《认识小数》说课

中学数学杂志 (高中) 2004年第 l期 7 证 明不等式 例 9 设 n、b、C为AABC的三边长，求 证： + >南 ． 解 构造函数 厂( ) (z>0)． 因为 )： =l一 ， 所以f(x)在(0，+oo)上递增． 又因为a、b、C是 AABC的三边长，所以 a + b> C> 0． 所以厂(n+6)>厂(c)，即 > ， 所‘以 + > + a b 1= a b 1> C南1． + + + + + ’ 8 求函数解析式中参数的范围 例 10 已 知 函 数 f(x) = ，z∈E1，+o。)．若对任意 z∈ [1，+o。)，f(z)>0恒成立，试求实数a的 取值范围． 解 法一：在区间[1，+o。)上，f(x)= ￡ I，’ ‘ 也 >0恒成立 ∞ +2z+a>0恒成立． 设 =．r +2x+n，z∈ [1，+。。)，贝0 =z +2x+a=(z+1) +a一1递增． 所以当z=1时， =3+a． 于是当且仅当 =3+a>0时，厂(z) >0恒成立．所以 a>一3． 解 法二：厂(z)：z+a ～ 十2，z∈[1， + o。)． 当 a≥ 0时，函数 f(x)的值恒为正； 当 a<0时，函数 厂(z)递增，故当z= 1时，f(x) = 3+a．于是，当且 仅 当 厂(z) i =3+a>0时，f(x)>0恒成立， 故 a>一3． 平面向量与解析几何交汇综合分类导析 湖北省襄樊市第一中学 441000 王 勇 (特级教师) 平面向量具有代数与几何形式的双重身份，它 融数、形于一体，已成为中学数学知识的一个重要交 汇点．平面向量与解析几何的交汇 自然贴切，一脉相 承，是新课程命题的必然趋势．下面精选出十道 典型例题并予以分类导析，旨在探索题型规律，揭示 解题方法． 1 平面向量与直线的交汇 例 1 平面直角坐标系中，o为坐标原点，已知 两点 A(3，1)，B(一l，3)，若点 C满足 =。 + ，其中。、卢∈R，且。+卢=1，则点 C的轨迹方程 为( )． A ．3x+2y一 11= 0 B．( 一1) +( 一2) =5 ( ．2．r— Y = 0 D ． +2y一5= 0 导析 设 C的坐标为( ， )， =( ， )． 又 ：。O—A+ =。(3 ，1)+(1一。)(一l， 3) = (4a—l，3—2a)， 所以{ 4a 消去。得 +2y-5：0，因 l V=j—Z口 ． 此应选 D． 例 2 O是平面上一定点，A、B、C是平面上不 共线的三点，动点P满足 =’oi+A( + TAA C )，A∈ E0，+ o。)，则 P 的轨 迹一定通 过 ／XA／~ 的( )． A．内心 B．外心 维普资讯 http://www.cqvip.com 中学数学杂志 (高中) 2004年第 1期 29 ． 亘 L、 D ． 垂心 导析 因 I ， 和 A C 分别是与向量 、 方向相同的单位向量． 根据向量加法的平行四边形(此时是菱形)法则，得 向量 + 必在角 A的平分线上，如图 l 所示． 设 + = ，因为 ∈[1，+ 所以 ( + )与 共线且同向． 设 ( + ) = AM ． 贝0 ： j + 0 ： ，所以点 P与点M重合． 由此可知，点 P恒在角 A的平分线上 ，所以点 P的 轨迹一定通过 △ABC的内心 2 平面向量与圆的交汇 图 1 因此应选 A 例 3 已知 两点 M(一1，0)，N(1，0)，且点 P使 ．商 ，葡 ．贰 ，蔺 ． 成公差小于零的等差 数列． (1)点 P的轨迹是什么曲线? (2)若点P的坐标为( 。j，。)，记0厕 与贰的 夹角 ，求 tan0． 导析 (1)设 P( ，j，)，由 M(一1，0)，N(1，0)， 得 = 一 = (一1一 ，一j，)， ． = 一 了 =(1一 ，一 )， ： 一 葡 ：(2，0)． 所以 ． =2(1+．r)，葡 ．