基于协整理论的股指期货期现套利研究

基于协整理论的股指期货期现套利研究 银河期货研究中心 陈杨龙 一、股指期货期现套利的概念与方法 套利是对冲式资产组合投资策略,作为期货市场规避风险功能的实现方式之一,在国际上被投资基金和机构广泛利用,在国外成熟的商品期货市场中,套利交易占总交易量的40%以上。 套利作为市场经济的产物,近年来随着我国商品期货市场的稳步规范发展,也逐渐活跃起来。全球金融危机前后，我国所有的期货品种都经历了巨幅波动,出现了即使看对方向也亏钱的现象,而套利交易却以其独特的优势保持了较强的稳定性和盈利能力,因而套利交易规模出现不断增长的局面。 市场的非完全有效是套利交易的共同基础,套利行为的活跃反过来改进市场的效率。套利交易包括跨期套利、跨市套利和跨商品套利三种基本的模式。跨期套利是套利交易中最普遍的一种，是利用同一商品但不同交割月份之间正常价格差距出现异常变化时进行对冲而获利的。跨市套利是在不同交易所之间的套利交易行为。跨品种套利指的是利用两种不同的、但相关联商品之间的价差进行交易。套利可以促使各种期货和约的价格关系趋于正常，促进市场公平价格的形成，增加期货市场交易量，提高期货交易的活跃程度，增加流动性。 沪深300指数是沪深证券交易所于2005年4月8日联合发布的反映A股市场整体走势的指数。沪深300指数编制目标是反映中国证券市场股票价格变动的概貌和运行状况，并能够作为投资业绩的评价标准，为指数化投资和指数衍生产品创新提供基础条件。中证指数有限公司成立后，沪深证券交易所将沪深300指数的经营管理及相关权益转移至中证指数有限公司。沪深300指数样本覆盖了沪深市场70%左右的市值，具有良好的市场代表性和可投资性。 2006年9月8日，中国金融期货交易所正式挂牌成立。中金所拟推出的以沪深300指数为标的的沪深300股指期货不仅仅是增加了一个新品种，更重要的在于它将结束中国只有商品期货的现状，进入金融期货这个更加广阔的市场空间。 2006年10月30日中金所开始沪深300股指期货的仿真交易，由此吸引了大量的投资者关注。从中金所推出股指期货模拟交易以来，模拟交易在07年11月和08年10月两个时点成交极为活跃，主力合约日成交量可达30、甚至40万手。现阶段主力合约成交维持在5万手左右。 2010年1月8日，中国证券监督管理委员会宣布，国务院已原则同意开展证券公司融资融券业务试点和推出股指期货品种。这意味着市场期盼已久的股指期货正逐步临近。 作为中国第一份金融期货合约，沪深300指数期货不仅为投资者提供了套期保值、投机获利的工具，而且也是难得套利平台。 二、股指期货期现套利可行性分析 现阶段市场中存在的股指期货期现套利方法归结起来，主要有三种: 第一种是买入(或卖出)跟踪指数的股票组合，卖出(或买入)同等价值股指期货合约; 第二种是买入(或卖出)跟踪指数的基金，卖出(或买入)同等价值股指期货合约; 第三种是买入(或卖出)跟踪指数的ETF，卖出(或买入)同等价值股指期货合约; 期现套利的类型可分为正向套利和反向套利。正向套利是买入现货同时卖出期货;而反向套利是卖出现货同时买入期货。但我国证券市场尚不支持卖空股票和基金，因此现阶段，进行股指期货期现套利可行操作只有买入现货同时卖出期货。 考虑到自行买入股票组合跟踪指数的累积误差过大和指数基金业绩导向致使跟踪误差较大，因此最可行的股指期货期现套利为买入ETF同时卖出股指期货。 根据沪深300股指期货合约月份(当月、下月及随后两个季月)的设计规则，不难发现，非季月合约存续期仅为2个月，季月合约存续期为8个月;同时，期货合约以现货均价为交割结算价将保证期货价格与现货价格在交割日几乎完全趋同。所以，在以股指期货结算规则保证期现价差归零的情况下，为了扩大期现套利的收益率，应选择上市合约中第四个合约(第二个季月)进行套利。 所以，综合考虑我国证券、期货市场的现状，我们认为投资者进行沪深300股指期货套利的最佳选择是，在一定价差下买入ETF，卖出股指期货的第四个合约。 三、股指期货期现套利的协整原理 无论是期现套还是跨期、跨市套利，套利的核心的在于确定套利价差的合理区间。一般投资者往往直接将期货与现货价格相减，然后主观判断该价差是否存在套利机会，但这种方法虽然简单直观，但是缺乏计量经济学理论支持。因此从另外一个角度，需要引入一种新的方法——协整分析。如下是协整分析的基础原理: (一)ADF检验 如果一个随机过程的均值和方差在时间过程上都是常数，并且在任何两时期的协方差值仅依赖于该两时期间的距离或滞后，而不依赖于计算这个协方差的实际时间，就称它为平稳的。 