大一高数极限练习题
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大一高数极限练习题
一、主要内容
函数的定义 极限的概念 连续的概念 一)函数
1.函数的定义 函数的分类
2.函数的性质 有界、单调、奇偶、周期.反函数.隐函数
5.基本初等函数.复合函数.初等函数
8.双曲函数与反双曲函数 极限
1、极限的定义: “??N”定义”???”定义”??X”定义单侧极限极限存在的条件、无穷小与无穷大
无穷小; 无穷大; 无穷小与无穷大的关系无穷小的运算性质 、极限的性质 四则运算、复合函数的极限、求极限的常用方法
a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; c.无穷小因子分出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限; f.利用等价无穷小; g.利用重要极限
5、判定极限存在的准则 夹逼定理、单调有界原理、两个重要极限
lim
sinx
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?1
x?0某过程
lim
sin?
?
?1;
1
x
1x
lim?ex??1
lim
x?0
?e
某过程
7、无穷小的比较
8、等价无穷小的替换性质
9、极限的唯一性、局部有界性、保号性 连续
1、连续的定义单侧连续连续的充要条件 闭区间的
连续性
lim??e.
2、间断点的定义间断点的分类第一类、第二类
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3、初等函数的连续性连续性的运算性质反函数、复合函数的连续性
4、闭区间上连续函数的性质 最值定理、有界性定理、介值定理、零点定理 二、例题 例 x?1时,
242n
求lim?. n??
解 将分子、分母同乘以因子, 则
n
?
原式?lim n??1?x
2242n
? ?limn??1?x
n22n2n?1
11?x n?1
?.?lim?lim
n??n??1?x n??1?x1?x
1
例 1?tanxx求lim. x?01?sinx
11
1?tanxtanx?sinxxx解 原式?lim[1?]?lim[1?]
x?0x?01?sinx1?sinx
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1tanx?sinx1?limsinx?1?limsinx?1?cosx?1?lim???3x?0
x?0xx2cosx21?1sinxx3x?0cosxx
?原式?e2. p?x3例 x??xp
lim?1,求p. x?0x
p?x3
?2,解 ?limx??x2
?可设p?x3?2x2?ax?b
p
又?lim?1,
x?0x
32
?p?x?2x?ax?b~x
从而得b?0,a?1.故p?x3?2x2?x
?x?,x?1例 ?
讨论f?的连续性.??x
?cos,x?1
?
将f改写成解 ?1?x,x??1
??x ?f??cos,?1?x?1?
??x?1,x?1
设p是多项式,且lim?2,
显然f在,,内连续.
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当x??1时,
x??1?
limf?lim??2.
x??1
x??1
x??1
x??1
?lim?f?lim?f
coslim?f?xlim??1?
?x
2
?0.
故f在x??1间断.
当x?1时,
x?1
limf? limcos??
x?1
?x
2
?0.
f?limflimf?lim? ?lim
x?1?x?1?x?1?x?1?
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故f在x?1连续.
?f在?连续.
[0,1]上连续,且f?f,例 设f在闭区间
1
证明必有一点??[0,1]使得f?f. 11
令F?f?f,则F在[0,]上连续.证明111
?F?f?f,F?f?f,22
讨论: 1
f?f;
若F?0,则??0,11111
若F?0,则??,f?f;
22221
若F?0,F?0,则
2
例 证
即xn单调减,有下界
xn存在故由单调有界原理得 limn??
1a
设x1?0,证明xn?1?有极限
2xn
1a
?x??an?1n显然xn?0
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2xn
21aa?x1nxn?1?xn????0
2xn2xn
1a 1aA?设limxn?A,则A?0在xn?1?两边取极限得
n??2A2xn 解得A?a,A??a 12
sinx?xcos例 求 lim
x?0ln
解 sinx1
?xcos
1?01原式?lim??
x?0?12
x
例 求
令u?x?1则x?1?u解 ??
由?1~?u得I?lim u?0un?1
111
u?u???u1
??limn?1u?0 n!u
?limx?1n?1
xxx
cos?cos,例. 求极限nn??222
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xxxxcoscos2cosn?2sinn
解原式?lim n??2sin
2
xxxxcoscos?cos?2sin n?1n?1
?lim n??2
2sinx
nsinxsinx ?lim???lim
n??nxn??sinsinnn
22
limcos
?
sinx
x
x
?x?c?设lim?例 ??4,求cx??x?c?? x?c2c??c??xx2c2c???2c??c??lim????x?c??1??1??????lim
???lim?1??x????x?c???x?c?解一 ?x??x?c?????x???x?c????
?e2c?4?2c?2ln2得c?ln2
x
解二 ?c?
?1??x
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x??x?c?ec?lim??e2c??lim?x?c x??x?ce??x???c?
