棱锥的体积教案[管理资料]
在实践中学习,在反思中提高
课例:《棱锥的体积》
上海市大团高级中学 李青
随着“二期课改”的不断推进,“二期课改”已经由理念层面向课堂实践层面不断深入。作为一名第一线的教师,如何将先进的教育理念,渗透到平时的课堂教学中呢,这是每一位一线教师,必须去面对、去实践的课题。笔者通过前段时间的理论学习,积极投入课堂教学中去实践。为了检验前段时期的学习与实践的效果,进行了一次教学研讨活动,开设了公开课《棱锥的体积》。
《棱锥的体积》是学生在学习了棱柱的体积及棱锥的性质后,学生已经具备了一定的知识基础来学习棱锥的体积公式。本课例是培养学生运用知识、发展能力的有效载体。但如何组织好、处理好教材,以利于最大程度地满足学生的发展需要。引起了我深深的思索。为此,笔者对教材进行了认真仔细地研读,教材是通过证明命题“等底等高的两个棱锥,它们的体积相等”为出发点,来探求三棱锥
1的体积,将一个三棱锥补成一个三棱柱,从而证明V= V最后得到三棱锥三棱柱。3
1一般棱锥的体积公式V= Sh及其公式的应用。我感到,如果按照教材的设棱锥3
计进行教学,学生会觉得这些知识很神秘,很深奥,也较难接受与理解,学生会产生种种疑问。例如,求棱锥的体积怎么会想到证明命题问题,再者,由于学生缺乏一定的空间想象力,更想不到将一个三棱锥补成一个三棱柱,学生没有这种思维意识。针对学生面临的种种困惑,我对教材进行了重新
。按照数学发现规律和学生的认知规律组织教学,让学生在观察----猜测--------论证------推导棱锥的体积的公式------公式的应用中,体验知识的发生、发展过程,在灵活运用知识的过程中,培养发展学生的能力。按照这个思路,我进行了第一次教学。
第一次教学过程:
1.创设情境,提出问题
师:前面,我们学习了棱柱及其性质,并用祖暅原理,推导了棱柱的体积公式。
1)祖暅原理:夹在两个平行平面间的两个几何体,如果被平行于这两个平面的
平面所截得的两个截面的面积都相等,那么这两个几何体的体积相等。(用电
脑演示)
2)V=Sh(S为棱柱的底面积,h为棱柱的高) 棱柱
D1
C1E1
B1A1
h
D
CsEH
BA
最近,我们在学习棱锥及其性质,今天,我们将要学习棱锥的体积。
2.实验观察,猜测结论
1)三棱柱与三棱锥之间有什么关系
教师将一个三棱柱分割成三个三棱锥 B''A'B''A'A` B''AA''B''A` C''
C''
ABB' (1) (2) (3)ABB'CC'C'
CC'C'
112)猜测:三棱锥的体积V= V= Sh 三棱锥棱柱33
这个结论成立吗,我们必须要证明。 3.探究新课,推导三棱锥体积公式 师:三棱柱分割为三个三棱锥,如果能证明三个三棱锥的体积相等,那么
1V= V 三棱锥棱柱3
下面,我们来仔细观察(教师演示)三个三棱锥有什么特点: IH
1)底面积相等,2)棱锥的高相等 具有这样特点的棱锥的体积是否相等,(现在我们来证明这个命题)
命题:已知:两个棱锥底面积都是S,高都是h 求证:两个棱锥的体积相等
??
h1h2
s2s1
A
shshDG
CBE,证明:把两个棱锥的底面放在平面α上,作平行于α的任意平面去截两个棱锥,F
所得的面积为S,S,设平面与两个棱锥顶点都相距h,121
Sh2Sh11221,()由棱锥性质得 S=S,()12ShSh
根据祖暅原理,两个棱锥的体积相等 V=V12 结论:等底等高的两个棱锥,它们的体积相等 这样我们再来观察三个三棱锥,都是等底等高,所以,V=V=V123
P-ABC小结:已知三棱锥,底面积为S,高为h.