贰 ： + 一 1，了 ．了 ：2(1一 )． 由题痢 ． ，葡 ．贰 ， ． 是公差小 于零的等差数列，所以 j +j， =212(1+ )+2(1一 )]， l2(1一 )一2(1+ )<0 ． 即 所以点 P的轨迹是以原点为圆心， 为半径的 右半圆． (2)点P的坐标为(．z．0j，0)，一PM ．一PN： 02+j，； 一 1， I葡 I·I—PN I： ． (J— 0) +Ly = v厂 ：2v厂 ， 所以 cos - 因为 0< 。≤ ， 所以吉6 >0)，设点 Q 的坐标为( 。，Yo)， 贝Ⅱi =( 。一c， 。)， = 一 1 · l------1~S OF }·y0 = 一 。 = 丢c，所 △￡ =一 ‘l I． =寺 0= f，所 以 砉． 又因为 ．商 =1，所以(c，0)．( 一c，-v。) 所 以 。 l f o0 0： c ． 记 c)：r+÷，则厂(c)=l一 ： ， 当C≥2时，厂(C)>0，所以f(c)在[2，+oo)上递 增．当 ：2时，J }最小，此时，Q 点的坐标为 ( ， 3) ． 由此可得 J筹+杀 【n 一6 =4． n = 10．b = 6． 所以椭圆方程为 + ：1． 例 6 已知点 F(1，0)，直线 l： =2，设动点 P 到直线z的距离为d，已知I PF I： d，且吾≤d ≤ 3 ． (1)求动点 P的轨迹方程 (2)若芹 · = 1，求向 与 的夹角； (3)如图 3所示，若 点G满廊 ：2壳 ，点 M满足 =3本 ，且 线段 MG的垂直平分线 经过点 P，求 ／',PGF的 面积 ． 导 析 (1) 设 P( ， )，因为 ： ，^， ， ． 一 ． C 2 0， ．《Yl+j，2<0， 【Y3·Y2>0． 可得 志 > 1 ，由题意可 < 点< 1， 所以 l< i1< ，所以 一1<一({一吉) 冠 二 +丢<1， 2√2． 故所求的 。的取 值范围为(2，2+2√2)． 例 8 已知双曲线 c： 一 =l(。>0， b> 0)，B是右顶点，．F l ． 一 ’ 图 4 维普资讯 http://www.cqvip.com 中学数学杂志 (高中) 2004年第 1期 是右焦点，点A在 轴正半轴上，且满足 I—OA’i、} 魂 I、I I成等比数列，过F作双曲线( 在第一、 三象限的渐近线的垂线 ，，垂足为 P．如图 4所示． (1)求证： ． ： ．一FP； (2)若l与双曲线C的左、右两支分别相交于点 D、E，求双曲线 C的离心率P的取值范围． 导析 (1)法一：l： =一 ( —c)， l =一詈( —c)， 由 I b 【 ’ 解得 P(a ， )． 因为 l I、I o-67i I、I I成等比数列， 所以A( ，0)． 所以 =(0,--譬)， =(譬，譬)，讳=(一 一 b2 ，一 ab) ． f C 所以 ． ：～ ，雨 ．讳 一 a丁2b2 ． 所以 ． ：一PA ．一FP ． 法二：同上得P(譬， )，A( 2，0)， 所以PA上 轴，如 图 5所示． 所以 ． 一 ． - ff ：一PA．碲 ：0． 所 以 ． ： 一PA．讳 ． (2) 由 l V 一 -- ,4~4F ＼＼ j =一詈( ’f)， 【b 322一Ⅱ y2 ~Z2b ． 得 b ( —f) =n b ． (6 一寺) + 2(／一 一( +“ 6 )=0， 一 ( ÷ +~／2b ) 因为 J· 2=一 堡一——_广一 <0 ， D 一 所以 b >Ⅱ ，即 b > tA2 一Ⅱ2>Ⅱ ． 所以 e2>2，即 P>√ ． 5 平面向量与抛物线的交汇 例 9 如图 6所示，点 F(“，0)(6l>0)，点 P在 y轴上运动，M在 轴上，N为动点，且葡 ．