1??? x??
limn?1例证明 n??
n2n22n
hn???1?hn证 首先n?1记n?1?hn?n??1?nhn?
2!2!
22
?0?hn?
n
limhn?0?limn?1由夹逼定理知 n??n??
x?b例 确定a,b的值,使f?有无穷
间断点x?0,,有可去间断点x?1
解 因f在x=0处为无穷间断,即 limf??
x?0
x?a1
??lim?0?lim?lim?
x?0x?bx?0fx?0x?b
又x=1为可去间断, 故limf存在例 解
x?1
a?0,b?0
?1?b?lim?lim[f?]?limf?lim?0
x?1
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x?1
x?1
x?1
?b?1
?fsin2x?1
?2,求limf
x?0x?0e3x?1?fsin2x?1
由lim?23xx?0e?1
而lim?0?limsin2x?1)已知lim
x?0
x?0
?lim
x?0x?0
?fsin2x?13x
??2?0?03x
e?1
fsin2x?0?lim?fsin2x?1?limx?0
从而由等价无穷小的代换性质得
1
fsin2x1sin2x?fsin2x?1?limf?2?lim?lim3x3x?02xx?0x?0e
?13x
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sin2xf存在,且limf?6由lim?1?limx?0x?0x?02x
n
n?1
例 利用介值定理证明,当 n 为奇数时,方程 a0x?a1x
至少有一实根
证 令f?axn?axn?1???ax?a?0,
01n?1n
an?1anfa1
lim?lim?a0?0 0x??xnx??xxn?1xn
故由函数极限的保号性质可知
???an?1x?an?0,
又 n 是奇数,所以
x)n
?X0?0,使当|x|?X0时f与a0x同号
x
?f?f?0an与an异号
即a0xn?a1xn?1???an?1x?an?0至少有一实根
和差化积积化和差
sinθ+sinφ = sin*/2+ cos*/2+sinαsinβ = *cos-cos+ /2sinθ-sinφ = cos*/2+ sin*/2+cosαcosβ = *cos+cos+/2cosθ+cosφ = cos*/2+ cos*/2+ sinαcosβ
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= *sin+sin+/2cosθ-cosφ = -sin*/2+ sin*/2+
cosαsinβ = *sin-sin+/2
而f在[?2X0,2X0]上连续
故由零点定理知 ???,使f?0
当x?x0时,设?1,o,?1?o且lim求证:lim
x?x0
?
存在,?
???1???1
x?x0
?lim
x?x0
?(?
若当x?0时,??
2
?1与??cosx?1是等价无穷小,则a?
1313A B C(? D(?(
2222
答
阶的是
2
当x?0时,下述无穷小中最高A x B1 ?cosx C?x
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n??
2
?1 D x?sinx
n
答
n???
求limn?ln?ln?之值( 求极限limnsin(
2
e?1?x11
求极限limln( lim3x?0n??2nxsinx
x
2
2
的值?_____________
设有数列a1?a,a2?b ,an?2?求证:limyn?lim及
liman(
n??
n??
n??
an?1?an
2
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设x1?a,x2?b( xn?2?记:yn?
1xn?1
?
sinx
2xnxn?1xn?xn?1
,
1
,求limyn及limxn(
n??n??xn
求极限lim
x?0
?cosx
x
2
之值(
设limu?A,A?0;且limv?B
x?x0
x?x0
试证明:limu
x?x0
v
?A(
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B
lim?ln?2?
x?1
1
A(? B(1 C(0 D(ln2
答
lim
x?0
sinxx
?
A(1 B(e C(e D(2
2
答
设u?1?xsin求:lim
2
12
. f?ux
及limu之值,并讨论
x?0
f?1u?1
u?1
lim
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f?u??1u?1
的结果(
x?0
lim
x?9x?x?6
x
x?3
2
的值等于_____________
lim
e?4e
x
?x?x
x??
3e?2e
?
1
A B(2 C(1 D(不存在
3
答:
lim
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8
35
x??
?
A.?1 B.1 C.
12?3
20
53
D.不存在
答:
lim
32
15
10
x??
?__________
__ lim
xe?e1?2x
x
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?x
x?0
的值等于____________
求极限lim
x?3x?2x?x?x?1
3
2
求lim(
?6x?
x?1
x?0
x
之值(
已知:limu??,limuv?A?0
x?x0
x?x0
问limv?,为什么,
x?x0
关于极限lim
53
5
1
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结论是:
54
x?0
3?ex
A
B 0 C
D 不存在
答
设limx?xf?A,limg??,则极限式成立的是
x?x0
A.limfx?xg?00
B.lim
gx?xf
??
C.limx?xfg??
D.limf
x?x)
??
