【doc】T7557-1994《同轴度误差检测》中数据处理方法之疑议与补缺
T7557-1994《同轴度误差检测》中数据处理
方法之疑议与补缺
林翔:JB/T7557.1994同轴度误差检测中数据处理方法之疑议与补缺23 0【i:测点径向线ri与中心移动方向线OO之间的夹角.
(ti,e分别是移动中心O至0的方向和步长,移动0至O的目的是使"误差带"逐步向"最
小区域"逼近,从而求出符合"最小区域"原则的截面圆心.
遗憾的是文献[1】对所谓的"一定优化方法"未做交代,对0【i,e这两个关键数值的来龙去脉
没有作具体说明,令人无所适从.不可避免的,笔者对文献【1]附录B应用示例中4个基准截面圆
中心,7个被测截面圆中心的计算结果是否符合"最小区域"原则,该示例的同轴度误差的最终
评定结果之合理性,产生了疑义,继而试着寻求更优化的算法,重新评定附录B中计算结果的可
靠性与高精度性,对正确运用国标有所裨益.
1"最小区域"意义下求圆心之数学模型
所要推敲的基准截面圆中心,被测截面圆中心问题,都属于minmax求解问题,归纳起来可
以表述为:某一实测圆,圆周上均布有n个测点Qk(Xk,Yk)(k=l-n),要以点集Qk(k—l—n)为
基础拟合出两个同心圆,不妨记共同圆心为O(xo,Yo),Qk至圆心O的距离为Sk(k-----1,n),按照
"最小区域"判定原则的要求,圆心0应该满足下式:
f_--max(sO--min(sk)(k=l,n)一>min;
f表达式的几何意义是:有两个同心圆,所有的点Qk(Xk,yk)(k=1一n)都落在两个圆
之间,
且这两个圆之间的区域达到最小.表达式中max(sk)为同心圆中的大圆半径,min(sk)为小圆半径,
因此"f->min"也可看作是两个同心圆的半径之差趋于最小,如此则O点就是符合所谓的"最
小区域"原则的圆心,也就得到我们所求取的拟
心圆了. 这一典型的minmax问题是离散型的,笔者经过观察比较,另辟蹊径寻找一种既符合"最小
区域"概念且又适用易用的新算法,作为"一定优化方法"的一种诠释. 2新算法
仍然围绕j,e来展开讨论.是中心O的移动方向,e是移动步长,j,e取值的原则是必 须使得f值降下来;而要使f=max(sk)--min(sk) 值下降,只要让max(sk)降下来,让min(sk)升上去,
就可以实现.笔者发现,一个特殊三角形的外角
平分线的方向,具备作为O【j候选方向的特性.
记拟合圆的临时中心为O,Qk(xk,Yk)(k=1,n)
距0最远,最近的点分别为Ql,Q,即OQl=
max(sk),OQ=min(sk),AQlQO构成一个特殊
的三角形.延长Q0,作直线OP,ZQlOP为
AQ1QO的一个外角,自O点作ZQ1OP的平分
线OL,如图2所示,OL即可作为i的一个可选
方向.证明如下:
沿OL方向取点O,令OO:e(e是一个很
小的步长),使得AOOQl之ZOOQl为钝角,则
有不等式成立:
><殊三角形1'
.
7
._一
图2特殊三角形,外角平分线关系图
24温州大学?自然科学版(2012)第33卷第2期
OQL<OQl--max(sk)(1)
对于AO0Q,_/QO0必为钝角,故也有不等式成立:
0Qm>OQm=min(sD(2)
综合(1),(2)两式,可得不等式:
OQl—OQ<OQ1一OQ=max(sk)一min(sk)=f(3) 可见只要e值取得很小,沿外角平分线OL方向选定一个新的圆心O,就可能把f值降下来.
解决了cci的取值问题,以下讨论e的取值.
易知,如果以"最小二乘圆"的圆心作为"最小区域圆"的初始圆心O,则此时的f值已经
很接近"最小区域"了,所以对O的移动,肯定是小幅度的,因此e值必然是个很小的值.
记"最小二乘"圆心为02(x",y"),
则Qk(Xk,yk)至02距离为s"k:==?(xk—x")+(yk--Y")(k=l-n), 有f2=max(s"k)--min(s"k)(k=l-n). 根据经验,"最小区域"意义下的f值通常要比"最小二乘"意义下的f2值小10%左右,因
此不妨令e=f2/10.
e只是一个初始的步长取值.如果经判断,f值下降了,即用O取代0;如果f值没有下降,
则减小e值,取原e值一半,即e=e/2,重新对O点进行移动判断. 随着f值不断逼迫"最小区域",e的取值必然地不断在减小;当e是一个很小很小的值,
达到了计算精度要求之时,停止计算,输出结果.
特殊情况的处理:
如果Ql,Qm,O三点成一线,AQlQO中ZQlOQ是个平角,不妨仍将AQlQO当作普通
三角形对待,计算过程如法炮制,与前述无异.
