矩阵论试题考试
04级秋季矩阵论考题 30003 2 2 2 1
一、填空题(每小题5分,共30分)
0110101,,
,,0021032,,1、若矩阵A=的满秩分解为A=BC,则 ,,0221101
,,0352234,,
,,,,,,,,。 ,,BC,,,,,,,,,,,,,,,
,101,,
,,,,(),2、矩阵A=的最小多项式为 。 010,,
,,,403,,
10102,,3、设,则N(A)的一个标准正交基为 A,,,21202,,
。
1121,,,,,,,,22RR,,4、设为的两个基,T为的线性变 eeee,,,,,;,1212,,,,,,,,2013,,,,,,,,
13,,,,,,,,换,且, 则T在基下的矩阵为A=。 ee,TeTe(),(),,1212,,,,,,21,,,,,,
1013,,,,,,,,
,,,,,,,,2305,,,,,,,,5、设,,,,W=span[],则 ,,,,,,,,,,,,,,,12341234,,,,,,,,1215
,,,,,,,,2216,,,,,,,,dim W= 。
10i,,
,,A,6、矩阵 A=的1—范数为 。 3011,,
,,112i,,
,,
,,100
,,22,,二、求单纯矩阵A=的谱分解。(10分) 0,,33
,,27,,0,,,33,,
TxAxde
Tnn,nAAR,,xR,三、设为向量形变量,为常矩阵,求。(10分) dx
,,4100,,
,,四、设A=,求sinA。(10分) 130,,
,,361,,
AA,xxBx,,五、设分别为对应两向量范数的算子范数, v,vv,
,1其中B可逆,
:。(10分) ABAB,,v
Hnn,AAC,,六、设,证明:A正定的充分必要条件是存在可逆矩阵
nn,H,使得。(10分) QC,AQQ,
nnn,xC,七、设,且AB=BA,线性变换T(x)=Bx,,证明: ABC,,
A的特征子空间是T的不变子空间。(10分)
3nn,AA,AC,八、设,且,证明:A可表示为如下的形式
I,,r,,,1 ,其中P为可逆矩阵。(5分) ,,APIPs,,
,,O,,
mn,AR,九、证明:对任意非零矩阵,可表示为A=BC的形式,其中B的 各列构成的向量成为实标准正交向量组,C的各行构成的向量成为实 正交向量组。(5分)
3nn,AA,AC,设,且,证明:A的特征值只能是0,1,-1且相应的若当块都是
1阶的。
04级矩阵论考题(参考答案)
一、空题(每小题5分,共30分)
0110101,,
,,0021032,,1、若矩阵A=的满秩分解为A=BC,则 ,,0221101
,,0352234,,
,,,,,,,,,,B= ,C= 。 ,,,,,,,,,,,,
解:由初等行变换
131,,0110101,,0100,,0110101,,,,222,,13,,,,0021032,,00101A=??, 133,,,,220010,,,,0221101,,222,,0001101,,,,,,,,0001101,,0352234,,,,0000000,,,,,,0000000,,知:
,,1310100,,,,110,,222,,,,,,021133,,B=,C=。 0010,,,,221222,,,,101,,,3520001,,,,,,,,,
,101,,
,,,,(),2、矩阵A=的最小多项式为 。 010,,
,,,403,,
,,,,,,,,101101100,,,,,,,,,,解:由于,,,,,,,IA010010010 ,,,,,,,,,,,,,,2,,,,40300314,,,,,,,,,,,,,001,,,,,,,,,,
22,,(), 知A的初等因子为(λ—1),(λ—1),故A的最小多项式为(λ—1)。
10102,,3、设,则N(A)的一个标准正交基为 A,,,21202,,
。
x,,1,,x2,,xxx,,2101020,,,,,,135,,解:由于Axx,,,等价于 3,,,,,,222xxxx,,,212020,,,,,,,,1235x4,,
,,x5,,
xxx,,20,,,,135 ,而其解空间的一个基为 ,,,,,xx,2025,,,,
TTTα=(-1,0,1,0,0),α=(0,0,0,1,0),α=(-2,2,0,0,1) 123
对其作标准正交化即得其一个标准正交基为
TTT(-1/,0,1/,0,0),(0,0,0,1,0),(-1/,2/,-1/,0,1/) 777722
