二次效用函数在固定费用和延迟时间下的最优再保险模型中的应用
二次效用函数在固定费用和延迟时间下的最优再保险
模型中的应用
目 录
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摘 摘 摘 要 要 要 vii
ABSTRACT viii
第 第 一 第 一 章 一 章 引 章 引 言 引 言 言 1
第 第 再 二 第 再 二 章 再 二 章 章 保 保 险 保 险 决 险 决 策 决 策 模 策 模 型 模 型 的 型 的 一 的 一 般 一 般 数 般 数 学 数 学 描 学 描 述 描 述 述 4
x 2.1 模 型 的 背 景 和 假 设. 4
x 2.2 价 值 函 数 的 转 化 和 计 算 引 理5
x 2.3 主 要 数 值 计 算 结 果. 7
第 第 三 第 三 章 三 章 计 章 计 算 计 算 模 算 模 型 模 型 的 型 的 解 的 解 并 解 并 分 并 分 析 分 析 其 析 其 相 其 相 关 相 关 性 关 性 质 性 质 质 11
x 3.1 f 是 二 次 效 用 函 数时 h 的 显 式
达 式 11
x 3.2 间 隔 时 间 ?0 时 模 型 的 解 16
x 3.3 间 隔 时 间 ?0 时 模 型 的 解 22
第 第 四 第 四 章 四 章 分 章 分 析 分 析 和 析 和 总 和 总 结 总
结 结 25
附 附 录 附 录 录 A 节 2.3 节 中 节 中 计 中 计 算 计 算 算 和? 和? 之 和 之 间之 间 的 间 的 关 的 关 系 关 系 系 29附 附 录 附 录 录 B 节 2.3 节 节 Wy 的;? 的 图 的 图 形 图 形 形 30
致 致 谢 致 谢 谢 31
-v-插 图 目 录
插 图 目 录
2-1 ?? 和的 关 系 图. 8?
2-2 黑 色 正 斜 率 的 直 线 是 W y;? , 红 色 曲 线 是 Hy;? , 蓝 色 水 平 线 则
1是 W y;? . 8
22-3? 和的 关 系 图9?
2-4 黑 色 正 斜 率 的 直 线 是 W y;? , 红 色 曲 线 是 Hy;? , 蓝 色 水 平 线 则
1是 W y;? 9
2
2-5 价 值 函 数 vx 蓝 色 实 线 和 vDx 红 色 虚 线 . 10
2-6 价 值 函 数 的 差 vx-vDx 随 着 变 量 x 增 加 而 变 化. 10
??x?K
3-1 直 线 y M +M x 和 y ?M e 的 草 图. 19
0 1 2
0
3-2 函 数 H y;?0 有 两 个 解 时 的 分 析 草 图. 21
-vi-中 文 摘 要
摘 要
假 设 保 险 公 司 拥 有 购 买 再 保 险 的 选 择 权 , 于 是 购 买 再 保 险 的 时 机 和 比 例 就 成 为 了
保 险 公 司 最 关 心 的 问
本 文 假 设 影 响 保 险 公 司 最 优 再 保 险 策 略 的 因 素 包 括 : 1 保
险 公 司 的 盈 余 过 程 ; 2 在时 刻 , 保 险 公 司 决 定 按 比 例购 买 一 份 再 保 险 合 同 , 但 需
要 经 过 间 隔 时 间, 合 同 才 正 式 生 效 ; 3 在 协 商 的 初 始 时 刻 即时 刻 , 保 险 公 司 需 要
决 定 购 买 再 保 险 的 比 例, 且不 再 随 时 间 推 移 而 变 化 ; 4 合 同 签 订 后 , 保 险 公 司 需
要 支 付 用 于 管 理 和 实 施 合 同 所 附 带 的 固 定 费 用保 险 公 司 的 目 标 是 选 择 一 个 再 保 险
策 略 包 括 购 买 再 保 险 的 时 机 和 比 例 使 得 其 在 破 产 时 刻 财 富 效 用 函 数 的 期 望 总 和 达 到
最 大因 此 , 这 是 一 个 最 优 停 时 和 随 机 控 制 的 问 题受 文 献 [6]S.Dayanik,I.Karatzas,
On the optimal stopping problem for one-dimension di?usions,
Stochastic Processes
and their Applications, 10722003173-21 启 发 , 本 文 并 不 采 用
常 规 的 变 差 不 等 式
的 方 法 去 求 解 最 优 停 时 问 题 , 而 是 引 入 一 个 H函 数
来 研 究 它 的 凸 凹 性 质 , 并 从 图 像
上 来 决 定 最 优 停 时 区 间本 文 将 文 献
[1]Yoshida-honmachi,Sakyo-ku,kyoto,Ann Arbor,
Optimal reisurance strategy under ?xed cost and delay, Stochastic
Processes and their
applications, 42008, 2-4 and 17-19 中 采 用 的 效 用 函 数 由 线 性
函 数 fx x 形 式 推 广
2
到 二 次 效 用 函 数 fx a+bx+cx 形 式 , 并 且 得 到 了 一 个 极
大 价 值 函 数 和 相 对 应 的 最
优 策 略因 此 , 本 文 结 果 是 上 述 文 献 [1] 的 推 广关 键 词 :
最 优 再 保 险 策 略 , 最 优 停 时 ,单 位 时 间 延 迟 , 交 易 费 用 ,
价 值 函 数 , 二 次 效
用 函 数
-vii-英 文 摘 要
Abstract
This paper assumes that the insurance company has the option to buy
reinsurance,
therefore, the time to buy reinsurance and the proportion of
reinsurance become the
biggest concern of the insurance company, namely, the optimal reinsurance strategy.