平稳随机过程的性质如下: y,t均值:E() =; 2E(,,)2yy,tt方差:VAR()= =; ,,,E(,,)(,,)yy,ktk，t协方差:; yy,ktk，t其中即滞后k的协方差[或自(身)协方差]，是和，也就是相隔k期的两值之间的协方差。 在实践中，经济和金融数据大多是非平稳的时间序列，检查序列平稳性的标准方法是单位根检验。 常用的单位根检验方法有DF检验、ADF检验、PP检验等，如下介绍ADF检验: p在如下方程组合中的 ,,,，,，yyy,,utitt,1t,ip,1i t=1,2,3 „T ,,,，a，,，yyy,,utittti,1,pi,1 t=1,2,3 „T ,,,，a，,t，,，yyy,,utitt,1t,i,1i t=1,2,3 „T 检验为: :,,0:,,0HHo1; yt也就是说原假设为:序列存在一个单位根;备选假设为:不存在单位根。假设序列可能还包, ,,含常数项和时间趋势项。 通过判断的估计值是接受原假设还是备选假设，进而判断时间序列是否存在单位根，事实上，也可以通过t统计量来决定是否接受或者拒绝原假设。 (二)协整检验 变量序列之间的协整关系是20世纪80年代由恩格尔——格兰杰(Engle—Grange)提出的，是近20年来最重要的计量经济学概念，后来被众多计量经济学家所发展成为协整理论和误差修正模型(ECM)。 有时虽然两个变量都是随机游走的，但它们的某个线形组合却可能是平稳的。在这种情况下，我们称这两个变量是协整的。协整定义如下: ‘(,,,)yyyy？yyt1t2t3tkttk维向量=的分向量被称为d,b阶协整，记为~CI(d,b),如果满足: yyytti t(1)~I(d),要求的每个分量~I(d); ' y,,t,(2)存在非零列向量，使得~I(d-b), 0< b d。 y,t简称是协整的，向量又称为协整向量。 协整检验从检验的对象上可以分为两种:一种是基于回归系数的协整检验，如Johansen协整检验;另一种是基于回归残差的协整检验，如CRDW检验、DF检验、ADF检验。Johansen协整检验的基本思想是基于VAR模型将一个求极大似然函数的问题转化为一个求特征根和对应的特征向量的问题。Johansen协整检验有两个检验统计量，分别是迹检验统计量和最大特征值检验统计量。 (三)误差修正模型检验 1987年，Engle和Granger将协整和误差修正模型结合起来，建立了向量误差修正模型。 误差修正模型用以描述两变量在达到长期共同趋势过程中需要进行的修正与调整，同时也得到两变量在短期内相互影响的程度。误差修正模型的优点也就在于它提供了解释长期关系和短期调节的途径。 (四)格兰杰因果检验 格兰杰因果检验方法为2003年诺贝尔经济学奖得主克莱夫•格兰杰(Clive W. J. Granger)所开创，用于分析经济变量之间的因果关系。他给因果关系的定义为“依赖于使用过去某些时点上所有信息的最佳最小二乘预测的方差。” 在时间序列情形下，两个经济变量X、Y之间的格兰杰因果关系定义为:若在包含了变量X、Y的过去信息的条件下，对变量Y的预测效果要优于只单独由Y的过去信息对Y进行的预测效果，即变量X有助于解释变量Y的将来变化，则认为变量X是引致变量Y的格兰杰原因。 进行格兰杰因果关系检验的一个前提条件是时间序列必须具有平稳性，否则可能会出现虚假回归问题。因此在进行格兰杰因果关系检验之前首先应对各指标时间序列的平稳性进行单位根检验。 格兰杰因果关系检验假设了有关y和x每一变量预测的信息全部包含在这些变量的时间序列之中。检验要求估计以下的回归: mmyt，，= (1) y,,,,x,it,ii1tt,immi,1i,1xt，，= (2) yy,,,,,ii2tt,it,ii,1i,1,,1t2t其中白噪音 和假定为不相关的。可能存在有四种检验结果: 1.x是引起y变化的原因，即存在由x到y的单向因果关系。若式(1)中滞后的x的系数估计值在统计上整体的显著不为零，同时式(2)中滞后的y的系数估计值在统计上整体的显著为零，则称x是引起y变化的原因。 2.y是引起x变化的原因，即存在由y到x的单向因果关系。若式(2)中滞后的y的系数估计值在统计上整体的显著不为零，同时式(1)中滞后的x的系数估计值在统计上整体的显著为零，则称y是引起x变化的原因。 3.x和y互为因果关系，即存在由x到y的单向因果关系，同时也存在由y到x的单向因果关系。若式(1)中滞后的x的系数估计值在统计上整体的显著不为零，同时式(2)中滞后的y的系数估计值在统计上整体的显著不为零，则称x和y间存在反馈关系，或者双向因果关系。 4.x和y是独立的，或x与y间不存在因果关系。若式(1)中滞后的x的系数估计值在统计上整体的显著为零，同时式(2)中滞后的y的系数估计值在统计上整体的显著为零，则称x和y间不存在因果关系。 