孙训方 材料力学课件

1绪论 1.1可变形固体的几个基本假设 1.连续性假设——物体在整个体积内是密实的，无间隙 2.均匀性假设——任取一点可代替整体 理想弹性体 3.各向同性假设——沿各个方向的力学性能相同 线弹性 4.弹性范围内假设——变形体在外力作用下产生形变，外力卸除后能完全恢复的那部分形变 5.小变形假设——尺寸和形状的改变在可接受范围内 1.2材料力学主要研究对象 杆纵向尺寸比横向尺寸大得多的构件。 正应力 强度→应力 切应力 轴向拉伸或轴向压缩变形 剪切变形 纯弯曲：只有一对力偶作用 刚度→变形 弯曲变形 纯弯曲 横力弯曲：例如，梁在横力作用下的变形 扭转变形 剪切 稳定性→保证构件在破坏之前不失效 工程中很少有构件只有一种基本变形的，都是属于组合形式。所以要先了解每一种基本变形，然后再分析组合变形。 2轴向拉伸和压缩 2.1材料的力学性能（拉、压） 塑性材料：低碳钢 力学性能——在外力作用下材料在变形和破坏方面所表现出来的特性 脆性材料：铸铁 2.1.1低碳钢的拉伸曲线 1 在弹性阶段ob内，a点对应的应力称为材料的比例极限 p，是应力应变符合胡克定律的最高限，即变形为线弹性；而从a到b变形仍是弹性的，只不过非线性，撤销外力后，变形可完全恢复。若超过b点弹性极限 e，卸载后变形不可完全恢复，有部分塑性变形留下来。工程应用上不区分这两个极限，统称为弹性极限。 2 在屈服阶段bc内，应力几乎不增加，应变急剧增大，分别有上屈服极限和下屈服极限，通常取下屈服极限为材料的屈服强度或屈服极限 s。 3 在强化阶段cd内，应力应变持续增加，曲线继续上升，材料恢复抵抗能力，d点为名义应力的最大值，称为材料的强度极限或拉伸强度 b。 4 在局部变形阶段de内，试样局部急剧缩小（颈缩），曲线下降。 冷作硬化：先将试样拉到强化阶段，卸载，当再加载时，试样的弹性极限将提高，但塑性变形降低。 冷作时效：先将试样拉到强化阶段，卸载，过一段时间再加载，弹性极限还会提高，但塑性也会降低。 2.1.2低碳钢及铸铁的压缩曲线（看一下即可） Eg 强度高的曲线： 刚度高的曲线： 塑性好的曲线： 2.2轴力 2.2.1轴力的计算及轴力图画法 截面法：截开、确定方向、求解轴力。 方向的确定：取背离截面为 方向，若保留部分与 同向，则轴力为负；反之为正。 若保留1截面左边部分，则FN1=10kN,若保留1截面右边部分，则FN1=10kN。 轴力图 10 FN图（kN） 2.2.2应力 轴力是杆横截面上分布内力系的合力，而内力大小并不能衡量构件强度大小。因此，必须知道分布内力大小的分布内力集度，即应力。 横截面上应力均匀分布 =FN/A 小结： 1 讨论应力应明确是在哪一个截面上的哪一点处， 2 应力是矢量，规定离开截面的正应力为正（拉应力），反之为负， 3 应力单位是Pa,1Pa=1N/m2,1MPa=106Pa,1Gpa=109Pa， 4 截面上应力 与微面积dA合成，即为该截面的内力，故横截面上正应力 =FN/A→基于平面假设。 需了解： 圣维南原理：当离力的作用点较远时，应力分布与大小不受外荷载作用方式（集中力、分布力、动荷载。。。。。）的影响。 危险截面——最大轴力所在截面， 最大工作应力——危险截面上的正应力。 斜截面上的应力状态（A为横截面面积，A.。=Acos ） 1) 若 =0， = FN/A最大， =0 2）若 =45°， =FN/2A最大， = FN/2A 3）若 =90°， =0， =0 2.2.3应变——每单位长度的伸长或缩短 EMBED Equation.3 = = （伸长为正，缩短为负） 胡克定律： = (只有当杆应力不超过材料的比例极限才成立) = = (单轴应力状态下的胡克定律) FN——轴力， ——杆长，E——弹性模量，EA——杆的抗拉刚度，或拉伸（压缩）刚度 例子：求杆件在重力作用下的伸长量。已知杆的重度为 ，长为L，横截面为A。 2.3强度计算 不出现强度破坏 保证构件不失效，在外力作用下能正常工作 不出现刚度破坏 不出现失稳破坏 许用应力 s——塑性材料的屈服极限 极限应力 b——脆性材料的强度极限 = max EMBED Equation.3 = 安全因数（强度储备）=极限应力/许用应力 应用以上公式可出题的方式：强度校核、截面设计、许可荷载计算。 