Then considers the factors which may exert an in uence on the optimal reinsurance
strategy 1the surplus process of insurance company, 2optimally chooses a time to
begin negotiating with a reinsurer to buy quota-share, or proportional reinsurance, which
causes an implementation delaydenoted by? 0, 3chooses the optimal proportion
of reinsurance at the beginning of the negotiation period, and4pays a ?xed transaction
cost when the contract is signed?units of time after negotiation begins. The ultimate
goal is to choose an optimal reinsurance strategy that imizes the expectation
of total wealth utility at the time of bankruptcy. This setup leads to a combined
problem of optimal stopping and stochastic control, however, inspired from bibliog-
raphy [6]S.Dayanik,I.Karatzas, On the optimal stopping problem for one-dimension
di?usions, Stochastic Processes and their Applications, 10722003173-21, usual
variational inequality method is not adopted in this paper. Instead, certain function H
is constructed for studying its concave and convex property, and then it can determine
the optimal time graphically. This paper has also modi?ed the criterion of optimal
reinsurance strategy from simple linear function, which was adopted in the bibliography
[1]Yoshida-honmachi,Sakyo-ku,kyoto,Ann Arbor, Optimal reinsurance strategy under
?xed cost and delay, Stochastic Processes and their applications, 42008, 2-4 and
17-19, to quadratic utility function. In the end, an extreme value function and an
optimal reinsurance strategy are achieved, therefore, this paper is a generalization of
bibliography [1].
Key Words: Reinsurance strategy, Optimal stopping, Implementation delay, Transac-
tion cost, Value function, Quadratic utility function
-viii-第 一 章 引 言
第 一 章 引 言
再 保 险 在 国 际 上 称 为 保 险 人 的 保 险 , 是 保 险 公 司 分 散 风 险 、 分 摊 损 失 最 通 行 的 做
法再 保 险 对 于 分 散 保 险 经 营 风 险 , 控 制 保 险 责 任 、 稳 定 业 务 经 营 、 扩 大 保 险 公 司 承 保
能 力 , 促 进 保 险 业 务 的 健 康 发 展 乃 至 整 个 金 融 秩 序 的 稳 定 具 有 非 常 重 要 的 作 用再 保 险
的 发 展 历 史 最 早 起 源 于 欧 洲 海 上 贸 易 时 期 , 从 1370 年 7 月 在 意 大 利 热 内 亚 签 订 第 一 份 再
保 险 合 同 到 1688 年 劳 合 社 建 立 , 再 保 险 仅 限 于 海 上 保 险17 、 18 世 纪 由 于 商 品 经 济 和 世