pD1 V= sh 三棱锥3
A C0
B
4.引伸拓展,推导棱锥体积公式
刚才,我们学习了三棱锥的体积公式, 那么,对于一般的棱锥,如何求它的体积, 让学生思考一下,
p
GA
F
1 V= sh 棱锥E3C
D
1
:强调棱锥的体积;1)底面积S,2)高h,3)系数 3注意与棱柱体积公式的区别
5.简单应用,知识体验
3例1.正三棱锥的高为,侧面与底面所成的角为60度,求正三棱锥的体积。
pD解:过P作PO?平面ABC,垂足为O,
则O是三角形ABC的中心,
连接AO并延长交BC于D,连接PD,由三垂线定理, PD?BC,所以?PDO是侧面与底面所成的二面角, AC0
B?PDO=60,OD=3?ctg60=1
21333设三角形ABC边长为a,CD=,a=2,S=.1a,(23)33,ABC324
11V=SOP,,,,, 3333三棱锥 ABC33
说明:求底面积与高
例2:如图是一个石柱,石柱的上部是一个正四棱锥,下部是一个正四棱柱,已
知正四棱柱的底面边长是0.5米,高为1米,正四棱锥的高是0.3米,石
料的比重为2400千克/立方米,求这个石柱的重量。
说明:体积在实际生活中是有广泛应用的
6.回顾小结 归纳整理
1我们学习了棱锥的体积公式,今天,V= Sh 棱锥3
7.布置作业
8.思考题
已知:三棱锥的三个侧面两两互相垂直,且它们的面积分别是6,4,3,求此三棱锥的体积。
第一次反思:
1:教师在教学设计与教学时,虽然按照数学发现规律与学生认知规律开展教学,
教师从学生已有的知识的出发,由三棱柱与三棱锥的关系,经观察----猜测------论证------推导棱锥的体积的公式------公式的应用,这条主线组织教学。教师的主导的作用明显,但通过对比“二期课改”的理念,我想,这样的教学效果好吗,学生真的是这样学习的吗,看似符合学生的认知规律,但站在学生的发展角度看,特别是从学生能力发展与潜能开发上,还存在一定差距,总感到学生似乎没有“真正”参与教学,只是由教师牵引着一步步达到教学目标,学生的主动探究、学生的思维没有“真正”激活,还是有点被动的接受教师的教学设计思路开展思考,缺少一种野性思维与创造性思维。 2:“二期课改”所提倡的学生学习方式转变,本节课体现不够充分,学生的讨论、交流、探究,学生的亲身体验,虽然有所
现,但总感到不够深入,有点肤浅。
没有给学生充分地数学活动、数学思考、经历数学化的机会。例:三棱柱与三棱锥割补,是否让学生亲自实践操作一下,亲自动手操作一次,亲身经历一次,印象会更深刻一些,也更容易理解一些。
3:多媒体与学科有机整合,是提高课堂教学效率的一个重要途径。本节课多媒体的使用效果是比较精彩的:由三棱柱分割成三个三棱锥,动画过程清晰:由平行平面截几何体的截面,生动形象:由一般棱锥分割成若干个三棱锥,学生能很直观的观察到,理解也较容易。把思考过程很生动形象的展示在学生面前。但也感到存在一点隐患,数学是培养学生抽象思维能力的一门学科,需要学生有一定的空间想象与抽象能力,太多的具体的感知,是否会影响学生的想象力。
通过第一次的教学实践与反思,针对存在的问题,如:学生学习方式的转变,激活学生的思维能力等,怎样更好的体现“二期课改”的所倡导的教学理念,笔者重新对本节课的教学进行思考与设计。进行了第二次教学。
第二次教学过程
一、提出问题 激活思维
师:前面已经学习了棱锥以及棱锥的性质,今天我们学习棱锥的体积
启发学生回顾棱柱的体积公式V=Sh 棱柱
p显示一般棱锥 已知棱锥P-ABCDEF的
底面积ABCDEF=S,高PH=h
hGVA求 PABCDEF,F
H
E CD
请同学思考解题方法,可以相互讨论,对这个问题,你是如何思考的,不一定要准确结论,而是思考解决问题的方法。