2.4拉压超静定 未知力数超过独立平衡方程数的数目，称为超静定次数。 解法：先将某一处约束解除，加上一个相应的约束力，得到原超静定结构的基本静定系，然后综合运用a静力学关系 b变形几何关系 c物理关系三方面条件求解。 温度与装配应力 Eg1 3剪切 剪切面、挤压面的判断（单剪与双剪） 例子： = = Eg2 4弯曲 剪切面 挤压面 4.1一些概念 弯曲——等直杆在承受垂直于杆轴线的横向外力或外力偶的作用下，杆轴线变形成为曲线，称为弯曲。以弯曲为主要变形的杆件，统称为梁。 对称弯曲——梁变形后的轴线必定是一条在该纵对称面内的平面曲线，因此也称为平面弯曲。 纯弯曲——梁在对称弯曲时，若各横截面上的剪力为0，弯矩为常量，则该梁的弯曲弯曲称为纯弯曲。 · 梁的计算简图 1. 2. 3. 4.2弯曲构件内力（梁、平面刚架） 剪力FS：等于被保留端所有横向力的代数和 弯矩M：等于被保留端所有内力偶矩的代数和 方向规定： FS：绕研究对象顺时针转向为正剪力，反之为负 M：该段下半部受拉时，横截面上的弯矩为正，反之为负 计算中采用的规定： FS：对所求截面的形心，顺时针的横向力引起正剪力 M：不论在截面左侧还是右侧，向上的外力均引起正弯矩，向下引起负弯矩；对截面左侧的外力偶，则顺时针转向引起正值弯矩，逆时针引起负值弯矩，右侧相反 绘图时： FS：正值剪力画在X轴上侧，标明符号 M：正值弯矩画在X轴下侧，即受拉侧，标明符号 Eg：求1、2、3截面的剪力及1截面弯矩。 方法：1.去掉约束，加上约束反力，列方程求解 2.不求剪力与弯矩方程，简易方法作图 步骤： FS图简易做法：从左到右，顺着荷载的起伏画图，从零点开始，最后回到零点 M图简易做法：求出特殊点分段点的弯矩，描点，再连成相应的直线或曲线 需注意的是一些特殊点：荷载分段点、剪力等于0的点、集中力偶的两边 3.按叠加原理作弯矩图 4.2.1纯弯曲 纯弯曲时的正应力：横截面上任一点处的正应力与该点到中性轴的距离成正比，而在距中性轴为y的等高线上各点处的正应力均相等。 等直梁在纯弯曲时横截面上任一点处弯曲正应力的计算公式： =E =E =E = 横截面对中性轴Z的惯性矩，单位为m4 = 对圆截面 = 对矩形截面 = 当中性轴Z为截面的对称轴时，横截面上的最大正应力，强度计算 = = EMBED Equation.3 称为弯曲截面系数（m3），可用来设计合理的截面形状（变截面梁、等强度梁等） = 对矩形截面 = = 对圆形截面 = = 对环形截面 = = , = Eg4 4.2.2横力弯曲 计算时仍可用纯弯曲的公式，只是 = 中M(x)要换成相应截面上的弯矩 梁的正应力强度条件：等直梁的最大正应力发生在最大弯矩的横截面上距中性轴最远的各点处 4.3.弯曲变形 梁的挠曲线近似微分方程 =－ ，积分两次得，EIw=－ +C1 +C2 C1、C2可由边界条件确定： 简支梁：左右两铰支座处挠度 、 均为0 悬臂梁：固定端处的挠度 和转角 也为0 铰接处：铰两端的挠度相等 挠度计算： 1. 积分法 分段写出弯矩方程，然后积分，并代入边界条件求解即可。为使积分方便，常使后一个弯矩方程包含前一个弯矩方程。例如，对（x-a）项积分时，就以（x-a）为自变量，由x=a处的边界条件 左= 右简化计算。 2. 叠加法 一般考的可能性较小，但要注意刚化原理。 Eg：等截面平面刚梁，求自由端A的水平位移和垂直位移。a，给出AB段抗弯刚度EI。b，给出AB段抗弯刚度EI和BC段抗拉刚度EA.. 重点：1）内力图 ：1.列方程画图 2.叠加原理 3.微分关系 4.简易法 q Fs M 0 0 平 0 平 斜 平 斜 抛 2）校核 1.画剪力图、弯矩图 2.形状规律 3.突变规律 4.分段规律 5.