位移影响线_13

位移影响线_13 13 结构位移影响线的计算及应用 结构力学教科中对静定结构的的内力和支座反力作法及计算有详尽的叙述，对超静定结构的内力和支座反力影响线的计算也作了简要的介绍，但是对结构位移影响线的计算却没有提及。本文推导了简支梁和多跨超静定连续梁截面位移和转角影响线的计算，并介绍了结构位移影响线在工程中的应用。 1、 简支梁在支座移动和杆端弯矩作用下的位移 简支梁在支座移动、以及杆端弯矩、作用下，距点为处截面ABAyyMMxABAB 的竖向位移由四部分组成(如图13-1所示)，即: 4 (13-1) yxyx()(),,i,i1 式中:、分别为支座移动和产生的位移，、分别为和产生的位yyyyyyMMAB1234AB移。 x MMAB A B yAyx()yB L 图 13-1 2()ayx()yx()在处作用单位力，简支梁的支座反力和弯矩图见图13-，则可得、x21分别为: Lxx,yxFyyy()()(1),,,,,,,, (13-2) 1RAAAALL xxyxFyyy()(),,,,,,, (13-3) 2RBBBALL 2()b()cABMM 在简支梁、两端分别作用和，梁的弯矩图分别见图13-、，AB 2()a2()b2()a2()cyx()弯矩图13-与图13-进行图乘得，弯矩图13-与图13-进行图乘3 得，即: yx()4 21()2xLxLxLxxx,,M，，23A (13-4) yxLM()23()(),,,,,,,，A3,,236EILLLLLEI，， 21()xLxLxLxx,，M，，3B (13-5) yxLM()(),,,,,,,,，B4,,236EILLLLEI，，()()13-125,3-()13-1把式代入式得: MMAByxyxyxxx()()()()(),，，，,,,, (13-6) AB1234EIEI 式中: xx,,()1()xx,,,，12LL 22LxxxLxx，，，，233()23()()()()xx,,，,,，，,,34,,,,66LLLLL，，，， MBF,1pxMA MABB xLx(), FM2FRAARB (a) (b) (c) 图 13-2 2、 简支梁任意截面竖向位移的影响线 0,3a()CAB简支梁在移动荷载F,1作用下，点的挠度为，见图13-。yxx(,)P 0,C就是截面竖向位移的影响线。 yxx(,) ,F,1 ,pxx,x ,yxx(,)yxx(,)CDABByM DD yDC* Dx LLx, (a) (b) 图13-3 *3a()(1)当作用在之间(即，见图13-) AC0,,xxF,1P 3b()此时，简支梁的段与图13-所示的简支梁等价，可以很容易算出图中的ABDB 22xLx(),xLx(),M,()13-6、、、。点的竖向位移可以用公式Cy,y,0M,0DDBBL3EIL 计算: M0,,,D(,)()(),,，,,，，yxxyxxxxD13EI 22()(),,xLxxLx,,,，()()，，xxxx,,133EILEIL 232****，，,,,,()Lxxxxxxx,,,,xx,,,,式中:， ,()1xx()23xx，,,，,,，,,,,,,13Lx,6LxLxLx,,,,,,,,,，， ,,把和的具体表达式代入上式得 ,()xx，,()xx，13 22xLxxLx()(),,,,,0,,yxxxxxx(,)(,)(,),，133EILEIL 23,,,,222，，,,,,xLxxxxLxLxxxxxxx()()(),,,,,,,(13-7) ,,，,，(1)23,,,,,,36EILLxEILLxLxLx,,,,,,,,,,，， 32，，,,,,2，，323,,,,Lxxxxxxxxxxxx(1)(1),,,,,,,,,,,,,,,,，,，(1)23,,,,,,,,1,xEI36111,,,xxx,,,,,,，，，， *,xxx,,x式中:，。 LL *4()aCBxxL,, (2)当F,1作用在之间(即，见图13-) P F,1p** ,xxyxx(,)CDAAB y DM D ,yxx(,)yD CDx Lx (b) (a) 图13-4 4()bCBCAB此时，简支梁的段与图13-所示的简支梁等价，点的竖向位移仍可 ()13-6以用公式计算: M,,,,D(,)()(),，,,，，yxxyxxxx24DEI 22()(),,xLxxLx,,,，()()，，xxxx,,243EILEIL 3*2**，，,,xxxx,,式中:。 ,,(),()xxxx，，,,,，,,,,24xxx6,,,,，， ,,把和的具体表达式代入上式得 ,()xx，,()xx，24 22xLxxLx()(),,,,,0,,yxxxxxx(,)(,)(,),，243EILEIL 3,,,222，，,,xLxxxLxxxx()(),, (13-8) ,，,，(),,,,36EILxEILxx,,,,，， 3,,,23，，，，32,,Lxxxxxxx(1)(1),,,,,,,,,，,，(),,,,,,EI36xxx,,,,，，，， ()13-7()13-8()13-7C式、就是在单位移动荷载作用下点竖向位移的影响线。从式、 ()13-8C还可以求得截面转角的影响线: ,*,yxx(,)0*,()xx，,*,x ,,2,2232，，，，,Lxxxxxxxx(1)1(1)2(),,,,,,,()630,，,，,,()xx,,23EI36,11(1)(1),,,,xxxx,,,,，，，，,,,,32，，22，，,,,,Lxxxxx(1)(1)1,,,,,,,,，,，,,31()xx,3,,EI36,,x,,x,,,，，，，, (13-9) 3、 多跨连续梁任意截面位移的影响线 BCE3-5所示三跨连续梁为例说明。若要计算 下面以图1跨截面的竖向位移的影,Mx()Mx()响线，首先利用位移法计算杆端弯矩和的影响线。 yxx(,)BCCB *x ADBCE LLL 图13- 5 CD(1) 当在和段上移动 ABF,1P ,()13-6此时，可以利用公式计算: yxx(,) MxMx()(),,,BCCB (13-10) ,，,,))yxxxx(,)((34EIEI 2***2**2*3，，LxxxL,23，，式中: ， ,()23()()23xxxx,,，,,，3,,,,，，66LLL，， 2**2*，，LxxL,3*3，，。 ,()()xxx,,，,,，4,,,,，，66LL，， BC (2)当在段上移动 F,1P BC6()a6()b取跨为隔离体，其受力如图13-所示，它可以分解成图13-和图 6()c6()b()61E3-两种情况的叠加。其中图13-中截面的竖向位移影响线可由式13-计 6()cE算，图13-就是简支梁截面的竖向位移影响线，两者叠加得: F,1F,1ppxxMx()Mx()Mx()BCCBMx()CBBCEEE BBBCCC ***xxx LLL (a) (b) (c) 图13- 6 MxMx()(),,,,,BCCB,，，,,))yxxxxyxx(,)(((,) (13-11) 34EIEI 0,()13-7()13-8()13-10()13-11 上式中由式、计算。式、就是多跨连续梁任意yxx(,) 截面竖向位移的影响线计算公式。还可以求出任意截面转角的影响线: *,yxx(,)*,()xx，,*,x MxMx()(),,,BCCB,,(13-12) ((1xxFABCD))(在和段上移动)，,,,34P,,EIEI,,*,MxMx()(),yxx(,),,BCCB,,,((1xxFBC))(在段上移动)，，,34P,,*,EIEIx,, 2**22*2**2LxxL263Lx1,,,,,,,,，,,，()(),,，()()263xxx()3x式中: ， 3423366LLL6LL *2L,**()13-9，同式。 ,,，()13x,,yxxx(,)/6 4、 计算实例 例13-1 求简支梁跨中截面C竖向位移影响线及转角影响线。 **按公式(13-7)(13-8)，取或，可得截面C的竖向位移影响线及xL,2x,12转角影响线: L1 当或时 0,,x0,,x22 23，，，，1111,,,,2,,,,xxxx,,323,,,,,,LLxxxx,,(1)(1)02222 ,,,,yx,,，,，(,)(1)23,,,,CEI236,,,,xxxx,,1111,,,,,,,,,,,,,,，，，， ，，11，，22,,xx()223,,,,LLxxxx(1)1(1)2,,022 ,()()63x，,,，,，,,,,C23236EI11(1)(1),,,,xxxx,,,,,,，，，， L1,,xL,,x1 当或时 22 3，，，，111,,23,,32,,,,LLxxxx,,(1)(1)0222 ,,,,yx,，,，(,)(),,CEI236xxx,,,,,,,,,,,,，，，， ，，1，，23()22,,,,LLxxxx(1)(1)1,,02,x()3，,，,， ,,,,C3EI236xx,,,,,,，，，， 截面C竖向位移影响线及转角影响线如图13-7所示。 