界 贸 易 的 发 展 , 特 别 是 1666 年 的 伦 敦 大 火 , 使 保 险 业 产 生 了 巨 灾 损 失 保 障 的 需 求 , 为
国 际 再 保 险 市 场 的 发 展 创 造 了 条 件从 19 世 纪 中 叶 开 始 , 在 德 国 、 瑞 士 、 英 国 、 美 国 、
法 国 等 国 家 相 继 成 立 了 再 保 险 公 司 , 办 理 水 险 、 航 空 险 、 火 险 、 建 筑 工 程 险 以 及 责 任
保 险 的 再 保 险 业 务 , 形 成 了 庞 大 的 国 际 再 保 险 市 场第 二 次 世 界 大 战 以 后 , 发 展 中 国 家
的 民 族 保 险 业 随 着 国 家 的 独 立 而 蓬 勃 发 展 , 使 国 际 再 保 险 业 进 入 了 一 个 新 的 历 史 时 期20 世 纪 末 , 世 界 各
国 的 保 险 公 司 , 作 为 一 个 独 立 的 经 济 部 门 , 无 论 规 模 大 小 都 要 将 其
所 承 担 的 风 险 责 任 依 据 大 数 法 则 及 保 险 经 营 财 务 稳 定 性 的 需 要 , 在 整 个 同 业 中 分 散 风
险 , 再 保 险 已 成 为 保 险 总 体 中 不 可 缺 少 的 组 成 部 分然 后 , 与 外 国 悠 久 的 发 展 历 史 相 比 , 再 保 险 业 对 于 我 国 则 是 一 门 新 兴 行 业1979 年
中 国 国 内 恢 复 保 险 业 务 以 后 , 在 近 十 年 的 时 间 里 , 只 有 中 国 人 民 保 险 公 司 一 家 保 险 公
司 , 所 以 在 国 内 不 存 在 再 保 险 市 场 的 概 念直 至 上 世 纪 80 年 代 末 在 深 圳 、 上 海 两 地 相 继
成 立 平 安 和 太 平 洋 两 家 保 险 公 司 , 才 形 成 了 再 保 险 市 场 架 构 的 雏 型进 入 上 世 纪 90 年
代 之 后 , 随 着 我 国 保 险 业 的 飞 速 发 展 , 国 内 再 保 险 市 场 需 求 的 不 断 扩 大 , 丧 失 了 原 来
完 全 垄 断 模 式 的 优 势 , 各 种 弊 端 逐 渐 显 现新 保 险 公 司 的 不 断 设 立 , 由 中 国 人 民 保 险
公 司 独 家 垄 断 经 营 国 内 再 保 险 市 场 的 局 面 开 始 被 打 破 , 再 保 险 业 务 的 经 营 逐 渐 趋 于
多 元 化我 国 自 1988 年 开 始 实 行 国 内 法 定 再 保 险 , 保 险 公 司 应 将 其 每 笔 业 务 的 30 % 向
中 国 人 民 保 险 公 司 办 理 再 保 险进 入 上 世 纪 90 年 代 之
后 , 随 着 保 险 公 司 的 增 加 , 法 定
再 保 险 全 面 展 开法 定 再 保 险 的 目 的 在 于 稳 定 保 险 业 的 经 营 , 提 高 国 内 市 场 的 承 保 能
力 , 防 止 保 费 外 流1992 年 平 安 保 险 公 司 和 太 平 洋 保 险 公 司 获 准 经 营 国 内 和 国 际 再 保
险 业 务1995 年 颁 布 的 《 保 险 法 》 默 许 其 他 商 业 保 险 公 司 经 营 再 保 险 业 务 , 从 而 使 国
内 再 保 险 市 场 的 垄 断 局 面 彻 底 打 破 , 各 保 险 公 司 的 再 保 险 业 务 均 得 到 了 不 同 程 度 的 发
展1996 年 , 中 国 人 民 保 险 公 司 进 行 了 改 革 , 改 组 后 的 中 保 集 团 设 立 了 中 保 再 保 险 公
司 , 这 是 我 国 建 国 之 后 出 现 的 第 一 家 专 业 的 再 保 险 公 司该 公 司 于 1999 年 再 次 改 组 ,
正 式 更 名 为 中 国 再 保 险 公 司2003 年 中 国 再 保 险 公 司 又 再 次 改 组 , 中 国 再 保 险 公 司 改
组 分 两 步 : 第 一 步 是 组 建 中 国 再 保 险 ( 集 团 ) 公 司 ; 第 二 步 是 由 新 组 建 中 国 再 保 险
( 集 团 ) 公 司 以 投 资 人 和 主 发 起 人 的 身 份 , 设 立 由 其 控 股 的 中 国 财 产 再 保 险 股 份 有 限
-1-公 司 、 中 国 人 寿 再 保 险 股 份 有 限 公 司 和 中 国 大 地 财 产 保 险 股 份 有 限 公 司 , 新 设 的 控 股
子 公 司 将 根 据 发 展 需 要 引 入 合 格 的 战 略 投 资 者 , 集
团 公 司 将 保 持 40 % 至 60 % 控 股 比 例在 2003 年 12 月 完 成 了 控 股 子 公 司 的 招 股 和 设 立 工 作 , 中 国 再 保 险 ( 集 团 ) 公 司 及 中 国
财 产 再 保 险 股 份 有 限 公 司 、 中 国 人 寿 再 保 险 股 份 有 限 公 司 正 式 在 北 京 成 立由 中 国 再 保