如果Qk(xk,Yk)(k=l-n)距O最远点不止一个"Ql"而是有S个,距0最近点也不止一个
"Q"而是有T个,则处理的办法是:从S个"Q1"和T个"Q"中各取一个点与O组成一个
特殊三角形,则这样的特殊三角形就有S*T个;对这些三角形逐个进行计算求出相应的外角平分
线,其中能使f值下降最多者,就选定其作为特殊三角形.
以上是对计算过程的要点叙述.当ai,e确定以后,接下来的计算工作须回到文献[1】规定的
算法流程,进行"最小区域"意义下求截面圆中心的全过程计算. 3算法的验证
按上述算法,以C语言编程,对文献[1】附录B中的4个基准截面圆和7个被测截面圆算例
进行验算,计算结果列出如下:
3.1基准柱面上的4个截面圆
表1基准柱面上的4个截面圆计算结果比较
林翔:JB/T7557—1994(《同轴度误差检测中数据处理方法之疑议与补缺 3.2被测柱面上的7个截面圆
表2被测柱面上的7个截面圆计算结果比较
经比较可见,本算法计算的全部l1个截面圆f值,都要比原文小,尤其是第1II截面圆,第
4截面圆,f值比原文的值小了约6%和13%.
3.3其他"最小区域圆"算例
为进一步验证本算法的高精度性,笔者还对文献[2—7】共6篇与"最小区域圆"有关的文章中
列出的算例,进行验算.这些文章各给出了一个算例,现将原文结果与本文算法计算的结果列出
如下,便于比较:
表3文献【2—716个算例原结果与本文算法计算结果比较
比较而言,本文所提出的算法在精度方面切实体现出了一定的优势,文献[3]算例计算精度甚
至提高了25%.
4同轴度误差算例
(1)以上述4个基准截面圆心和7个被测截面圆心坐标为基础,继续计算工作,把文
】 献【1
附录B中同轴度误差算例之最终结果求出来.
先求取基准柱面轴线:
按文献[1】规定,要求出基准轴线,必须求出包容OI—OIv四个点的"最d,#t-包圆"的圆心O#J-.
为此,引进文献【8】中关于"最小外包圆"的算法,求得圆心坐标为O外(.0.12740,.0.09678).
再求取同轴度误差值:
计算Ol—O7等7个点至O外的最大距离,再翻番,即同轴度误差值,该值为10.80977p.m;
原文给出的同轴度误差值为10.67gm.
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(2)其他同轴度误差算例
文献[9]给出了一个算例,共有2个基准截面圆,4个被测截面圆.本文算法计算各截面圆及
同轴度误差结果列出如下表:
表4文献[9】算例计算结果
(3)文献[10]附录中给出了一个同轴度误差的算例,基准轴线为空间坐标系的Z轴,被测圆
柱上有6个等距横截面圆.用本文算法计算各截面圆结果及同轴度误差如下表: 表5文献【l0】算例计算结果
被测截面圆序号本文算法计算结果
5小结
文献[1]中数据处理环节的核心问题是典型的minmax问题,文中所述的算法过于隐晦,不具
可操作性,故而笔者就此展开讨论,寻求符合"最小区域"法则的有针对性算法.以"特殊三角
形"的外角平分线为突破口,围绕G【i,e的原始概念进行算法推演,并且对算法的合理性进行了
【;,e的取值给出了具体说明,同时对可能出现的"特殊现象"也提简单的证明,对0
出了处理意
见.经过若干的算例验算与结果比较,在证明了本算法合理性的同时,也证明了其高精度性和实
用性.
特殊三角形的外角平分线方向不一定是cti的最佳选择,但它是一种可行的选择,它能使f值
单调下降逐步逼近"最小区域",这是本算法具备高精度的主要因素之一,不妨将其作为"一定
优化方法"的算法补缺.本文引用的算例有限,欢迎同行专家指正,把文献[1]中存在的问题解决好.
参考文献
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DataProcessingMethod'SDoubtandSupplementof
CoaxialErrorDetection(JB/T7557—1994)
LINXiang
(ComputerScienceDepartment,FujianCommercialCollege,Fuzhou,China350012) Abstract:TheminmaxinthedataprocessingofCoaxialErrorDetection(JB/T7557—
1994)isatypical
problem.Thereasonabilityofitsalgorithmandreliabilityofitscalculatingresultsweredoubtfulbecause
manykeystepsofthecalculatingmethodadoptedwerenotclearlyexpounded.Giventhis,arational
algorithmwhichfitswiththe''minimumarea''principlewaschosentoimprovethecalculatingaccuracyand
correct11circularcross—
sectionresultsinalgorithmofAppendixB.Then,thefinalassessmentofcoaxial errorwascorrected.
Keywords:CoaxialError;NewAlgorithm;High—precision;SophisticatedDetection
(编辑:封毅)