芹 ： 0，一PN 十一PM ． (1)求点 N的轨迹 C的方程； (2)过 点 F(“，0) 的直线 z(不与 轴 垂 直)与曲线 C交于A、B 两点，设点 K(一“，0)， 商 与商 的夹角为 ，求 证：0<0<要． J P ＼ 7 M 0 图 6 导析 (1)设 N(31"，Y)，M( 0，0)，P(O，y0)， 贝0 i=( 。，一 。)， =(“，一 。)， 芦 = ( ，Y—Y0)． 由葡 ．茚 ：0，得 。+yo=0，① 由贰 +葡 ，得( + 一2 。) ， 即 +X0 。 以 ’ 代人 ① 得，Y =4ax即为所求． (2)设 l的方程为y=k( —a)， 由 消 一 = 0． 设 A( l，Y1)，B( 2，Y2)，贝U Yl 3，2=一4n ， 了 =( l+Ⅱ， 1)，商 =( 2，+Ⅱ， 2)， ． 商 =( 1+n)( 2+n)+ l 2： I 2 十Ⅱ(zl+ 2)+Ⅱ +Y1Y2 = 器 +“‘( +卷)+n 一4n 十“‘L 十石 十 一4 。 = {( + ；)一2Ⅱ >1(2 f f)一2Ⅱ2 = ×4Ⅱ 一2Ⅱ = 0， 所以 oos = >0， 所以0<0<要． 例 l0 已知点 H(一3，0)，点 P在y轴上，点 Q 在 轴的正半轴上，点Mg：直线PQ上，且满足帝 ． 一 PM’ ： 0 ，葡 =一要硝 ． (1)当点 P在y轴上移动时，求点 M 的轨迹C； 维普资讯 http://www.cqvip.com 中学数学杂志 (高中) 2004年第 l期 33 (2)过点 丁(一l，0)作直线 ￡与轨迹C交于A、B 两点，若在 轴上存在一点E( 。，0)，使得 ABE为 等边三角形，求 。的值． 导析 (1)设点 M 的坐标为( )，由 =一 萼丽 ，得P(O，一号)，Q(ff，0)由亩·葡 =0得 (3，一罟)·( ，导j，)：0，解得y2=4x． 由点 Q在 轴的正半轴上 ，得 >0， 所以，动点 M 的轨迹 C是 以(0，0)为顶点，以 (1，0)为焦点的抛物线，除去原点． (2)设直线 z： =k(x+1)，其中 k≠0，代入Y = 4x，得 k +2(k 一2)x+k ：0，① 设 A(xl，Y1)，B(z2Y2)，则 l， 2是方程① 的 两个实根 ， 所以．7C + ：一 ， ．．7C ：l， 所以 l+ 2=一 ， 1· 2：l， 所以，线段AB的中点坐标为( ，詈)， 线段AB的垂直平分线方程为： 一专==一 去( 一 )． 令 0，解得 。 i． 所以点 E的坐标为( +1，0)． 因为△ABE为正三角形，所以点E(毒+l，0) 到直线 AB的距离等于 I AB I， 而 l AB I： 『二 = T4~／i-k2 · ， 所以 = ，解得忌：± '所以 。=竽． 离散型随机变量分布列的习题集萃 浙江义乌稠州中学 322000 黄关汉 高中数学新增内容中，以概率与统计较 难学习，而随机变量分布列是概率与统计中 一 个难点。在讲清概念的基础上，需配备一定 习题 ，加强一些必要的练 习。 1 选择、填空题 1．设 是一个离散随机变量，则下列可 能不是 的概率分布的是( ) (A)0、1，0．2，0，3，0．4 (／3)0，0，1，0 (C)P，(1一P) (D) ， ⋯ ， 答 ：C、 2．随机变量 的分布列如图，则 的数 学期望是( ) ． ( )2．0 (B)2．1 (c)2．2 (D) 随 优变化 1 2 3 P 0．2 0．5 7 解 因为0．2+0．5+ =1，所以仇= 0，3， E ： 0．2+ 2× 0，5+3×0．3= 2．1． 答 ：B， 3．一名实习生用一台机器接连制造了3 个同种零件，第 i个零件为一合格品的概率 ( =l，2，3)，设各次制造的零件 合格与否是相互独立的，以 表示合格的个 数，P( =2)是( )， (A) 11 (B) 7 (c) 1 (D) 1 解P( =2)= ·喜·丢+ · 4 维普资讯 http://www.cqvip.com