对流扩散方程
2抖uuu ,+=a2抖tx?x网格比
DtDtr=, , ,=a2DxDx而它们的比值
Dta,axDDx ==
rtD,,2Dx
是一个无量纲量,称为网格雷诺数,也就是以网格尺寸 为特征Dx
长度的雷诺数,通常记作 。 ReDx
(1) 显式中心差分格式
nnnnnnn+1uuuuuuu---+2jjjjjjj+-+-1111, +=a2DDtx2Dx即
,nnnnnnn+1uuuuruuu=--+-+2 ()()jjjjjjj+-+-11112
精度:
n2 Rtx=DD, , ()j
1
ikxnnj稳定性分析:设 ,则 ,=Cejk
ikxx-Dikxx+Dikx()()nnnnjj++11nnj , , ,=Ce,=Ce,=Ce11jk-jk+jk
代入差分格式
ikxxikxx+D-D,骣ikxikx()()nnnn+1jjjj?çCeCeCeCe=--?kkkk?ç桫2
ikxxikxx+D-D骣ikx()()nnnjjj?ç2+-+rCeCeCe?kkk?ç桫
令 ,可求出增长因子 ,=Dkx
n+1CkG=nCk
,iiii,,,,--12=--+-+eeree()()2
=-+-1sin2cos1ir(),,,
骣骣2鼢珑,,,鼢=-+14sin2sincosri珑鼢,珑鼢珑222桫桫
所以
22骣骣2,,,2鼢珑鼢Gr=-+14sin2sincos,珑鼢珑鼢珑222桫桫
224222,,,,=-++18sin16sin4sincosrr ,2222
骣22222?ç,,,?=---1424sincossinrrç?,ç?ç222桫
2
因此
2,,2222 GGrr,,1 1 24sincos0-- ,
22
我们来考虑函数
,,2222 frr=--24sincos,,()22
?的极值。为此,需求出其驻点,即 f,=0 。实际计算,知 ()
,,,,,,2222? frr=-+=-4sincossincos4sincos,,,()()222222
,,22除非 ,否则应该有 或者 。 sin0=cos0=,=4r
22
,,2fr,,=-2当 时, , , sin0=cos1=()
22
,,2frr,=-24当 时, , , cos0=sin1=()22
所以,显式中心差分格式的稳定性条件是
2220r- ,240rr- , 即
2,1?2 , r?
2r
其中的第一个不等式可以用网格雷诺数
示成
2r? 2
Re()Dx
3
因此,稳定性条件可写成
骣?ç21?ç?çrmin,? ?ç2?2ç?Reç?()桫Dx
如果再注意到
2Dt2a222,aDx ==Dt
rtD,,2Dx
上述稳定性条件化为对时间步长的限制条件
2骣2,Dx?ç? D tmin,ç?2ç?ç2,a桫
,<
0,+=a2DDtxDx
nnnnnnn+1uuuuuuu---+2jjjjjjj++-111 (a<0) ,+=a2DDtxDx注意到
nnnnnuuuuu---+2()()+-+-1111jjjjjnn uu-=-1jj2
nnnnnuuuuu-+-+2()()+-+-1111jjjjjnn uu-=+1jj2所以格式可以改写成
nnnnnnnnnn+1uuuuuuuuuu---+-+22jjjjjjjjjj+-+-+-111111, +=+aa2DDDtxx22Dx
a>0 ()
nnnnnnnnnn+1uuuuuuuuuu---+-+22jjjjjjjjjj+-+-+-111111 ,+=-aa2DDDtxx22Dx
a<0 ()
或统一写成
nnnnnnnnnn+1uuuuuuuuuu---+-+22jjjjjjjjjj+-+-+-111111 ,+=+aa2DDDtxx22Dx即
骣,?ç,nnnnnnn+1?ç uuuuruuu2=--++-+?()()çjjjjjjj+-+-1111?ç22??ç桫
5
精度:
n Rtx=DD, , ()j
稳定性分析:
这一格式与显式中心差分格式的区别就在于格式右端最后一项
,
的系数由 变成了 。因此,格式的稳定性条件是 r+r
2
2骣骣骣,,,鼢?珑ç2鼢?珑ç , 240rr+-+ 20r+- 鼢?,珑ç鼢?珑ç222鼢?鼢?珑ç桫桫桫
即
2,21r+ , , ?1
2r+,
但是,如果第二个不等式成立,则
2rrrrr侈0 2 222,,,,,,?蓿+?? ()()所以,第一个不等式也成立。于是格式的稳定性条件只需是
21r+ ,
,=0在 的情况下,原方程和差分格式分别退化成对流方程和
,?1a=0迎风格式,而稳定性条件就是 。同样地,当 时,原方程和格式再次退化成热传导方程及其显式格式。此时,稳定性条件变成 。这些都是已知的结论。 21r?