险 ( 集 团 ) 公 司 控 股 60% 设 立 的 直 接 保 险 公 司 即 中 国 大 地 财 产 保 险 股 份 有 限 公 司 则 在 上
海 成 立重 组 后 的 中 国 再 保 险 ( 集 团 ) 公 司 注 册 资 本 39 亿 元 , 对 这 两 家 专 业 子 公 司 分 别
控 股 45% 和 45.1% , 代 表 国 家 持 有 子 公 司 股 份 并 依 法 行 使 股 东 权 利 , 同 时 承 担 法 定 分 保
存 续 业 务 、 经 营 非 主 营 业 务 及 其 他 管 理 职 能中 国 财 产 再 保 险 股 份 有 限 公 司 和 中 国 人 寿
再 保 险 股 份 有 限 公 司 经 营 商 业 再 保 险 业 务中 国 再 保 险 ( 集 团 ) 公 司 的 设 立 , 改 变 了 财
产 、 人 寿 混 业 经 营 现 状 , 实 行 国 际 通 行另 一 方 面 , 目 前 我 国 再 保 险 业 仍 然 有 很 多 不 足 , 面 临 着 很 多 困 难 和 挑 战2003 年 以
前 我 国 只 有 中 国 再 保 险 公 司 一 家 专 业 的 再 保 险 公 司 , 2002 年 年 末 的 资 产 总 额 大 约 25 亿
美 元 ; 而 德 国 有 28 家 再 保 险 公 司 , 瑞 士 有 13 家 再 保 险 公 司 , 其 中 慕 尼 黑 再 保 险 公 司 权
益 性 资 产 为 114 亿 美 元 , 瑞 士 再 保 险 公 司 的 权 益 性 资 产 为 94.7 亿 美 元慕 尼 黑 再 保 险 公
司 长 期 居 于 世 界 再 保 险 业 榜 首 的 地 位 , 拥 有 世 界 各 地 的 客 户 5000 多 家 , 地 域 遍 布 世
界 160 多 个 国 家 和 地 区瑞 土 再 保 险 公 司 、 科 隆 再 保 险 公 司 等 也 与 其 实 力 相 当相 比 之
下 , 我 国 再 保 险 公 司 无 论 是 数 量 , 还 是 资 产 规 模 , 均 与 国 外 的 再 保 险 公 司 相 距 甚 远 ,
而分 业 经 营 模 式 , 防范 和 化 解经 营 风 险 等 方 面 则 更 加 无 法 与 它 们 相 提 并 论考 虑 到 再 保 险 市 场 作 为 保 险 市 场 的 一 个 重 要 组 成 部 分 , 其 体 系 建 设 的 完 善 与 否 直
接 关 系 着 我 国 民 族 保 险 业 的 国 际 化 进 程 , 具 有 重 大 意 义因 此 , 如 何 进 行 最 优 再 保 险 是
当 今 研 究 很 重 要 并 且 比 较 热 门 的 课 题本 文 以 保 险 公 司 在 破 产 时 刻 所 能 够 获 得 的 最 大 折
现 盈 余 价 值 作 为 最 优 决 策 的 考 察 标 准假 设 保 险 公 司 面 临 的 是 一 个 带 漂 移 的 布 朗 运 动 所
刻 画 的 索 赔 过 程 , 在 考 虑 是 否 购 买 再 保 险 时 应 注 意 两 个 影 响 因 子 , 首 先 是 购 买 再 保 险
合 同 的 固 定 成 本 加 上 按 比 例 分 摊 保 费 , 其 次 在 完 成 整 个 再 保 险 合 同 的 交 易 之 前 , 存 在
一 段 “ 真 空 期 ”不 难 想 到 的 是 , 即 使 没 有 任 何 生 效 延
迟 , 固 定 交 易 成 本 的 存 在 也 迫 使
保 险 公 司 要 推 迟 购 买 再 保 险 合 同 的 时 间 , 直 到 它 的 盈 余 过 程 增 加 到 一 定 的 程 度因 此 ,
保 险 公 司 主 要 控 制 两 个 因 素 : 1 按 多 少 份 额 的 比 例 分 摊 保 费 给 再 保 险 公 司 , 2 何 时 购
买 再 保 险 合 同保 险 公 司 在 决 定 再 保 险 比 例 后 , 需 要 花 费 一 段 时 间 来 和 再 保 险 公 司 谈 判 磋 商 以 及
处 理 与 再 保 险 合 同 有 关 的 行 政 管 理 工 作 , 之 后 再 保 险 合 同 才 正 式 生 效 。 因 此 , 考 虑 存
在 延 迟 时 间 使 得 这 个 问 题 更 加 符 合 实 际 情 况近 几 年 , 在 很 多 随 机 控 制 的 文 献 中 , 延
迟 问 题 都 被 加 以 研 究 , 下 面 提 一 些 感 兴 趣 的 文 献 : 比 如 参 考 文 献 Browne[4] , Promislow
和 Young[12] , Schmidli[13] , 以 及 Taksar 和 Markussen[15] 主 要 研 究 了 当 索 赔 服 从 带 漂 移
的 布 朗 运 动 时 的 最 小 破 产 概 率 , 而 Hojggard 和 Taksar[10] , Choulli et al.[5] 却 是 着 重 于
-2-第 一 章 引 言
公 司 最 大 化 分 红 的 能 力Peura 和 Keppo[11] 分 析 了 银 行 再 融 资 过 程 中 由 于 规 章 管 理 因 素