1121,,,,,,,,22RR,,4、设为的两个基,T为的线性变换,且eeee,,,,,;,1212,,,,,,,,2013,,,,,,,,
13,,,,,,,,, 则T在基下的矩阵为A=。 ee,TeTe(),(),,1212,,,,,,21,,,,,,
-1-1解::由于T(e,e)=(e,e)(e,e) T((e’, e’)(e’, e’)(e,e)), 1 21212121212-1-1e,e) T((e’, e’)(e’, e’)(e,e)) 知所求矩阵为 A=(12121112-1-1= (e,e) T(e’, e’)(e’, e’)(e,e) 12121112
31111,,,,,,,,11,0,,,,,,111321111311,,,,,,,,,,,,55222 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,20211320121122031,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,1,,,,,,,,,,25522,,1013,,,,,,,,
,,,,,,,,2305,,,,,,,,5、设W=span[],则dim W= 。 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,12341234,,,,,,,,1215
,,,,,,,,2216,,,,,,,,
10131000,,,,
,,,,23052320,,,,,解:由于,,,,,知dim W=3。,,,, 1234,,,,12151200
,,,,22162210,,,,,
10i,,
,,A,6、矩阵 A=301的1—范数为 。 1,,
,,112i,,
A,解:max{?1?+?3?+?1?,?i?+?0?+?1?,?0?+?1?+?2i? }=5 1
,,
,,100
,,22,,二、求单纯矩阵A=的谱分解。(10分) 0,,33
,,27,,0,,,33,,
,,100100,,222,,,1解:由于,故 IA,,,,,,,012APP,010,,,,,,,,,,33,,002,,270,,33
其中P=(PPP)可逆,为相似变换矩阵。由A P= P,AP= P,AP= P解得线性无关123112233TTT的特征向量P=(1,0,0),P=(0,2,1),P=(0,1,2)。故可取 123
,,
,,100100,,,,21,,-1,,P=,其逆为P=,故记 0,021,,,,33,,012,,,,12,,0,,,33,,
,,,,
,,,,100000100,,,,100,,,,,,421212,,,,,,,,,,,,E=,E= 020,,100,,,1221,,,,,,,,,,,,3333330,,,,,,,,,01233,,,,,,,,,,2124,,,,0,0,,,,,3333,,,,则的谱分解为A= E+ E2。 12
TxAxde
Tnn,nAAR,,xR,三、设为向量形变量,为常矩阵,求。(10分) dx解:
TxAxTTTTdedxAxdxdAx()xAxxAxT,,,,,eeAxIx[(1)()]ndxdxdxdx
TTdxdxxAxTxAxT ,,,,,,,eIAxIxIAeAxIIxA[()()][()()]nnnnndxdxTTTxAxTTxAxTxAx,,,,,eAxxAeAAxeAx[()]()2
,,4100,,
,,四、设A=,求sinA。(10分) 130,,
,,361,,
,,4100,,2,, 解:由于,故有单根—2和重根1。 IA,,,,,,,13012,,,,,,,,,,
,,,,,361,,,
2,则有 设与sinλ在A的谱上一致的多项式为P(λ)=a+bλ+cλ
1,a,,,(8sin16cos1sin2),29,sin111,,,abc,1,, 解得 cos121,,bcb,,,(2sin12sin23cos1),,92,,sin(2)(2)(2),,,,,,abc,1,c,,,(sin2sin13cos1),9,
210041004100,,,,,,,,,,
,,,,,,2 从而sinA=aI+bA+cA== abc010130130,,,,,,,,
,,,,,,001361361,,,,,,
10041006100,,,,,,,,
,,,,,, == abc010130110,,,,,,,,,,
,,,,,,001361361,,,,,,,,
