厄米_高斯光束通过硬边光阑光学系统变换的近解析传输公式

厄米_高斯光束通过硬边光阑光学系统变换的近解析传输公式 () 文章编号 :100025862 20060520418205 厄米2高斯光束通过硬边光阑光学 系统变换的近解析传输公式 1 1 2涂海华, 李忠秀, 戴勇行 ()1 . 江西农业大学 理学院物理系 ,江西 南昌 330045 ;2 . 南昌大学 抚州医学分院 ,江西 抚州 344000 ( ) 摘要 :将硬边光阑门数函展开成复高斯函数 ,利用高斯光阑的 ABCD 矩阵形式 ,应用于厄米2高斯 H2G光 束 ,推导出了 H2G 光 束 通 过 内 含 硬 边 光 阑 的 近 轴 ABCD 光 学 系 统 的 场 分 布 的 近 解 析 传 输 公 式 , 并 与 Collins 公式计算结果比较 ,说明所得的解析结果的应用和优点. ( ) 关键词 :复高斯函数 ;厄米2高斯 H2G光束 ;硬边光阑 ;高斯光阑 ;近轴 ABCD 光学系统 中图分类号 :O 435. 1文献标识码 :A 从第一台激光器发明以来 ,激光通过复杂光学系统的传输与变换问题一直是科学工作者感兴趣的研究 1 课题. 一般情况下 ,激光通过含硬边光阑的光学系统的传输和变换研究 ,多采用对 Collins 公式进行数值计 算 . 然而 ,对含多光阑的光学系统中的激光传输 ,数值积分是非常耗费机时的 . 因此 ,寻找快速 ,准确的近似 2 方法就成了广大物理爱好者的追求 . 由 J . J . Wen 和 M. A. Breazeale 提出的将门函数展开成复高斯函数形式的方法 ,被应用于光阑门函数的展开 ,达到快速 ,节约机时而又能保证一定的计算精度 . 采用这种方法 ,对一 () 些光束 平顶高斯光束 ,贝塞尔2高斯光束 ,拉盖尔2高斯光束采用积分运算的处理方法 ,获得了比较复杂的 3 25 6 解析公式. 本文利用高斯光阑的 ABCD 矩阵形式 ,来描述复高斯函数 ,将复杂光学系统的衍射积分与高 7 斯光阑 ABCD 矩阵联系起来 ,解决了 H2G 光束 经内含硬边光阑的复杂 ABCD 光学系统传输问题 ,得到了简 洁的近解析的传输公式 ,并且阐明其物理意义 . 通过数值计算说明了所得解析结果的优点 ,从而为实际应用 带来了方便 . 这种将复杂光学系统的衍射积分与高斯光阑 ABCD 矩阵联系起来的方法 ,有进一步推广的意 义 . 1 理论模型 [7 ] ( ) 在笛 卡 尔 坐 标 系 中 , 束 腰 位 臵 位 于 z = 0 处 的 二 维 H2G 光 束 的 场 分 布 为E x, 0= 0 22( ) πλ H2 x/ wexp [ - i kx/ 2 q , 其中 q = iw/ = i z , H 为 m 阶厄米多项式 , w 为对应基模高斯光束的束 m 000 0 0 0 0 m 0 λ腰宽度 , z为瑞利长度 ,为波长. 如图 1 所示 , 对 H2G光束 , 设在通过 z = 0 处含有半宽为 a 的硬边光阑的近 0 轴 ABCD 光学系统 . ( ) 由 Collins 公式 , 在 z = z处 经光阑场分布为1 + a π i i2 2 ( ) ( ) E x, 0exp [ - Ax- 2 x x + D x]d x ,( ) ( )Ex, z= 1 0 1 1 1 10 1 0 1 1 0 λ?λB - a B 11 () 1式中已略去了一个不重要的随传输距离 z 变化的相位因子. () () 在实际应用中 , 由于 1是没有解析式或仅有形式解. 因此 , 需要直接对 1式作数值积分 , 这是相当费 机时的. 本文将硬边光阑的门函数写成矩形函数形式 收稿日期 :2006209210 基金项目 :江西农业大学青年科学基金资助 . () 作者简介 :涂海华 19662男 ,江西抚州人 ,硕士 ,讲师 ,主要从事激光应用技术研究 . 图 1 硬边光阑 ABCD 光学系统 1 | x | ? a , ( ) )(T x= 2 | x | > a . 0 采用文献 [ 2 ] 的方法 , 把矩形函数展开为有限数目的复高斯函数的叠加 N 2 β xn0 ( ) αT x= exp [ -( ), 3 0n2 6 a n = 1 ( ) αβ3式中 N 为展开式项数 ,和是复常数 , 二者可以通过优化计算得到 , 当 N 为有限项时 , 由展开式计算矩 n n αβ 形函数存在一定的误差 . 文献 [ 2 ] 中给出了一组 N = 10 时 ,和的值. 同时 , 本文采用文献 [ 8 ] 给出的一组n n N = 16 的数据作为比较 , 说明这组数据的提出的误差值更小 . () ( ) 将 2代入 1得 + a π i i2 2( ) ( ) ( ) () ( ) 4 Ex, z=E x, 0T xexp [ - Ax- 2 x x + D x]d x . 0 1 0 1 1 0 0 01 1 1 1λ?λB B - a 11 ( ) ( ) 将 3代入 4整理得 N 2 + ? β xnπ i i22 ) ( )( ) α ) ( ) ( ( x]d x . 5 Ex, z= ? E x, 0exp - ?exp [ - Ax- 2 x x + D0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1n2 6 λλ?B B a- ? 