二、交流学习 共享成果
师:通过,刚才的思考与相互讨论,请同学交流一下想法 生1:我是这样想的,将棱锥P-ABCDEF分割成若个三棱锥,这样只要解决三棱
锥的体积就可以了。
生2:我是这样想的,求棱柱的体积时,我们构造了一个等底等高的长方体,根
据祖暅原理,求出了棱柱体积。是否也可以用样的方法构造一个等底等高
的三棱锥,根据祖暅原理求出棱锥的体积。 生3:我是这样想的,根据物理知识处理,将棱锥放入水中,排出的水的体积就
是棱锥的体积
师:通过同学们的交流,大多数同学同意三位同学的想法,同学3能利用物理知
识处理是很好的想法,属于创新。但数学是严密的,今天学习棱锥体积计算
是希望得到一个计算方法或公式。从生1,生2两位同学交流中,我们发现
一个共性的东西,那就是都涉及到了要求三棱锥的体积。这样,将问题转化
为求三棱锥的体积,下面我们一起共同探究。 三、动手操作 猜测结论
师:同学们知道,一个平行四边形可以分割成两个面积相等三角形。那么三棱柱
能否分割成几个体积相等的三棱锥呢,
请同学们动手拿出预先准备的三棱柱,进行操作分割,可以相互讨论。
教师用模型实物进行演示,再通过多媒体进行演示
同时,要求学生将这个分割过程,作图表示出来 B''A'B''A'DB''AA''B''D
C'' C''
A (1) (2) (3)BB'A BB'CC'C'CC'C'
VVVV,,,用体积表示 123
V,,师:请同学们仔细观察,猜测结论 并说明理由。三棱锥
1生4:我猜:V= V 三棱锥棱柱。3
ss,因为,在图(1)、(3)中,,且它们的高相等。 ABCABC111
ss, 在图(2)、(3)中,,且它们的高相等。 BBCBBC111
11vvv,,根据祖暅原理,,所以V= V= sh。三棱锥棱柱12333
师:同学们,想一想,生4讲得对不对,有没有什么要补充的,
生5:我觉得有点不妥,祖暅原理是用平行于底面的任意平面去截,截面的面积
ss,都相等,则体积相等。而他说,只有一个底面且高相等, ABCABC111就说它们的体积相等, 有点想不通。 四、论证猜测,体验成功
师:那我们一起来想办法,帮生5想通这个问题。
ss,P-ABC, P,ABC已知两个三棱锥 且,高相等为h ABCABC1111IH111
VV,求证: PABCPABC,,1111
证明:
截面
h1h1
s2s1
As
C1hshA1
CBP-ABC, P,ABC把两个三棱锥放在平面上且高相等,,1111B1
用一个平行于底面的任意平面去截棱锥,截得的面积分别为S1,S2,,
Sh11Sh21,,根据棱锥的性质 , ShSh,ABC,ABC111
S1=S2
VV,由祖暅原理得, PABCPABC,,1111
结论:等底等高的两个三棱锥的体积相等
11vv,vv,师: , ,所以,V= V= sh三棱锥棱柱132333
五、学生自主探究活动
师:下面请同学们自主探究开始提出的问题 。求一般棱锥的体积
请两位同学交流讲解, 用实物投影演示过程。 生6:
p
h GA
F
H
EC D IH
生7:
截面
h1h2
s1
AhshGsD
F CEB
1师:V = sh 三棱锥3
1说明:强调棱锥的体积;1)底面积S,2)高h,3)系数 3
注意与棱柱体积公式的区别
六、简单应用,知识体验
3例1.正三棱锥的高为,侧面与底面所成的角为60度,求正三棱锥的体积。
pD
解:过P作PO?平面ABC,垂足为O,
AC0
B
则O是三角形ABC的中心,
连接AO并延长交BC于D,连接PD,由三垂线定理,
PD?BC,所以?PDO是侧面与底面所成的二面角,
?PDO=60,OD=?ctg60=1 3