,,10sin1sin2,,,,5sin22sin1,0,,33,,
sin1sin25sin12sin2,,,, =0,,33,,sin1sin22sin1sin2sin1,,,,,,
,,,,
AA,xxBx,,五、设分别为对应两向量范数的算子范数,其中B可v,vv,
,1逆,证明:。(10分) ABAB,,v
,1Bxy,BAByAxBAx,,1,,证明: ,,,,maxmaxmaxABAB,vxxy,,,,,,xBxy,,,
Hnn,nn,AAC,,六、设,证明:A正定的充分必要条件是存在可逆矩阵,QC,
H使得。(10分) AQQ,
Hnn,H AAC,,证明:由于且A正定,故有酉矩阵P使A=Pdiag(λ,λ,...,λ)P12n
H,,,,,...,,,,,,...,其中λ,λ,...,λ为正数,故A=Pdiag()diag()P 12n12n12n
HH,,,,,..., 记Q= diag()P,则Q可逆且A=Q Q。 12n
HHHHH 反之,若有可逆矩阵Q使A=Q Q,则对任意非零向量x,xAx=x Q Qx =(Qx)Qx >0,
HH 即A正定,最后的不等号是因为x非零Q可逆,故Qx非零,从而xAx=(Qx)Qx >0。
nnn,xC,七、设,且AB=BA,线性变换T(x)=Bx,,证明:A的特征子ABC,,
空间是T的不变子空间。(10分)
证明:设x为任一属于A的相应于特征值λ特征的特征子空间的向量,即Ax=λx,
则AT(x)=ABx=BAx=Bλx=λBx=λT(x),故T(x)也属于A的相应于λ的特征
空间,由x的任意性知A的特征子空间是T的不变子空间。
3nn,AA,AC,八、设,且,证明:A可表示为如下的形式
I,,r,,,1 ,其中P为可逆矩阵。(5分) APIP,,s,,
,,O,,
J00,,1,,00J21,,,PP证明:设A的若当标准形为A=,其中J为若当块, k,,
,,00J,,,,,
3J00,,J00,,11,,,,300J00J2311,,23,,,,APPPP,,则,故 JJ,kk,,,,
,,,,300J00J,,,,,,,,,,
从而必为一阶块,且相应特征值与其立方值相等,即特征值只能为0,1和-1, Jk
所以得证。
mn,AR,九、证明:对任意非零矩阵,可表示为A=BC的形式,其中B的 各列构成的向量成为实标准正交向量组,C的各行构成的向量成为实 正交向量组。(5分)
mn,Hnn,AR,AAR,证明:由于,所以,且正定对称。从而可以找到正交矩 阵U,V使A的奇异值分解为A=Udiag(λ,λ,…,λ,0,…,0)V,其中λ,λ,...,λ12r12r
HAA为的非零特征值(为正数)。设U为U的前r列所成的矩阵,V为V的 11前r行所成的矩阵,则A= U diag(λ,λ,…,λ)V,而C= diag(λ,λ,…,λ)V112r112r1 和B=U就是满足条件的矩阵。 1
04级 矩阵论(30003)考题(参考答案)
一、
,,1310100,,,,110,,222,,,,,,0211332 ,,,,(),1 、B=,C=。2、(λ—1)。0010,,,,221222,,,,101,,,3520001,,,,,,,,,
TTT3、(-1/,0,1/,0,0),(0,0,0,1,0),(-1/,2/,-1/,0,1/) 777722
11,,
,,22A,A,4、。 5、dim W=3。 6、5。 ,,131,,,,,,,22
二、解:
,,100100,,222,,,1由于,(1分)故 IA,,,,,,,012APP,010,,,,,,,,,,33,,002,,270,,33
其中P=(PPP)可逆,为相似变换矩阵。由A P= P,AP= P,AP= P解得线性无关123112233TTT的特征向量P=(1,0,0),P=(0,2,1),P=(0,1,2)。(3分)故可取 123
,,
,,100100,,,,21,,-1,,P=,其逆为P=,(6分)故记 0,021,,,,33,,012,,,,12,,0,,,33,,
,,,,
,,,,100000100,,,,100,,,,,,421212,,,,,,,,,,,,E=,E=(9分) 020,,100,,,1221,,,,,,,,,,,,3333330,,,,,,,,,01233,,,,,,,,,,2124,,,,0,0,,,,,3333,,,,
则的谱分解为A= E+ E2。(10分) 12
TxAxTTTTdedxAxdxdAx()xAxxAxT,,,,,,eeAxIx[(1)()]三、解: (5分) ndxdxdxdx