答f?ex
cosx,问当x???时,f是不是无穷大量(
limtanx?1
x?0
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arctan
x
?A.0 B.不存在. C.?2 D.??2
答
lim
arctan
x??
x
?
A.0 B.? C.1 D.?2
答
lim
2x?1?
x??
x2
?3
A.2 B.?2 C.?2 D.不存在
答
设f?
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31,则f?___________
2?e
x
limarccot
1x?0
x
?A.0 B.? C.不存在. D.
?2
答lima?cosx?0,则其
中x?0ln?x
a?A. 0 B. 1 C. 2 D.
?
3
答
lim
e
2x
x?0
?e?3x
的值等于__________
1?cosx2
x
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?x
__
lim
x?0
?
A. 2 B. ?2 C.不存在. D. 0
答:
设f?
px?qx?5
x?5
2
,其中p、q为常数(
问:p、q各取何值时,limf?1;
x??
p、q各取何值时,limf?0;
x??
p、q各取何值时,limf?1(
x?5
求极限l
im
x??
?
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2
2
?
4
( 求极限lim
3
232
x??
(
已知lim
x?3?A?B?c
2
?
2
?
x?1
?0
试确定A、B、C之值(
已知f?试确定常数
ax
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3
?bx
2
2
?cx?d
x?x?2a,b,c,d之值(
,满足limf?1,limf?0(
x??
x?1
已知lim
x?b3x?1?
x?3
x?x0
x?1
?4,试确定a,b之值(
1
??:上述说法是否正确,?
为什么,
:若lim??0,则lim
x?x0
当x?x0时,f是无穷大,且limg?A,
x?x0
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证明:当x?x0时,f?g也为无穷大(
用无穷大定义证明:用无穷大定义证明:
lim
x?1
2x?1
???( 用无穷大定义证明:
x?1
tanx??? 用无穷大定义证明:
3
x?0
lim?lnx???(
lim
x?
?
?02
x?1?0
lim
1x?1
???(
用无穷大定义证明:
用无穷大定义证明:
x???
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lim???(
limlog
x???
a
x??? (
若当x?x0时,?、?都是无穷小,
则当x?x0时,下列
示式哪一个不一定是无穷小. ?? ??? ln?1?????
2
2
??
2
答
:当x?x0,?是无穷小量:是:当x?x0时,是无穷小量:的充分但非必要条件必要但非充分条件充分必要条件
既非充分条件,亦非必要条件
答
:当x?x0时,f?A是无穷小:是:limf?A:的:
x?x0
充分但非必要条件必要但非充分条件充分必要条件
既非充分条件,亦非必要条件
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答
若limf?0,limg?0,但g?0(
x?x0
x?x0
证明:lim lim
fg
x?x0
?b的充分必要条件是
?0(
n
f?b?g
g
x?x0
用数列极限的定义证明
用数列极限的定义证明
:lima
n??
?0,( ?1 (
:lima
n??
1
n
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用数列极限的定义证明lim
1?cos2ln
2
:lim
n2n?5
2
n??
?
1
(
x?0
的值等于__________
_ 求极限lim
?
x
sinx3
?1
?之值(
x?0
高等数学习题库
淮南联合大学基础部
2008年10月
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第一章 映射,极限,连续
习题一 集合与实数集
基本能力层次:
1: 已知:A,{x|1?x?2}?{x|5?x?6}?{3},B={y|2?y?3} 求:在直
角坐标系内画出 A×B
解:如图所示A×B,{| x?A,y?B }.2:
证明:? P为正整数,?p,2n或p,2n+1,当p,2n+1时,p2,4n2+4n+1,不能被2整除,故p,2n。即结论成立。 基本理论层次:
习题二函数、数列与函数极限
基本能力层次
1:
解:2:证明:由所以命题成立
得cxy?ay?ax?b即 x?
ay?b
,所以 x?f cy?a
3:
y?2?xy?y??解:
4:用极限定义证明: lim
2
lg?0,x?0?
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?
1,x?0??
n?1
?1
n??nn?1111
?1|???成立,只要n?取N,[],则当n>N时,就有证明:因为 ?? 有|nn??
n?11n?1|?1|???有定义变知lim?1成立
n??nnn
5:求下列数列的极限
n12?22????n2
limnlim
n??3n??n3
n
nnn2n2n
解:? n?n,又?limn?0,所以 0?limn?0 , 故:limn,0
n??3n??3x??333
12?22????n2n111
?? 由于
n3n36nn111112?22????n21
又因为:lim?,所以:limn??6n??nn3n3
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因为:
所以:
因为:1?n
11
?1?,并且lim?1,故由夹逼原理得
n??nn
n?1
6:
解:由于
7:解:
8:
9:
习题三 无穷小与无穷大、极限运算法则及两个重要
极限
基本理论层次
1:
解:
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