格兰杰检验使通过受约束的F检验完成的。如针对X不是Y的格兰杰原因这一假设，即针对(1)式中X滞后项前的参数整体为零的假设，分别做包含与不包含X滞后项的回归，记前者的残差平方和为RSSRSSUR，后者的残差平方和为;再计算F统计量: (,)/mRSSRSSRUF= (3) /(n,k)RSSU 式中，m为X的滞后项的个数，n为样本容量，k为包含可能存在的常数项及其他变量在内的无约束回归模型的待估参数的个数。 (m,n,k)F,, 如果F值大于给定显著性水平下F分布的相应的临界值，则拒绝原假设，认为X 是Y的格兰杰原因。 四、股指期货期现套利的实证检验 (一)数据来源说明 为计算方便，文中的采用沪深300现货指数(后文以SPOT表示)代替前文推荐的ETF净值，因ETF较其跟踪指数的年度误差在4%左右，所以如此处理不会对套利收益造成重大不确定影响。期货数据采用仿真交易的第四个合约连续价格(后文以IF04表示)。时间跨度为2006年10月30日至2010年1月20日。 (二)SPOT和IF04走势初步分析 图1:SPOT和IF04走势图 由SPOT和IF04近3年收盘价做出的走势比较图显示SPOT和IF04走势长期保持一致。下面对两者使用计量经济学经典理论进行深入分析。 (三)单位根检验 协整分析要求两列数据序列具有同阶单位根，只有两数据序列单位根具有同阶性时进行协整分析才有意义。本文使用使用ADF检验(Augmented Dicky-Fuller)检验变量是否为稳态。最佳滞后期的选择依据残差符合无序列相关条件下，AIC 值最小的标准。各变量的ADF单位根检验结果如下: 1.对SPOT进行单位根检验 原假设:SPOT具有一阶单位根 表1:SPOT单位根检验结果 Null Hypothesis: SPOT has a unit root t-Statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -1.69522 0.4333 Test critical values: 1% level -3.43851 5% level -2.86503 10% level -2.56868 检验结果:ADF统计量的T值都大于1%、5%、10%对应的临界值，因而不能拒绝SPOT具有一阶单位根，即SPOT非平稳，于是对SPOT的一阶差分进行单位根检验。 2.对SPOT一阶差分进行单位根检验 原假设:SPOT一阶差分具有一阶单位根 表2:SPOT差分单位根检验结果 Null Hypothesis: D(SPOT) has a unit root t-Statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -27.0524 0 Test critical values: 1% level -3.43852 5% level -2.86504 10% level -2.56869 检验结果:ADF统计量的T值都小于1%、5%、10%对应的临界值，因而拒绝SPOT一阶差分具有一阶单位根，即SPOT一阶差分不具有单位根，即SPOT差分是平稳的。 3.对IF04进行单位根检验 原假设:IF04具有一阶单位根 表3:IF04单位根检验结果 Null Hypothesis: IF04 has a unit root t-Statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -1.79654 0.3824 Test critical values: 1% level -3.43852 5% level -2.86504 10% level -2.56869 检验结果:ADF统计量的T值都大于1%、5%、10%临界值，因而不能拒绝IF04具有一阶单位根，即IF04非平稳，于是对IF04的一阶差分进行单位根检验。 4.对IF04一阶差分进行单位根检验 原假设:IF04一阶差分具有一阶单位根 表4:IF04差分单位根检验结果 Null Hypothesis: D(IF04) has a unit root t-Statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -24.7602 0 Test critical values: 1% level -3.43852 5% level -2.86504 10% level -2.56869 检验结果:ADF统计量的T值都小于1%、5%、10%临界值，因而拒绝IF04一阶差分具有一阶单位 根，即IF04一阶差分不具有单位根，即IF04差分是平稳的。 