由于
6
骣,?ç?ç 222Rerrr+=+=+,?()çDx?çr??ç桫
故上述不等式也可以用网格雷诺数写成
1 r?
+2ReDx
最后,由
DDDttt222raax+=+=+D,,, ()22DxDDxx
稳定性条件对时间步长的限制就是
2Dx D t
2,+Dax
(3) 平均隐式格式
nnnnnn+++111骣uuuuuu---?açjjjjjj+-+-1111?ç++?ç?ç222txxDDD?ç桫
nnnnnn+++111骣22uuuuuu-+-+,?çjjjjjj+-+-1111?ç=+?ç22?ç2xxDD?ç桫
即
,rnnnnnn++++++111111+---+2uuuuuu()()jjjjjj+-+-111142
r,nnnnnn=--+-+2uuuuuu()()jjjjjj+-+-111142
7
精度:
n22 Rtx=DD, , ()j
稳定性分析:
骣骣,,,2鼢珑鼢12sinsincos--ri,珑鼢珑鼢珑222桫桫 G=骣骣,,,2鼢珑鼢12sinsincos++ri珑,鼢珑鼢珑222桫桫
22骣骣,,,2鼢珑鼢12sinsincos-+r,珑鼢珑鼢珑2222桫桫G= 22骣骣2,,,鼢珑鼢12sinsincos++r珑,鼢珑鼢珑222桫桫
由于
22骣骣,,,222鼢珑鼢2sin0 12sin12sin rrr驰-? 珑鼢珑鼢珑222桫桫
2222骣骣骣骣22,,,,,,鼢鼢珑珑鼢鼢12sinsincos12sinsincos-+?+rr珑珑,,鼢鼢珑珑鼢鼢珑珑222222桫桫桫桫
2
G?1所以 ,平均隐式格式是无条件稳定的。
(4) 完全隐式格式
nnnnnnn++++++111111uuuuuuu---+2jjjjjjj+-+-1111, +=a2DDtx2Dx
即
8
,nnnnnnn++++++111111 uuuruuuu+-+-+=2()()jjjjjjj+-+-11112
精度:
n2 Rtx=DD, , ()j
稳定性分析:
1 G=骣骣,,,2鼢珑鼢12sinsincos++ri,珑鼢珑鼢珑222桫桫
211G=,1 222骣骣骣,,,,22鼢 珑 鼢 12sinsincos12sin+++rr,珑 鼢 珑 鼢 珑 2222桫桫桫
所以,完全隐式格式也是无条件稳定的。 (5) 分裂算法
如果借鉴时间分裂或者空间分裂的思路,搞一个“先对流,后扩
散”的“物理分裂”,即:将对流扩散方程分裂成两个方程
2抖uu抖uu=,+=a0 , 2?t抖tx?x则相应的“预估-校正”显式分裂格式为
*nnnuuuu--1jjjj-a>0 (预估步,) 0+=a
DDtx
*nnnuuuu--1jjjj+a<0 (预估步,) 0+=a
DDtx
9
n+****1uuuuu--+2jjjjj+-11 (校正步) ,=2DtDx精度:
n2 Rtx=DD, , ()j
稳定性条件:
1,?1 , r?
2即
Dt1Dt,? , a?122DxDx或者
骣2?DDxxç?ç D tmin,?ç?ç,2?a?ç桫
10