11n = 1 β n2() ( ) β β β 注意到 5式中的复高斯函数 exp - x, 令 = + i, 并将复高斯函数写成 0 n nR nI 2 a2 2 2 2 βββixxi kxxn nI0 nR 0 0 0 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) exp - x= exp - exp - = exp exp - ,()6 0 2 2 2 2 2 f σ aaa1 , n1 , n 22 (β) σβ其中 f = - k a/ 2,= / a. 1 , n nl 1 , n nR ( ) ( ) σ 从 6式形式可知 , 相当于以 E x, 0分布的初始场经过焦距为 f 的聚集光学系统后 , 再经半宽 0 1 , n 1 , n 1 0 的高斯光阑 , 然后通过 ABCD 系统后的传输公式 , 是具有明确的物理意义 , 其矩阵的表达式为. βλ in1 - 2π a当 H2G 光束通过 z = 0 处的硬边光阑时 , 光学系统的 ABCD 变换矩阵为 βλ in 1 0 A- B B 1 11 2AB AB π 1 , n 1 , n1 1a )( ?7 = βλ= . in βλi-1 CD CD n111 , n1 , n2πa C - D D 1 1 1 2π a AB 1 , n1 , n () ( ) 将 7应用于 5后 , 由 Collins 公式可得 , 光束通过光学系统的积分公式为 CD1 , n 1 , n N + ? π i i 2 2( ) ( ) α( ) E x, 0exp [ - Ax- 2 x x + D x]d x .( )Ex, z= 8 0 1 0 1 1 0 1 1 10 1 , nn 6 ? λλB B - ? 11n = 1 [7 ]( ) 对 8式积分得 N 2 x i k 1 2 ( ) α( ) - x) (Ex, z=, MHexp 9 11 1 1n1 , n m 6 2 q w, n 11 , n n = 1 m/ 2 - 1/ 2)( ) B / q/ A+ B / q ( A-其中 M= A+ B / q . 11 , n 11 , n 1 , n 1 , n 1000 复参数 q遵 从 ABCD 定 律 1 ( ) ( ) q= Aq+ B / Cq+ D, 束 宽 w= wA+ B / q× 1 , n 11 , n11 , n 01 , n 10 1 , n 00 () B / q. 上式说明 H2G 光束经过硬边光阑的展开式后 复合的高斯光阑,其光束的传输仍保持 H2GA- 11 , n 0 () 的形式不变 . 9式就是 H2G 光束通过一个硬边光阑的光学系统后的近解析公式. 束宽写成上式的形式是因 απ为积分过程中要求复角 | arg| < / 4 , 确保在复数运算中复角区域不改变 . 在运用计算机计算时 , 由于积分 改为求和的形式 , 大大地节约机时. 当 m = 0 时 , 即对应于基模高斯光束 , 与文献 [ 8 ] 的结果相一致 N 2 πxi1 - 1/ 2 ( ) α( ) E x, z= A+ B / qexp - . 1 1n 1 , n 106 λ q1 , nn = 1 以上单光阑问题的分析很容易推广至多光阑的情形 , 例如 m 阶厄米高斯光束经过图 1 所示第二个半宽 度为 a的光阑光学系统后在 z = z平面的场分布函数为2 2 N N 2 π 2 x xi2 2 ) α( ) ( E x, z=aMMHexp - , 2 2n1 , n l2 , l m 6 6 w2 q2 , l 2 , ln = 1 l = 1 m/ 2 A -B / q 2 2 , l 1 , n- 1/ 2 2) ( βλπ) (其中, 矩 阵 元 A = + B / q MA= A- iB / a, C = C - 21 , n2 2 , l 2 2 , l 2 , l 2 , l2 l2)A+ B / q2 , l 21 , n 2( ) ( ) βλ(π) , 束宽+ D 复参数 qq= A q + B / C+ q , N , iD/ a, l = 1 , 2 , 2 2 , l 2 , l 22 , l 2l21 , n 1 , n ( ))( ) ( ) ( B / qA+ B / qwz.wz = A- 2 , l 222 , l 21 , n 12 , l 1 , n1 , n 当 m 阶厄米高斯光束经过图 1 所示第 J 个半宽度为 a的光阑光学系统后 z = z在平面的场分布函数为 J J N N N 2 π ix 2 x J J ) ( ααα( ) ( )E x, z=- MHexp 10 , MMJ J n1 , n l2 , lJ J , k m 6 6 6 λq wJ , k J , kn = 1 l = 1 k = 1 m/ 2- 1/ 2 ( ) ) ( -/ A+ B/ q A( B/ q) 其 中B/ qJ , k J ,复 参 数 q =MAJ = + J , k J J - 1 , k - 1 J , k J , kJ - 1 , k - 1J - 1 , k - 1J , k ()() ( ) - B/ qA+ B/ qwzA() ( ) ( ) , Aq+ B/ Cq+ D,束宽 wZ= J , k J J - 1, k - 1J , k J J - 1, k - 1J - 1 , k - 1 J - 1 J , k() J J , k() J J , k J J - 1, k - 1 J - 1, k - 1 2 2 ( ) , N , 10式为 m 阶厄米 2 高斯光 βλπ) βλ(π) (矩阵元 A= A- iB/ a, C = C - iD / a, l = 1 , 2 , J , k J kJ J J , k J k J J 束经过 J 个光阑光学系统后的解析传输公式 , 这样把多重积分改成求和的形式 , 与直接进行数值积分相比 , () 计算机对 10式运算时所用 CPU 时间大大地减少. 