上述检验说明SPOT和IF04都不平稳，而SPOT和IF04的一阶差分都显示平稳，因此SPOT和IF04为一阶单整，可以进行协整分析。 (四)协整分析 表5:IF04和SPOT的协整检验结果 Sample (adjusted): 11/06/2006 1/20/2010 Included observations: 776 after adjustments Unrestricted Cointegration Rank Test (Trace) Hypothesized Trace 0.05 No. of CE(s) Eigenvalue Statistic Critical Value Prob.** None * 0.034987 32.66163 25.87211 0.0061 At most 1 0.006455 5.025 12.51798 0.5928 Trace test indicates 1 cointegrating eqn(s) at the 0.05 level Unrestricted Cointegration Rank Test (Maximum Eigenvalue) Hypothesized Max-Eigen 0.05 No. of CE(s) Eigenvalue Statistic Critical Value Prob.** None * 0.034987 27.63663 19.38704 0.0025 At most 1 0.006455 5.025 12.51798 0.5928 Max-eigenvalue test indicates 1 cointegrating eqn(s) at the 0.05 level 协整分析结果显示迹统计量检验以5%水平支持SPOT和IF04具有一个协整方程;最大特征值统计量检验以5%的水平支持SPOT和IF04之间具有一个协整方程。综上，协整分析支持以95%的置信度水平支持SPOT和IF04之间具有一个协整方程。 (五)格兰杰因果检验 表6:IF04和SPOT的格兰杰因果检验结果 Pairwise Granger Causality Tests Sample: 10/30/2006 1/20/2010 Lags: 5 Null Hypothesis: Obs F-Statistic Prob. IF04 does not Granger Cause SPOT 776 6.43674 7.00E-06 SPOT does not Granger Cause IF04 7.80058 4.00E-07 格兰杰因果检验结果的F统计值说明无法拒绝SPOT对IF04有影响，也无法拒绝IF04对SPOT有影响的原假设，即因果检验说明SPOT和IF04具有存在相互引导关系。但考虑到期货仿真交易和证券市场运行的运行环境，我们应该拒绝IF04对SPOT具有引导关系的结论，因此下文仅从SPOT对IF04具有引导关 系进行分析。 (六)误差修正模型 根据协整分析结果可以对SPOT和IF04进行误差修正模型处理，因此建立误差修正模型。 对IF04引导效应，首先进行两者的长期回归分析，结果如下: 针对SPOT 表7:SPOT对IF04进行最小二乘法回归 Dependent Variable: IF04 Method: Least Squares Sample: 10/30/2006 1/20/2010 Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C -1355.17 87.91707 -15.4141 0 SPOT 1.756149 0.025321 69.35592 0 R-squared 0.860625 Mean dependent var 4417.778 其次，对两者进行误差修正模型分析，结果如下: 表8:SPOT为引导因素的误差修正模型 Vector Error Correction Estimates Sample (adjusted): 11/02/2006 1/20/2010 Included observations: 778 after adjustments Standard errors in ( ) & t-statistics in [ ] Cointegrating Eq: CointEq IF04(-1) 1 SPOT(-1) -1.695 -0.15689 [-10.8039] C 1154.553 于是得到CointEq= IF04-1.695*SPOT+1154.553 140Series: COINTEQ1 Sample 10/30/2006 1/21/2010120Observations 781 100Mean 0.397570 Median 2.75595080Maximum 3060.096 Minimum -1527.36560Std. Dev. 793.4314 Skewness 0.612937 40Kurtosis 3.486398 Jarque-Bera 56.6012720Probability 0.000000 0-10000100020003000 图2:CointEq序列直方图 虽然由图2得知本文CointEq序列并不符合标准正态分布，但可以通过CointEq序列的非置信区间进行套利操作。 (七)期现套利策略及效果检验 通过计算CointEq序列第10分位数和第90分位数，可以模拟出CointEq序列在90%置信区间下的套利操作上下限。计算得CointEq序列的第10分位数和第90分位数分别为1357.78和-1106.77。 这样，我们就获得了建立套期头寸的策略: 当CointEq>1086.41，即当CointEq大于其第90分位数时，我们就卖出IF04合约，买入现货SPOT。 当CointEq<-977.79，即当CointEq小于其第10分位数时，我们就卖出现货SPOT，买入IF04合约。 自建立套利头寸后，当CointEq回落至其第10分位数与其第90分位数之间时，我们就可以进行反向操作，了结套利头寸。 用上面的方法:我们发现在沪深300仿真交易运行期间，共存在有23次套利机会;但考虑到现货市场不存在卖空现货的工具，因此“卖出现货、买入股指”的操作方式不具可行性，因此我们不计算其买卖机会。如下是“买现货、买股指”的操作方式提供的交易机会。 表5:样本数据实证结果 建仓日期 建仓价差 平仓日期 平仓价差 收益率 持仓时间 累计收益率 2007-10-8 1162.48 2007-10-9 1043.85 10.20% 1 10.20% 2007-10-11 1379.21 2007-11-7 1025.23 25.67% 27 138.49% 2007-11-8 1292.78 2007-11-21 653.58 49.44% 13 356.41% 2007-12-10 1213.77 2007-12-11 587.25 51.62% 1 691.99% 2007-12-21 1147.91 2007-12-24 869.06 24.29% 3 984.38% 2008-3-17 1091.40 2008-3-19 956.33 12.38% 2 1218.58% 2008-4-1 1351.60 2008-4-15 1045.86 22.62% 14 1616.86% 2008-7-21 1500.32 2008-8-1 1086.41 27.59% 11 2190.51% 2008-8-4 1112.06 2008-9-5 968.44 12.92% 32 2586.33% 2009-2-12 1094.96 2009-2-17 891.48 18.58% 5 3185.54% 注:建仓价差指建仓时CointEq序列值，平仓价差指平仓时CointEq序列值，而非简单两个合约价格相减。 统计表中数据可以得出，单次收益率都超过10%，而且平均持仓时间为10天，累计收益竟然达到30倍。试想，如果考虑放大风险(将置信度由90降低为80%)、期货市场的杠杆效应、以及选择更有的套利入场和出场点位，收益率无疑将更加吸引人。 值得注意的是，因为期货数据采用仿真交易数据，仿真交易的失真造成了期现价差不合理现象长期存在，从而增加了理论上的套利机会和收益。数据显示2007年和2008年分别存在5次和4次套利机会，而2009年发生了一次，且收益率明显低于07和08年平均收益率，这也说明随着仿真交易运行时间的增加，仿真交易的价格发现功能也逐步提高。 仿真交易价格发现功能的逐步提升让我们有理由相信一旦股指期货正式上市运行，期货合约需要一定的时间才能够真正实现价格发现功能，这将会为股指期货投资者提供了足够丰厚的低风险套利收益。 五、总结 本文通过考察国内现阶段证券、期货投资工具，提出了具有可操作性的沪深300指数期货跨期套利，并利用协整理论建立模型判断合理套利价差，仿真交易数据表明股指期货套利或将存在巨大收益空间。 基于协整理论进行股指期货期现套利从本质上是一种统计套利，利用期现价差偏离长期均衡状态构建对冲套利头寸获利的交易行为。该方法有别于纯粹主观决定合理价差范围的方法，为投资者提供了具有计量经济学原理支持的套利思路。 虽然仿真交易存在一定的失真，但通过研究仿真交易情况下的期现套利对于指日可待的股指期货套保、投机、套利依然具有较强的借鉴意义。