2133设三角形ABC边长为a,CD=,a=23,S=.1a,(23)33,ABC324
11V=SOP,,,,, 3333三棱锥 ABC33
说明:求底面积与高
例2:如图是一个石柱,石柱的上部是一个正四棱锥,下部是一个正四棱柱,已
知正四棱柱的底面边长是0.5米,高为1米,正四棱锥的高是0.3米,石料
的比重为2400千克/立方米,求这个石柱的重量。
说明:体积在实际生活中是有广泛应用的
七、回顾小结,归纳整理
1今天我们学习了棱锥的体积公式,V= Sh 棱锥3
八、灵活运用,培养能力
思考题
1、如图,在多面体ABCDEF中,已知平面ABCD是边长为3的正方形,
FE3EFABEF ,., 2
EF与平面ABCD距离为2,
CD求多面体ABCDEF的体积。
B A
2、若四面体各棱长是1或2,且该四面体不是正四面体,
求四面体的体积。
九、练习与评价。
第二次反思:
1:教师在教学设计与教学时,开门见山,直接提出问题,激起学生学习欲望,让学生自己想办法来思考解决方法,让学生交流自己的思考过程,充分暴露了学生的思维过程,生1、生2、生3三位学生展现了各自思考方法,这种所得到的结论,所蕴涵的价值远远超过了
本知识,促进了学生科学思想的形成,充分激发了学生的学习潜力,学生的能力得到了较充分的发展,真正体现了教育的价值在于鼓舞和唤醒。学生的主体行为明显。同时,“二期课改”所提倡的合作交流,探究学习等学习方式也有所充分体现,学生学习也从被动转向主动,把学习的主动权交给学生,学生的学习积极性很高,收到很好的教学效果。
2:学生有效学习方法主要靠:活动、体验、思考、建构形成的。通过学生亲自操作实践,把观察、思考、讨论的权利还给学生,学生通过操作,已经有所感悟,从直观到抽象学生一直处于积极、主动的状态,经历着数学思想方法的形成过程,让学生不断体验成功。让学生在活动中体验,在亲身经历中建构。只有让学生自己
判断,实践感悟,这样的教学才真正落实以学生发展为本的理念。
3:教师要加强理论学习,及时转变教学观念,通过理论学习与实践研究,不段改进教学方式,提高教学质量。通过对比,我感到,第二次教学比第一次教学更符合学生的认知规律,更有效的激起学生的学习兴趣与激活学生的学习思维,更由于学生的能力培养与发展,比第一次更符合学生学习的真实情况,也充分符合“二期课改”的理念。教学效果也比第一次更好一些。教学没有最好,但求更好~
总之,通过对同一课题《棱锥的体积》三个阶段,两次反思,我感到收获很大。
第一,教师不同的理念会影响到学生的学习兴趣、学习方式及学习效果。学习
数学不能只是理解知识的结论和结论的应用,更重要的是通过对数学知识
的探索过程,掌握获得知识和运用知识的方法,并且理解这个过程中的数
学思想,这才是学数学的本质的东西,教学过程实质上是教师根据教材内
容和学生学习的实际情况进行再创造的过程。 第二,教学要围绕“教会学生思考”来展开,这对学生来说,是一生中最有价
值的知识,教师要站在学生的角度来设计开展教学活动,通过换位思考,
才能真正体验到学生需要什么,学生会如何思考。只有这样,教学才能有针对性,启发性,才能获得最大的效果。
第三,教师必须要学会反思,反思是发现问题的源泉,是优化教学设计,提高教学质量的极好方法。教师经常反思:组织教学形式是否高效,反思学生是否有尽可能多的发展机会或表现机会,反思学生在课堂上学生的精彩之处是什么,反思学生作业中的创新成份等等。通过反思可以帮组教师及时发现问题,正确有效的处理问题,叶澜教授说得好“一个教师写一辈子教案不可能成为名师,但一个教师写三年教学反思就有可能成为名师。”作为一名教师,不反思,不梳理自己的成败得失,就不可能提升自己的教学理念,只有不断的反思,不断的实践,不断的学习,才能使自己逐渐成为研究型、专家型教师。