0.025 0.02 /EI) 0.0153 P=1 (L0 0.01 y 0.005 000.10.20.30.40.50.60.70.80.91 x (L) 0.01 0.005 /EI) 2 P=1 0(L0 θ -0.005 -0.0100.10.20.30.40.50.60.70.80.91 x (L) 图 13-7 *x若要计算距A点为的任意截面的竖向位移影响线及转角影响线可用以下Matlab 程序实现。 clear xx=0:0.01:1; % x表示文中的 ,xx=0.25; % xx表示文中的 x for i=1:length(x) if x(i)<=xx y(i)=x(i)^2*(1-x(i))^2/3*(1-(xx-x(i))/(1-x(i)))+x(i)*(1-x(i))^3/6*... (2*(xx-x(i))/(1-x(i))-3*((xx-x(i))/(1-x(i)))^2+((xx-x(i))/(1-x(i)))^3); st(i)=x(i)^2*(1-x(i))^2/3*(-1)/(1-x(i))+x(i)*(1-x(i))^3/6*... (2/(1-x(i))-6*(xx-x(i))/(1-x(i))^2+3*(xx-x(i))^2/(1-x(i))^3); else y(i)=x(i)^2*(1-x(i))^2/3*xx/x(i)-x(i)^3*(1-x(i))/6*(-xx/x(i)+(xx/x(i))^3); st(i)=x(i)*(1-x(i))^2/3-x(i)^3*(1-x(i))/6*(-1/x(i)+3*xx^2/x(i)^3); end end %%%%%%%%%% figure plot(x,y) figure plot(x,st) *利用以上Matlab程序，图13-8中给出了截面的竖向位移影响xLLL,/4,/2,3/4线及转角影响线。 0.025 *xL,/2 0.02 /EI) 0.0153 (L0 0.01 y**xL,/4xL,3/40.005 000.10.20.30.40.50.60.70.80.91 x (L) 0.05*xL,/4 0.025 *xL,/2 /EI) 02 (L*0 xL,3/4-0.025 θ -0.0500.10.20.30.40.50.60.70.80.91 x (L) 图 13-8 例13-2 求图13-9所示三跨连续梁截面E、F竖向位移影响线。 L/2L/2 CBADEF LLL 图13-9 (1)截面E竖向位移影响线及转角影响线 当在AB段上移动，由公式(13-11)得 F,1P MxMx()()LLLL0ABBA,，，,,))yxyx(,)(((,)EE342222EIEI MxLL()0BA,，)((,)yx,4EEI22 *2**222，，*，，LLxxLLL11L3*330，，式中:,;yx可由()()(),,，,,，,,，,,xx(,),,E4,,,,，，226662216LL，，，， 以上所给的Matlab程序实现;已由前面章节计算，为 Mx()BA 344L32 MxxLxxx()()(),,,,,,BA21515L 当在BC、CD段上移动，由公式(10)得 F,1P MxMxMx()()()LLLLABBABA,，,,,,))) yx(,)(((344E2222EIEIEI 式中:以由前面章节计算，为 Mx()BA 321L,322()512751271xLxLxxxxFBC,，,，,=() (在段上移动)P2,,1515LMx(), ,BA321L322,,,，,,,，,(32)32)1xLxLxxxxFCD((在段上移动)P2,1515L, 截面E竖向位移影响线影响线如图13-10所示。 -3x 1015 10 /EI) 53 (L y0 C A B D -500.511.522.53 x (L) 图 13-10 *x若要计算距A点为的任意截面的竖向位移影响线可用以下Matlab程序实现。 clear x=0:0.01:1; % x表示文中的 x ,xx=0.25; % xx表示文中的 x for i=1:length(x) if x(i)<=xx y(i)=x(i)^2*(1-x(i))^2/3*(1-(xx-x(i))/(1-x(i)))+x(i)*(1-x(i))^3/6*... (2*(xx-x(i))/(1-x(i))-3*((xx-x(i))/(1-x(i)))^2+((xx-x(i))/(1-x(i)))^3); else y(i)=x(i)^2*(1-x(i))^2/3*xx/x(i)-x(i)^3*(1-x(i))/6*(-xx/x(i)+(xx/x(i))^3); end end %%%%%%%%%% ,fai4=(-xx+xx^3)/6; % fai4表示文中的 ,()x4 yE_AB=fai4.*(-4/15).*(x.^3-x)+y; yE_BC=fai4.*(1/15).*(5.*x.^3-12.*x.^2+7.*x); yE_CD=fai4.*(-1/15).*(x.^3-3.*x.^2+2.*x); %%%%%%%%%% figure plot([x,x+ones(1,101),x+2.*ones(1,101)],[yE_AB,yE_BC,yE_CD]) %%%%%%%%%% *利用以上Matlab程序，图13-11中给出了距A点为截面的竖xLLL,/4,/2,3/4向位移影响线。 -3x 1015 *xL,/210 /EI) 53**(LxL,3/4xL,/40 0 yB C D A -500.511.522.53 x (L) 图 13-11 (2)截面F竖向位移影响线及转角影响线 F,1 当在AB和CD段上移动，由公式(13-10)得 P MxMx()()LLLBCCB,，,,))yx(,)(( 34F222EIEI 22LLLL式中:;; 和已由前面章节计算，为 ,(),,(),,Mx()Mx()4BCCB3216216 344L,32()xLxxxFAB,,,=() (在段上移动)1AP2,,1515L Mx(),,BC321L322,(32)32)1xLxLxxxxFCD,，,,，,((在段上移动)P2,1515L, 31L,32A()xLxxxFAB,,,=() (在段上移动)1P2,,1515L Mx(),,CB3244L322,(32)32)1xLxLxxxxFCD,，,,，,((在段上移动)P2,1515L, 当在BC段上移动，由公式(13-11)得 F,1P MxMx()()LLLL0BCCB,，，,,)) yxyx(,)(((,)F342222EIEI L0yx(,)式中:可由以上所给的Matlab程序实现;已由前面计算，为 Mx()EBA2 321L322MxxLxLxxxx()51275127,,,，,,,，()() BC21515L 321L322MxxLxLxxxx()532532,,,,,,,,()() CB21515L 截面F竖向位移影响线如图13-12所示。 -3x 10 10 5 /EI) 3 A B C D (L 0 y -500.511.522.53 x (L) 图13-12 *x若要计算距B点为的任意截面的竖向位移影响线可用以下Matlab程序实现。 clear xx=0:0.01:1; % x表示文中的 ,xx=0.25; % xx表示文中的x for i=1:length(x) if x(i)<=xx y(i)=x(i)^2*(1-x(i))^2/3*(1-(xx-x(i))/(1-x(i)))+x(i)*(1-x(i))^3/6*... (2*(xx-x(i))/(1-x(i))-3*((xx-x(i))/(1-x(i)))^2+((xx-x(i))/(1-x(i)))^3); else y(i)=x(i)^2*(1-x(i))^2/3*xx/x(i)-x(i)^3*(1-x(i))/6*(-xx/x(i)+(xx/x(i))^3); end end %%%%%%%%%% ,fai3=(2*xx-3*xx^2+xx^3)/6; % fai3表示文中的 ,()x3 ,fai4=(-xx+xx^3)/6; % fai4表示文中的 ,()x4 yF_AB=fai3.