完整讲义：排列与组合版块四排列数组合数的计算与证明学生版 排列数组合数的计算与证明 知识内容 1(基本计数原理 ?加法原理 m分类计数原理:做一件事，完成它有类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第n1 mm二类办法中有种方法，……，在第类办法中有种不同的方法(那么完成这件事共有n2n Nmmm,，，，种不同的方法(又称加法原理( 12n ?乘法原理 m分步计数原理:做一件事，完成它需要分成个子步骤，做第一个步骤有种不同的方法，n1 mm做第二个步骤有种不同方法，……，做第个步骤有种不同的方法(那么完成这件事n2n Nmmm,，，，共有种不同的方法(又称乘法原理( 12n ?加法原理与乘法原理的综合运用 如果完成一件事的各种方法是相互独立的～那么计算完成这件事的方法数时～使用分类计数原理(如果完成一件事的各个步骤是相互联系的～即各个步骤都必须完成～这件事才告完成～那么计算完成这件事的方法数时～使用分步计数原理( 分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础～也是求解排列、组合问的基本思想方法～这两个原理十分重要必须认真学好～并正确地灵活加以应用( 2( 排列与组合 mmn()??排列:一般地～从个不同的元素中任取个元素～按照一定的顺序排成一列～n 叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列(,其中被取的对象叫做元素, nm mmn()?排列数:从个不同的元素中取出个元素的所有排列的个数～叫做从个不同nn m元素中取出个元素的排列数～用符号表示( mAnmmn，,N排列数公式:～～并且mn?( A(1)(2)(1),,,,，nnnnm，n 全排列:一般地～个不同元素全部取出的一个排列～叫做个不同元素的一个全排列( nn 的阶乘:正整数由到的连乘积～叫作的阶乘～用n!表示(规定:0!1,( 1nnn ()mn??组合:一般地～从个不同元素中～任意取出个元素并成一组～叫做从个nmn元素中任取个元素的一个组合( m ()mn?组合数:从个不同元素中～任意取出个元素的所有组合的个数～叫做从个nmn m不同元素中～任意取出个元素的组合数～用符号表示( Cmn nnnnmn(1)(2)(1)!,,,，mmn,,Nmn?组合数公式:～～并且( C,,，nmmnm!!()!, 高考学习网,中国最大高考学习网站Gkxx.com | 我们负责传递知识～ mnm,mmm,10组合数的两个性质:性质1:,性质2:(,规定, CC,CCC,，C1,nnnnnn，1 ?排列组合综合问题 解排列组合问题～首先要用好两个计数原理和排列组合的定义～即首先弄清是分类还是分步～是排列还是组合～同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法: 1(特殊元素、特殊位置优先法 元素优先法:先考虑有限制条件的元素的要求～再考虑其他元素, 位置优先法:先考虑有限制条件的位置的要求～再考虑其他位置, 2(分类分步法:对于较复杂的排列组合问题～常需要分类讨论或分步计算～一定要做到分类明确～层次清楚～不重不漏( 3(排除法～从总体中排除不符合条件的方法数～这是一种间接解题的方法( 4(捆绑法:某些元素必相邻的排列～可以先将相邻的元素“捆成一个”元素～与其它元素进行排列～然后再给那“一捆元素”内部排列( 5(插空法:某些元素不相邻的排列～可以先排其它元素～再让不相邻的元素插空( mmn()?6(插板法:个相同元素～分成组～每组至少一个的分组问题——把个元nn m,1素排成一排～从个空中选个空～各插一个隔板～有( n,1m,1Cn,1 7(分组、分配法:分组问题,分成几堆～无序,(有等分、不等分、部分等分之别(一般地平均分成堆,组,～必须除以:～如果有堆,组,元素个数相等～必须除以: nnmm8(错位法:编号为1至的个小球放入编号为1到的个盒子里～每个盒子放一个nnnn 小球～要求小球与盒子的编号都不同～这种排列称为错位排列～特别当n,2～3～4～5时的错位数各为1～2～9～44(关于5、6、7个元素的错位排列的计算～可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题( 1(排列与组合应用题～主要考查有附加条件的应用问题～解决此类问题通常有三种途径: ?元素分析法:以元素为主～应先满足特殊元素的要求～再考虑其他元素, ?位置分析法:以位置为主考虑～即先满足特殊位置的要求～再考虑其他位置, ?