2 计算结果及分析 () ( ) 将式 1和 9用于图 1 所示内含硬边光阑的光学系统 , 透镜 L 的焦距分别为 f , 光阑 GA位于透镜 L 1 1 1 1的位臵 , 并在入射参考 R P上 . 透镜 L 距输出参考面 R P为 l, 进行数值计算 , 得出 H2G 光束经系统传输后 1 1 2 1 - 3 ( ) λ 的相对光强分布 如图 2 所示计算所用参数为 : f = 500 mm , l= 500 mm ,= 1. 06 ×10 mm , a = 1 mm , 1 1 ( ) w= 1 mm ; 计算结果与直接对 1式作数值积分所得结果比较 , 误差较小 . 图 3 是 H2G 光束在光学系统传输 0 2( λ) ) (时 , 轴上的光强分布随广义菲涅尔距离 Z = B / AwZ 的变化. 由图 3 可知 : 1实线与虚线存在差异 , 当 Z 0 ) ( 较小时 , 差异较大 , 而当 Z 较大时 , 差异较小 , 并且随着的增加 , 差异越来越小 ; 2虚线和实线的差异小到可 ( ) (δ )δ 忽略的范围 , 即为解析公式 9, 的适用范围 . 由图可知 , 当截断参数 = a/ w= 0. 6 时 , 该范围为 Z > 0.0 δ 14 . 当截断参数= 1 时 , 该范围为 Z > 0 . 13 . 这个结果可以从物理上得到解释 , 因为误差是由有限个复高斯 () 函数之和的拟合曲线与实际光阑函数之间的差异造成的 . 3分别利用文献 [ 8 ] 数组和文献 [ 2 ] 数组的计算 结果与 Collins 公式计算结果比较 , 文献 [ 8 ] 数组结果在 Z > 0. 17 以后拟合得比文献 [ 2 ] 数组要好 , 并且文献[ 8 ] 数组结果对截断参数的变化不明显 . 这说明按文献 [ 8 ] 数组展开的复高斯函数在一定的条件下比文献 [ 2 ] 数组要好 . 原因是用文献 [ 8 ] 数组表示门函数所带来的误差的方均值最小 , 图形更平坦 , 更接近于光阑门 函数. 数值计算表明 , 用文献 [ 8 ] 数组比用文献 [ 2 ] 数组计算的结果误差更小 , 与采用直接数值积分计算结果 ( ) 相比可大大地缩短机时 . 图 4 H2G光束 m = 1经二个透镜光阑的 ABCD 光学系统后 , 传输至出射参考面 R P2 ( )( ) ( ) 图 2 H2G 光速 m = 5通过一个光阑时 PR2 面上光强度 I x , z分布 a ( ) 图及二组数据计算的相对误差 b图 . 实线对应文献 8 数组计算结果 ,圆点 或虚线对应文献 2 数组计算结果 . ( ) 图 3 H2G光速 m = 2通过光阑时 ,轴上光强随广义菲涅尔距离变化的图形. () δ ( ) δ a对应 = 1 , b对应 = 2 . 实线对应文献8 数组计算结果. ( ) 图 4 H2G 光速 m = 1经二个透镜光阑的 ABCD 光学系统后 ,传输至出射 参考面 RP上的光强分布 .2 () ( ) a对应 a= 1 , a= 0 . 2 , b对应 a= 0 . 5 , a= 0. 25 . 1 2 1 2 3 小结 本文将门函数展开成复高斯函数形式后 ,利用高斯光阑的 ABCD 矩阵形式 ,将复杂光学系统的衍射积分 ( ) 与高斯光阑的 ABCD 矩阵联系起来 ,解决了厄米2高斯 H2G光束经内含硬边光阑的复杂 ABCD 光学系统传 输问题 ,得到了近解析的传输公式 . 使传输公式更为简洁 ,物理意义更为明确. 数值计算说明了所得解析结 果的优点 ,从而为实际应用带来了方便. 这种将复杂光学系统的衍射积分与高斯光阑 ABCD 矩阵联系起来的 方法 ,可以应用于多光阑光学系统 ,希望有兴趣者进一步推导 . 参考文献 : 1 Collins S A. JOSAJ . 1970 ,60 :1 168 21 177. 2 Wen J J ,Breazeale M A. A diffraction beam field expressed as the superposition of Gaussian BeamsJ . J Acoust Soc Am ,1988 ,83 :1 752 2 1 756. 3 Wang X Q ,Lu B D. ACTA Phys ,SinJ . 2001 ,50 :682 2685. () 4 罗时荣 ,吕百达 ,张彬 . 平顶高斯光束的传输特性 J . 光学学报 ,2000 9:1 21321 217. () 5 卿与三 ,吕百达 . 拉盖尔2高斯光束通过有硬边光阑的传输 J . 激光技术 ,2002 6:1742176. 6 吕百达 . 激光光学 M . 四川大学出版社 . 1992. 21225 ,68271. 7 吕百达 . 强激光的传输与控制 M . 北京 :国防工业出版社 ,1999. 83287. () 涂海华 ,陶向阳 . 硬边光阑的复高斯函数展开及在高斯光束中的应用 J . 