导 致 的 延 迟 时 间Bar-Ilan 和 Strange[2] 研 究 了 受 市 场 分 析 和 产 品 设 备 的 建 造 时 间 影 响 的
两 步 投 资 决 策Subramanian 和 Jarrow[14] 则 考 虑 了 在 非 流 动 市 场 内 的 交 易 问 题 , 因 为 存
在 交 易 时 间 的 延 迟 , 从 而 使 交 易 人 不 再 单 单 是 价 格 的 接 受 者 了 , 他 ( 她 ) 具 备 了 协 商
价 格 的 能 力Bayraktar 和 Egami[3] 提 出 了 一 个 解 决 一 维 扩 散 过 程 的 延 迟 脉 冲 控 制 问 题 的
直 接 方 法 , 并 运 用 于 与 失 业 有 关 的 劳 动 力 问 题 。 最 后 再 提 另 外 一 个 涉 及 时 间 延 迟 的 问
题 , 它 的 背 景 建 立 与 上 面 的 均 不 相 同Elsanosi et al.[8]
研 究 了 一 类 捕 猎 问 题 , 而 动 力 系
统 不 仅 依 赖 于 历 史数 据 还 涉 及 现 实 情 况另 外 不 难 看 出 , 即 使 不 考 虑 固 定 费 用 , 由 于 延 迟 时 间 存 在 的 关 系 , 让 保 险 公 司
如 何 决 策 再 保 险 问 题 变 得 更 加 复 杂 , 因 为 盈 余 过 程 有 可 能 在 延 迟 阶 段 达 到 破 产 状
态因 此 先 要 写 出 一 个 受 固 定 成 本 和 延 迟 时 间 影 响 的 价 值 函 数 , 然 后 再 依 此 解 决 一 个
最 优 停 时 和 随 机 控 制 的 组 合 问 题为 了 达 到 这 个 目 的 , 本 文 需 要 依 赖 于 Dynkin[7] 见 定
理 16.4 和 Dayanik , Karatzas[6] 命 题 4.3 和 4.4 的 工 作通 过 这 种 方 式 , 而 不 是 依 赖 于 类
变 差 不 等 式 , 可 以 避 免 证 明 一 个 复 杂 的 引 理 以 及 在
决 定 最 优 策 略 时 猜 测 解 的 形 式 . 见 参
考 文 献 [1]
本 文 将 按 照 以 下 顺 序 解 决 这 个 问 题 : 2.1 节 介 绍 Yoshida-honmachi , Sakyo-
ku , kyoto , Ann Arbor[1] 提 出 的 基 本 模 型 , 2.2 节 中 引 用 该 模 型 的 几 个 重 要 结 论 , 2.3 节
给 出 了 效 用 函 数 fx x 时 的 数 值 解在 第 三 章 中 , 将 效 用 函 数 推 广 至 二 次 效 用 函
2
数 fxa+bx+cx 并 给 出 了 一 般 性 的 结 论最 后 一 章 , 对 本 文 的 思 路 和 方法 做 了 一 个
小 结 并 展 望 了 我 国 再 保 险 发 展 前 景 和 意义-3-第 二 章 再 保 险 决 策 模 型 的 一 般 数 学 描 述
x 2.1 模 型 的 背 景 和 假 设
本 篇 论 文 所 使 用 的 模 型 是 基 于 Yoshida-honmachi ,
Sakyo-ku , kyoto , Ann Ar-
bor[1] 提 出 的它 考 虑 了 保 险 公 司 在 实 际 中 购 买 再 保 险 时 需 要 注 意 的 两 个 因 素 , 即
再 保 险 合 同 具 有 时 间 延 迟 性 以 及 购 买 再 保 险 合 同 所 要 的 谈 判 协 商 等 的 成 本 , 并 解 决 了
当 效 用 函 数 fx 是 线 性 函 数时 的 最 优 再 保 险 策 略 问 题下 面 介 绍 该 模 型 的 数 学 背 景令 ?;F;P 是 一 个 完 全 概 率 空
间 , B 是 一 个 标 准 布 朗 运 动索 赔 过 程 C 满 足 一 个 带
t
漂 移 的 随 机 分 为 方 程 :
dC ?dt? dB ; 2-1
t t
其 中和 是 正 常 数 ,是 索 赔 期 望正 如 文 献 中 经 常 提 到 的 见 文 献 [9,12,13,15,17] ,
这 个 扩 散 过 程 近 似 于 一 个 复 合 泊 松 过 程假 设 保 费 是 按 费 率 c 1 + ? 连 续 支
0
付 的 0 , 是 安 全 负 荷因 此 , 在 介 绍 再 保 险 之 前 , 设 盈 余 过 程 X 有 状 态 空
间 LR , 并 且 满 足
0
dX cdt?dC ? dt+ dB ; 2-2
t t
t
0 0
其 中 初 始 值 X x2R这 里 使 用 0 作 为 上 标 表 明 X 是 一 个 不 受 控 制 的 盈 余 过 程保 险
+
0
公 司 需 要 支 付 ??1 的 再 保 险 安 全 负 荷 给 再 保 险 公 司如 果 保 险 公 司 采 用 比 例 再 保
险 的 方 式 付 给 再 保 险 公 司 再 保 险 费 , 且 比 例 为, 那 么 保 险 公 司 单 位 时 间 t 内 的 期 望 净 保
费 变 为
?t ??E?C ?t ????t ????t; 2-3