间接法:先不考虑附加条件～计算出排列或组合数～再减去不符合要求的排列数或组合数( 求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题,再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理,然后分析题目条件～避免“选取”时重复和遗漏,最后列出式子计算作答( 2(具体的解题策略有: ?对特殊元素进行优先安排, ?理解题意后进行合理和准确分类～分类后要验证是否不重不漏, ?对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排～以防出现重复, ?对于元素相邻的条件～采取捆绑法,对于元素间隔排列的问题～采取插空法或隔板法, ?顺序固定的问题用除法处理,分几排的问题可以转化为直排问题处理, ?对于正面考虑太复杂的问题～可以考虑反面( ?对于一些排列数与组合数的问题～需要构造模型( 高考学习网,中国最大高考学习网站Gkxx.com | 我们负责传递知识～ 典例分析 排列数组合数的简单计算 【例1】 对于满足的正整数，( ) n?13nnn,,,,56...12n，，，，，， 78127A( B( C( D( AAAAn,n,n,n,55512 3【例2】 计算______( Α,7 36【例3】 计算，; AA610 25【例4】 计算______，_______( C,C,77 36【例5】 计算，; CC810 3423348【例6】 计算，，，，( AACC，CC7750101919 43【例7】 已知，求的值( ΑΑ,140nnn，21 xx,2【例8】 解不等式 AA,688 高考学习网,中国最大高考学习网站Gkxx.com | 我们负责传递知识～ 9878【例9】 证明:( A9A8AA,，,9878 32【例10】 解方程( A100A,xx2 xx,2【例11】 解不等式( A6A,88 32【例12】 解方程: 11C24C,xx，1 mm,1【例13】 解不等式:( C3C,88 5，，,n,N[]x[2]2,【例14】 设表示不超过的最大整数(如，)，对于给定的，定义,1x,,4，， nnnx(1)(1),,，,,3，,xx，，则当时，函数的值域是C,x,，,1，x,，3C，,n8,,xxxx(1)(1),,，2,,，,( ) 高考学习网,中国最大高考学习网站Gkxx.com | 我们负责传递知识～ 1616，，，,A( B( ,28,56,,,,33，，，, 281628,,,，,，C( D( 4,28,564,,28，,,,,,,,333,,,，,， r【例15】 组合数恒等于( ) nrnr,,?，、1ZC，，n r，1nr,1r,1r,1r,1CCA( B( C( D( nr，，11CnrC，，，，n,1n,1n,1n,1rn，1 mmm，，12【例16】 已知，求、的值( C:C:C3:5:5,mnnnn，，，222 排列数组合数公式的应用 nnnn,,,3221n【例17】 已知，求的值( CCCCC，,,,C212020212221 262nn，，【例18】 若，则_______ CC,(),,nNn,2020 mmm,，11【例19】 若，则 nm,,CCC345????,nnn 高考学习网,中国最大高考学习网站Gkxx.com | 我们负责传递知识～ kkk，1【例20】 证明: nkkC(1)CC,，，nnn nn11，1ii【例21】 证明:( ,CC,,，1nnin，，11,,00ii mmm,,,112【例22】 求证: ( AA(1)A,，,mnnn,,11 n,1kn【例23】 证明:( kCn,,2,n,0k n12301nn23()【例24】 证明:CCCnCCCC，，，，,，，，( nnnnnnn2 nnnnn，1【例25】 求证:; CCCCC，，，，,nnnnmnm，，，，，121 高考学习网,中国最大高考学习网站Gkxx.com | 我们负责传递知识～ 230129【例26】 计算:， CC，CCCC，，，，999945613 011220kkkkk,,kmn?，min{}【例27】 证明:((其中) CCCCCCCCC，，，，,mnmnmnmnnm， 3xxx,,122,，，ΑCCC【例28】 解方程 xxxx，，，，53334 3的单调区间( 【例29】 确定函数Ax m0m【例30】 规定，其中x,R，为正整数，且，这是排列数A(1)(1),,,，xxxmA1,mAxnx 高考学习网,中国最大高考学习网站Gkxx.com | 我们负责传递知识～ (是正整数，且)的一种推广( mn?nm, 3?求的值; A,15mm,1mmm,1?排列数的两个性质:?，?(其中是正整mn,AA,nAAA，,mnn,1nnn，1m数)(是否都能推广到(，是正整数)的情形?若能推广，写出推广的x,RAmx 形式并给予证明;若不能，则说明理由( 高考学习网,中国最大高考学习网站Gkxx.com | 我们负责传递知识～