TTdxdxxAxTxAxT[()()][()()],,,,,,,eIAxIxIAeAxIIxAnnnnndxdx (10分) TTxAxTTxAxT[()](),,,,,eAxxAeAAx
四、
,,4100,,2,, 解:由于,故有单根—2和重根1 (1分)。 IA,,,,,,,13012,,,,,,,,,,
,,,,,361,,,
2 设与sinλ在A的谱上一致的多项式为P(λ)=a+bλ+cλ,则有
1,a,,,(8sin16cos1sin2),29,sin111,,,abc,1,,b,,,(2sin12sin23cos1) (6分) 解得cos121,,bc,,92,,sin(2)(2)(2),,,,,,abc,1, c,,,(sin2sin13cos1),9,
210041004100,,,,,,,,,,
,,,,,,2从而sinA=aI+bA+cA==(8分) abc010130130,,,,,,,,
,,,,,,001361361,,,,,,
10041006100,,,,,,,,
,,,,,, == abc010130110,,,,,,,,,,
,,,,,,001361361,,,,,,,,
,,10sin1sin2,,,,5sin22sin1,0,,33,, = (10分) sin1sin25sin12sin2,,,,0,,33,,sin1sin22sin1sin2sin1,,,,,,,,,,
,,,,4100100,,
,,,, 解法二:由IA,,,,,,130010 ,,,,,,,
,,,,,,,,,3610012,,,,,,,,,,,
,,,,12 故A的最小多项式为 (2分)。设与sinλ在A的谱上一致的多项 ,,,,
式为P(λ)=a+bλ,则有
1,a,,,(8sin16cos1sin2),9,sin11,,ab,1, 解得(6分) ,b,,,(2sin12sin23cos1),sin(2)(2),,,,ab,9,1,c,,,(sin2sin13cos1),9,
1004100,,,,,,
,,,,从而sinA=aI+bA ==(8分) ab010130,,,,,
,,,,001361,,,,
,,10sin1sin2,,,,5sin22sin1,0,,33,,
sin1sin25sin12sin2,,,,。(10分) =0,,33,,sin1sin22sin1sin2sin1,,,,,,
,,,,
五、
,1Bxy,BAByAxBAx,,1,,解: ,,,,maxmaxmaxABAB,vxxy,,,,,,xBxy,,,。六、
Hnn,H AAC,,且A正定,故有酉矩阵P使A=Pdiag(λ,λ,...,λ)P,(2分)证明:由于12n
H,,,,,...,,,,,,...,其中为λ,λ,...,λ正数,故A=Pdiag()diag()P 12n12n12n
HH,,,,,...,记Q= diag()P,则Q可逆且A=Q Q。(7分) 12n
HHHHH 反之,若有可逆矩阵Q使A=Q Q,则对任意非零向量x,xAx=x Q Qx =(Qx)Qx >0
H最后的不等号是因为x非零Q可逆,故Qx非零,从而(Qx)Qx >0。(10分)
七、
证明:设x为任一属于A的相应于特征值λ的特征子空间的向量,即Ax=λx(2分)故 AT(x)=ABx=BAx=Bλx=λBx=λT(x),(5分)故T(x)也属于A的相应于λ的特征子 空间,(8分)由的任意性知A的特征子空间是T的不变子空间。(10分)
八、
J00,,1,,00J21,,,PP证明:设A的若当标准形为A=,其中J为若当块, k,,
,,00J,,,,,
3J00,,J00,,11,,,,300J00J2311,,23,,,,APPPP,,则,故(3分) JJ,kk,,,,
,,,,300J00J,,,,,,,,,,
从而必为一阶块,且相应特征值与其立方值相等,即特征值只能为0,1和-1, Jk
所以得证。(5分)
九、
mn,Hnn,AR,AAR,证明:由于,所以,且正定对称。从而可以找到正交矩 阵U,V使A的奇异值分解为A=Udiag(λ,λ,…,λ,0,…,0)V,其中λ,λ,...,λ12r12r
HAA为的非零特征值(为正数)。(3分)设U为U的前r列所成的矩阵,V为V的 11前r行所成的矩阵,则A= U diag(λ,λ,…,λ)V,而C= diag(λ,λ,…,λ)V112r112r1 和B=U就是满足条件的矩阵。(5分) 1