*(4/15).*(x.^3-x)+fai4.*(1/15).*(x.^3-x); yF_BC=fai3.*(-1/15).*(5.*x.^3-12.*x.^2+7.*x)+fai4.*(-1/15).*(5.*x.^3-3.*x.^2-2.*x)+y; yF_CD=fai3.*(1/15).*(x.^3-3.*x.^2+2.*x)+fai4.*(4/15).*(x.^3-3.*x.^2+2.*x); %%%%%%%%%% figure plot([x,x+ones(1,101),x+2.*ones(1,101)],[yF_AB,yF_BC,yF_CD]) *利用以上Matlab程序，图13-13中给出了距B点为截面的竖xLLL,/4,/2,3/4 向位移影响线。 -3x 10 *10xL,/2 *xL,3/4 5/EI) 3 (L*0 xL,/4 A B C D y0 -500.511.522.53 x (L) 图 13-13 5、 位移影响线的应用 随着城市建设的快速发展，城市道路网中高架路和立交桥日益增多，同时车辆载 重日益加大，且数量也日益增多，很多现役桥梁出现安全隐患，桥梁损伤检测成为桥 梁发展过程中必不可少的一部分，以保证桥梁在使用期限内有足够的安全储备。 本文针对某区间存在局部损伤的简支梁，利用有限元分析软件ANSYS得到任意对 称测点的竖向位移影响线。利用两条位移影响线上关于跨中对称荷载位置差值 (SDDIL)，可用判断简支梁发生局部损伤的位置。 5.1 SDDIL指标 建立如图13-14所示存在局部损伤的简支梁结构模型:该结构观测点为，点 st,s和点关于跨中截面对称，损伤区间为，荷载加载位置。整体刚度为 ，损伤EIx(,)abt kEIk区间处的刚度为，其中为刚度折减系数。 (,)ab F=1 P tabs EI x L 图 13-14 st,的位移影响线方程分别为，将在荷载位置处的设对称测点yxyx()()、yx()xsst Lx,值减去在荷载位置处的值，即可得到对称测点位移位移影响yx()yx()yLx(),stt 线上关于跨中对称荷载位置差值SDDIL (13-13) SDDILxyxyx()()(L),,,st k,1由对称性可知，当刚度折减系数，即简支梁不存在损伤时，SDDIL的值恒为0。 5.2 利用ANSYS求解位移影响线 A如图13-15所示，为了求梁上任意一点的位移影响线，将梁分解成段;然后将n单位荷载F,1沿着点逐步施加在梁上，利用ANSYS求解单位荷载施加在各结1,2,3？nP AA点时点的位移;以各结点所在位置为横坐标，单位荷载施加在各点时点的竖向位 A移为纵坐标，可以得到点的竖向位移的影响线。 F=1 P 32n1…… A 图13-15 5.3 利用SDDIL指标进行损伤定位 Lm,40以图13-14中简支梁为例进行分析，其中令，梁截面为矩形截面，宽 92Bm,0.1Hm,0.1sLm,,0.414，高，弹性模量,观测点，ENm,，1.210 tLm,,0.624(0.2,0.3)(8m,12m)LL,。若该简支梁在区间内刚度存在损伤，刚度折减 k,0.8系数。 1m将梁等分成40段，每段长，利用ANSYS求解对称测点、的位移影响线如图st 13-16所示。由测点、的位移影响线可以利用式(13-13)得到在区间内存s(0.2,0.3)llt 在刚度折减时，荷载对称位置、的位移影响线上关于跨中对称荷载位置差值(SDDIL)st 如图13-17所示。 0.14 0.12 0.1 0.08 点t 点s 0.06(m) 0 0.04 y 0.02 0 0510152025303540 x (m) 图 13-16 0.0035 0.003 0.0025 0.002 0.0015(m) 0.001点t 点s 0.0005 0 SDDIL -0.0005 -0.001 -0.0015 010203040 x (m) 13-17 图 出图可见，SDDIL指标在(0.2,0.3)(8m,12m)LL,附近(即损伤位置附近)出现正 的峰值，而在其对称位置出现负峰值。由此可以看出，可以利用SDDIL指标进行简支 梁的局部损伤位置识别。