t
在 一 般 文 献 中 见 文 献 [1,15,16,18] , 再 保 险 问 题 经 常 被 看 成 一 个 随 机 控 制 的 问 题 , 即 保
险 人 在时 刻 决 定 再 保 险 比 例 而 一 般 不 考 虑 实 施 的 延 迟 时 间 和 所 需 的 固 定 费 用然 而 ,
如 果 考 虑 保 险 人 需 要 支 付 固 定 的 费 用 , 以 及 由 于 公 司 间 协 商 所 导 致 的 再 保 险 合 同 真 正
实 施 之 前 的 一 段 “ 真 空 ” 时 间 , 则 会 更 加 符 合 现 实 情 况于 是 , 一 个 可 接 受 的 再 保 险 策
略 应 该 是 一 对 参 数 组 , 即
„ ?;?;
其 中? 0 是 一 个 F 可 测 停 时 , 表 示 保 险 公 司 决 定 购 买 再 保 险 的 时 刻 ,是 F 可 测 随 机变 量 , 表 示 在+? 时 的 再 保 险 比 例 , 但 是 必 须 在时 刻 根 据 可 获 得 的 信 息 决 定 比 例,
它 是 介 于 0 到 1 之 间 的 一 个 数 值但 是 , 正 如 前 面 所 述 , 由 于 时 间 延 迟 , 再 保 险 合 同 直
-4-第 二 章 再 保 险 决 策 模 型 的 一 般 数 学 描 述 到+? 时 刻 才 会 正 式生 效定 义 状 态 0 是 一 个 吸 收 状 态 ,是
破 产 时 刻 , 即
0,infft?0;X ?0g;
0 t
在 本 文 中 , 需 要 做 了 以 下 的 一 些 假 设 , ( a ) 在时 刻 , 保 险 公 司 选 择 适 当 比 例 后 , 和 再 保 险 公
司 磋 商 谈 判 , 共 耗 费? 0 时
间如 果 在这 期 间 , 保 险 公 司 没 有 破 产 , 则在+? 支 付 固 定
交 易 成 本 K 0 , 并 且 再 保
险 合 同 在+? 时 刻 生 效因 此 , 财 富 过 程 X 满 足 8
dX ? dt+ dB ;0?t? +?;
t 0 0 t
2-4
X X ?K;
?+? ?+?
:
dX ? dt+ dB ;? +??t;
t 1 1 t
其 中 ? , , ???? , 1??. 0 0 1 1
( b ) 当 保 险 公 司 破 产 时 , 需 要 支 付 固 定 费 用 P ?0. ( c ) 在+? 时 刻 , 如 果 X ?K , 则 保 险 公 司 在+? 时 刻 破 产?+?
下 面 引 入 一 个 与 最 优 再 保 险 策 略 „ 有 关 的 一 个 价 值 函
数 ,?
Z0
„ xs?
0
J x,E e fX ds?e P ; 2-5
s
0
x
其 中 , E [?] 表 示 在 X x 条 件 下 的 概 率 期 望另 外 , f : R! R
是 一 个 连 续 、 非 减 的 效
0
用 函 数 ,是 一 个 非 负 折 现 因 子 , 满 足?
Z
1
xs 0
E e jfX jds 1; 2-6
s
0
常 数 P 2R 表 示 破 产成 本+目 标 是 找 到 一 个 最 优 策 略 „ ,
如 果 存 在 的 话 , 使 得 相 应 的 价 值 函 数 最 大 化 ,„ „
vx,supJ xJ x; 2-7
„
称 vx 是 极 大 价 值 函 数x 2.2 价 值 函 数 的 转 化 和 计 算 引 理
下 面 利 用 参 考 文 献 [1] 中 将 问 题 2-5 和 2-7 转 化 为 最 优 停 时 问 题 和 随 机 控 制 问 题 的
-5-x 2.2 价 值 函 数 的 转 化 和 计 算 引 理
方法 整 理 成 一 个 引 理?R1
xs 0
引 理 2.1 定 义 gx E e fX ds , J x 表 示 在 决 定 了 再 保 险 比s
0
R0
„ xs?
0
例后 , 财 富 过 程 有 了 新 的 影 响 因 子, 即 J xE [ e fX ds?e P] ,
则
s?
0
"
h
' “
„ x? X? „J x?gxE 1 e E 1 e J X ?gX
f?? g f?? g? 0 0?
#
i h i? x?
0 0
+1 e f?P ?gX g +E 1 e f?P ?gX g?
f?? g f?? g
0 0 0 0
2-8
从 而
h i h i
x? x?
0
vx?gx sup supE 1 e hX ;? +E 1 e f?P ?gX g
f?? gf?? g0 0 0 ?2[0;1] ?2S
2-9
其 中 函 数 h 为
h i
z? „?
0
hz;?,E 1 e fJ X ?gX g+1 e f?P ?gX g 2-10
f?? gf?? g00 0
引 理 2.2 函 数 hx;? 可 以 进 一 步 的 化 简 分 解 , 即 hx;?I
x;??I x+I x+
1 2 3
I x , 其 中 ,
4
h i
x? „
I x;?E 1 1 e J X
1 finf X 0g fX Kg0?u? u h i
x?
