兰州交通大学博文学院线性代数试题1

线性代数试题1 说明:本卷中,AT示方阵A的转置矩阵,A*表示矩阵A的伴随矩阵,E 表示单位矩阵,|A|表示方阵A的行列式. 一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设A= ,则|A|=( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 2.设A为3阶方阵,且|A|=4,则|-2A|=( ) A.-32 B.-8 C.8 D.32 3.设A,B为n阶方阵,且AT=-A,BT=B,则下列命题正确的是( ) A.(A+B)T=A+B B.ABT=-AB C.A2是对称矩阵 D.B2+A是对称阵 4.设A,B,X,Y都是n阶方阵,则下面等式正确的是( ) A.若A2=0,则A=0 B.(AB)2=A2B2 C.若AX=AY,则X=Y D.若A+X=B,则X=B-A 5.设矩阵A= ,则秩(A)=( ) A.1 B.2 C.3 D.4 6.若方程组仅有零解,则k=( ) A.-2 B.-1 C.0D.2 7.实数向量空间V={(x1,x2,x3)|x1+x3=0}的维数是( ) A.0B.1 C.2 D.3 8.若方程组有无穷多解,则λ=( ) A.1 B.2 C.3 D.4 9.设A= ,则下列矩阵中与A相似的是( ) A. B. C. D. 10.设实二次型f (x1,x2,x3)= ,则f ( ) A.正定 B.不定 C.负定 D.半正定 二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分) 请在每小题的空格中填上正确答案。填错、不填均无分。 11.四阶行列式中,项a31a22a43a14的符号是____________. 12.设三阶矩阵A=[α1,α2,α3],其中αi(i=1,2,3)为A的列向量,且|A|=2,则|[α1+α2,α2,α1+α2-α3]|=________. 13.设A= ,且秩(A)=3,则a,b,c应满足________. 14.矩阵Q= 的逆阵是________. 15.三元齐次方程x1-x2+x3=0的结构解是________. 16.已知A相似于A= ,则|A-E|=________. 17.矩阵A= 的特征值是________. 18.与矩阵A= 相似的对角矩阵是________. 19.设A相似于Λ= ,则A4________. 20.二次型f (x1,x2,x3)=x1x2-x1x3+x2x3的矩阵是____________. 三、计算题(本大题共6小题,每小题9分,共54分) 21.计算4阶行列式D= . 22.设A= ,B= ,求4A2-B2-2BA+2AB. 23.计算向量组的秩,并求出该向量组的一个最大无关组,同时将其余的向量表示成该最大无关组的线性组合. 24.非齐次方程组 a为何值时,有无穷解,并求其结构解. 25.已知l,l,-l是三阶实对称矩阵A的三个特征值,向量, 1=(1,1,1)T, 2=(2,2,1)T是A的对应于的特征向量,求A的属于的特征向量. 26.求正交变换Y=PX,化二次型f (x1,x2,x3)=2x1x2+2x1x3-2x2x3为标准形. 四、证明题(本大题共l小题,6分) 27.设是可逆阵A的特征值,证是A-1的特征值.