江西师范大学学报 :自然科学版 ,2004 1:52256.8 Close2Form Equation f or the Transf ormation of Hermit2 Ga ussian Bea ms through a Optical System with Hard2Edged Apertures 1 1 2TU Hai2hua, L I Zhong2xiu, DAI Yong2xing (1 . College of Science , Jiangxi Agriclutural University , Nanchang 330045 , China ; )2 . Fuzhou medical branch of nanchang University ,Fuzhou 344000 ,China Abstract :By expanding the rectangular function into a finite sum of complex Gaussian functions , the propagation of Her2 mit2Gaussian beams through an apertured optical ABCD system is studied in the rectangular coordinates system , and ap2 proximate analytical propagation formulas of Hermit2Gaussian beams are derived and the signification of physics of ex2 panded form is illuminated. As an application example , numerical calculations have been performed for the Hermit2Gaus2 sian beams by an apertured lens. The calculation was made with two sets of data and their results were compared to those of the diffracted integral . The result shows that our method can improve the calculation efficiency and the data updates is better than reference data . Key words :complex Gaussian function ; Hermit2Gaussian beams ; hard2edge aperture ; Gaussian aperture ;proximal ABCD optical system () 责任编辑 :冉小晓 ()上接第 417 页 Study on First Principles of Effect in the Ga s Molecules on the Transport Properties of a Carbon Wire ZHOU Yan2hong , CHEN Xiao2chun , WAN Hai2qing ( )College of Physics and Communication & Electronic ,Jiangxi Normal University , 330027 ,China Abstract : We investigate the effect of adulterant on the transport properties of a seven2atom carbon wire coupled to two ( ) Al 100electrodes based on a recently developed abinitio nonequilibrium Green function formalism. Specially , we ( ) choose seven types of usual gas molecules H、O、CO、HCl 、NO 、NO、SOas examples. Studies show that the interpo2 2 2 2 2 2 sition of gas molecules have great impact on the transport properties of the system not only altering the charge distribution on the carbon wire but also reducing the charge transfer from the electrode to the central region. Especially , the equilib2 rium conductance of the system is 1 . 01 Gwhen we place gas molecules Hon the carbon wire . , while it decreases to 0 . 0 2 1 Gfor gas SO. The calculated current2voltage curves show strong different behavior with the gas molecules NO、HCl 0 2 () and NO. but for Oand CO,no negative differential resistance NDRis found. 2 2 2 Key words :equilibrium conductance ;transmission spectrum ;NDR ;charge transfer () 责任编辑 :冉小晓