I xE 1 1 e gX
2 finf X 0g fX Kgu0?uh i? I xE 1 1 e f?P ?g0g 2-11 3 finf X 0g fX ?Kg
0?u? u?
h i
x?
0
I xE 1 e f?P ?g0g
4 finf X ?0g
u
0?u?
进 一 步 若 假 设 X 的 漂 移 系 数 和 扩 散 系 数 分 别 为 v
和 , 则 有 以 下 公 式 成 立 ,
t
x
E [1 1 hX ]finf X 0g fX g 0?u? uK?
Z x+v??K Z ?x+v??K
p p
p p
2
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hx+v??w ?`wdw+e h?x+v??w ?`wdw ?1 ?1
-6-第 二 章 再 保 险 决 策 模 型 的 一 般 数 学 描 述 这 里 ` 代 表标 准 正 态 分 布 的 概 率 密 度 函 数 , h 是 任 意
的 连 续 函 数 R !R.
+
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x+v? 2 ?x+v? x?K +v? 2 ?x?K +v2vx ?2vx
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P ? tP min X ?0 N ?e N 2-12
0 0?u?t
u
t t
„ „
注 注 意 注 意 : 意 : 等 : 等 式 等 式 式 J X J X恒 K 恒 成 恒 成 立 成 立 立
x 2.3 主 要 数 值 计 算 结 果
为 了 给 出 一 个 直 观 的 理 解 , 本 节 计 算 出 Yoshida-honmachi , Sakyo-ku , kyoto , Ann
Arbor[1] 在 效 用 函 数 为 fx x 的 前 提 下 给 出 的 几 个 数 值 例 子 , 所 以 亦 可 先 跳 过 此 节 ,
最 后 再 来 对 比 一 下 结 果图 2-1 显 示 了 一 个 参 数 为 ?;; ;?;P;?;K 0:2;0:3;0:1;0:25;20;0:1;0:03 以
及 0 的 数 值 计 算 例 子该 图 揭 示 了 直 线 W y;? 的 斜 率 ?? 和 变 量之 间 的 关
1
系 , 并 计 算 出 当0:815 时 相 应 的 斜 率,?? 达 到 最 大 2.977. 因 此 , 最 优 再 保 险 比例 应 为0:815图 2-2 显 示 了 在 再 保 险 比 例 为 0:815 的 情 况 下 , 最 小 强 凸 函 数 Wy;? 和 函数 Hy;? 的 关 系正 斜 率 直 线 W y;? 和 水 平 直 线 W y;? 与 曲 线 Hy;? 分 别 相 切
1 2
于 Fb , Fd 两 点 , 其 中 b 0:201 , d 0:448 , 对 应 着 Fb 1:833 , Fd ?
3:859. 这 意 味 着 , 保 险 公 司 购 买 再 保 险 的 最 优 时 间 段 是 它 的 资 金 x 处 于 区 间 [b ;d ] 的 时
候图 2-3 至 图 2-6 则 显 示 了 参 数 为 ?;; ;?;P;?;K
0:2;0:3;0:1;0:25;20;0:1;0:03 并且 考 虑 延 迟 时 间 为 0:5 下 的 情 况于 是 解 相 应 的 变 为 了 ? ;? ;b ;d ?
0:770;0:823;0:416;0:565 , 其 中, ?? . 将 图 2-3 , 图 2-4 和 图 2-1 , 图 2-2 对 比 可
知 , b b , d d 以 及. 换 句 话 说 , 间 隔 时 间的 存 在 导 致 购 买 再 保 险 的 最
优 时 间 段 向 后 推 迟 了 , 并 且 破 产 的 概 率 也 相 应 增 加 了图 2-5 显 示 了 在 0 和 0 的 两 种 情 况 下 , 相 应 的 价 值 函 数 vx 和 vDx 关 系 图图 2-6 则 说 明 了 随 着 初 始 资 金 x 的 增 加 , 这 两 个 价 值 函 数 的 差 逐 渐 趋 向 于 0. 直 观 上 可 以
解 释 为 , 初 始 资 金 x 越 大 , 保 险 公 司 在 间 隔 时 间内 破 产 的 概 率 就 越 小-7-x 2.3 主 要 数 值 计 算 结 果
图 图 图 2-1 ?? 和的 关 系 图
3
βξ
2.5
2
1.5
1
0.5
ξ
0
0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
图 图 图 2-2 黑 色 正 斜 率 的 直 线 是 W y;? , 红 色 曲 线 是
Hy;? , 蓝 色 水 平 线 则 是 W y;? 1 2
?16
Wy,Hy17
?18
?19
?20
?21
?22
y23
1 2 3 4 5 6 7 8
-8-第 二 章 再 保 险 决 策 模 型 的 一 般 数 学 描 述图 图 图 2-3?
和的 关 系 图
Δ
β
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
ξ
0.2
0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
图 图 图 2-4 黑 色 正 斜 率 的 直 线 是 W y;? , 红 色 曲 线 是
Hy;? , 蓝 色 水 平 线 则 是 W y;? 1 2
?17
Hy,Wy18
?19
?20
?21
?22
?23
y24
1 2 3 4 5 6 7 8
-9-x 2.3 主 要 数 值 计 算 结 果 图 图 图 2-5 价 值 函 数 vx 蓝 色 实 线 和 vDx 红 色 虚 线
5
VDx
0
?5
?10
?15
x20
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 图 图 图 2-6 价 值 函 数 的 差 vx-vDx 随 着 变 量 x 增 加 而 变
化
1.5
vx?VDx
1
0.5
x
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 -10-第 三 章 计 算 模 型 的 解 并 分 析 其 相 关 性 质 第 三 章 计 算 模 型 的 解 并 分 析 其 相 关 性 质 x 3.1 f 是 二 次 效 用 函 数时 h 的 显 式 表 达 式 在 上 一 章 中 , 根 据 上 章 引 理 2.1 知 道 , 如 果 能 解 出 2-9
和 2-10 式 , 那 么 也 就 等 价
于 解 决 了 2-5 和 2-7 中 所 提 出 的 问 题 , 并 且 通 过 引 理
2.2 给 出 了 一 个 计 算 函 数 hx;? 的
2
一 般 方 法本 节 中 , 为 了 显 示 更 具 体 的 结 果 , 定 义 效 用 函 数 为 fx a+bx+cx ,
2
其 中 系 数 满 足 a + bx + cx0 , x ?b2c , c0. 与 Yoshida-honmachi ,
Sakyo-
ku , kyoto , Ann Arbor[1] 使 用 线 性效 用 函 数 fxx 相 比 , 本 文 所 考 虑 的 问 题 更 具 有 一
般 性首 先 需 要 解 出 hx;? 的 显 式 表 达 式对 于 任 意一 个 ?2[0;1] , 考 虑?
Z0
xs? x?
0 0
J xE e fX ds?e P g x;??P +g 0;?E [e ]; 3-1s 1 1?
0
其 中 g :R ?[0;1]!R 定 义 为
1 +
?Z1
xs
g x;?,E e fX ds ; 3-2
1 s0
事实 上 ,
Z Z Z1 1
0
xs xss
E e fX dsE e fX ds? e fX ds
s s s?
0 00
Z
1
Xx?s
0
0
g x;??E [e E e fX dsjF ]
1 s? 00
Z
1
x? 0s
0
g x;??E [e ][E e fX ds]
1 s?
0
x?
0
g x;??E [e ]g 0;?
1 1函 数 g x;? 代 表 如 果 保 险 公 司 的 初 始 资 金 为 x , 并 以
再 保 险 比 例进 行 再 保 险 后 所 得 到
1
x?
0
的 总 的 期 望 效 用 。 根 据 dX dt+ dB , 可 知 最 后 一 个 表 达
式 E [e ] 是 下 面 微 分
t 1 1 t方 程 的 解 见 Savas Dayanik , Ioannis Karatzasc[6]p9-p10 ,
1
2 00 0
Avx, v x+? vx??vx0;1 1
2
-11-x 3.1 f 是 二 次 效 用 函 数时 h 的 显 式 表 达 式 于 是 可 解 得 ,
x?x
0
E [e ]Ae ; 3-3其 中
p
2 2? +2 1
1 1
?? 0; 3-4
2
1
再 利 用 边 值 条 件 可 知 A1. 结 合 以 上 结 果 可 知 ,
„ ??x
J xg x;??P +g 0;?e ; 3-5 1 12
再 根 据 假 定 , fxa+bx+cx , dX ? dt+ dB 则 由 Fubini 定 理 可
知 ,
t 1 1 t
Z
1
x 2s
g x;?E a+bX +cX e ds 1 ss
0
Z?
1
2 2s
a+bx+s? +cs +s? +x e ds 1 1
1
0
Z
1
2 2 2 2s a+bx+b? s+cs +cx +2c? xs+c? s e ds
1 1
1 1
0
2 2 2
a+bx+cx b? +c +2c? x 2c?
1 1
1 1
+ +
2 3
2
A+Bx+Cx 其 中 ,
8
2 2
a b? +c 2c?
1
1 1
A + +
2 3
b 2c?
1
3-6
B +
2
?
c
:
C 另 外 可 以 通 过 令0 得到 ,
2 2 2
a+bx+cx b? +c +2c? x 2c?
0 0
0
gx + + ; 3-7 2 3
再 令 x0 得到 ,
2 2
a b? +c 2c? 1
1 1
g 0;? + + ; 3-8
1
2 3
„
将 g x;? 和 g 0;? 的 表 达 式 带 入 3-5 中 , 可 算 得 J x 表 达 式
1 1-12-第 三 章 计 算 模 型 的 解 并 分 析 其 相 关 性 质
现 在 可 以 利 用 引 理 2.2 来 计 算 hx;? , 首 先 计 算 I x;? 式 ,
1
e I x;?;!
1
Z
1
1 x?z+ 2 ?x?z+
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J z?K ` ?e ` dz K x+?K
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