微分关系 = , =F(x) Eg4 5扭转（薄壁圆筒、等直圆杆） 5.1薄壁圆筒的扭转 横截面上无正应力，只产生垂直于半径方向的均匀分布的剪应力 横截面上任一点处的切应力 值均相等, = ，A0= ，r为平均半径， 为壁厚 薄壁圆筒表面上的切应变 和相距为 的两端面间的相互扭转角 之间的关系： = r/ 剪切胡克定律： =G ，其中G为材料的剪切（切变）模量 剪应力互等（双生）定理：在单元体相互垂直的两个截面上，剪应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两个面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。 5.2等直圆杆的扭转 5.2.1扭矩与扭矩图 方向规定：当力偶矢的指向离开截面时扭矩为正，反之为负 扭矩图： 5.2.2扭转剪应力 纯剪切时圆杆内平面上只有剪应力而无正应力，是纯剪切应力状态， = 为横截面的极惯性矩，是纯几何量，无物理意义，只与构件的大小形状有关，与材料无关，单位为m4。 = 对实心圆截面， = 对空心圆截面， = = , = 强度计算： = = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ，其中 为抗扭截面系数（m3） = 对实心圆截面， = 对空心圆截面， = = , = 5.2.3扭转变形 等直圆杆的扭转变形，用相对扭转角 来衡量， = （rad）,G 称为等直圆杆的抗扭刚度 刚度计算：单位长度扭转角 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ,其中 的单位是（°）/m，故实际中的刚度校核用 × EMBED Equation.3 Eg3 6应力强度理论 6.1平面应力状态 截面的外法线与x轴夹角 称为方位角，该截面为 截面 规定：从x轴到外法线n逆时针转向的方位角为正值，而 则以沿单元体顺时针为正， =－ 6.1.1解析法求主平面： 截面的应力： = + － = + 一点处切应力等于0的截面称为主平面，主平面上的正应力称为主应力。一点处必存在三个相互垂直的主应力，分别记为 1、 2、 3，按代数值大小排列，例20MPa,0,-30MPa 由上面的式子可以看出， =－ ，即正应力最大的平面剪应力为0，极值正应力一定是主应力； =0时，极值切应力与主平面成45°，可见切应力取极值时主应力并不为0。 极值正应力 ， = ± = 极值切应力 ， =± = 重点：“大偏大”“小偏小” 6.1.2应力圆法求主平面： 1. 根据单元体写出 ， ， 2. 则D1( , )，D2( ， )，连接D1，D2与X轴交于C,C为圆心 3. 要求单元体某一截面 上的应力 ， ，从CD1按方位角转向转动2 角，得到E,F点的坐标（ ）即为 截面的应力。 1=XA1， 2=0， 3= XA2, Eg7 6.1.3应用：广义胡克定律 Eg： 6.2空间应力状态 P220，例题7-3 6.3强度理论 脆性 = ， = EMBED Equation.3 ， 塑性 = ， = （纯剪切+单向应力）状态，即弯曲与扭转组合变形 = = = = 6.4组合变形计算 1. 两垂直平面内的弯曲 2. 横向力与轴向力作用（拉压+弯曲） 3. 偏心拉压（拉压+纯弯曲） 4. 弯曲与扭转组合变形 △ 7能量法 拉压应变能 = ， 扭转应变能 = 弯曲应变能 纯弯曲时 = = 横力弯曲时 = （弯曲变形相应的弯曲应变能+剪切变形相应的剪切应变能（相比很小，略去不计）） 在小变形下，基本变形的应变能可单独计算，然后相加，得到组合变形杆的总应变能。 = + + 能量法：利用功和能的概念求解可变形固体的位移，变形和内力等的方法。 卡氏第一定理：Fi= （线弹性体或和非线性弹性体） 卡氏第二定理： （线弹性体） 对卡氏第二定理： 1） 线弹性杆件 2） Fi为变量，结构反力和应变能必须表示为Fi的函数 3） 对应关系： 为Fi作用点处沿Fi方向的位移 4） 无与 对应的Fi时，先加一沿 方向的Fi，求偏导后令其为0。 也可直接用 = EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 + 求解 注意：Fi为广义力：一个力、一个力偶、一对力、一对力偶 为广义位移：一个线位移、一个角位移、相对线位移、相对角位移 也可用单位力法或图乘法 Eg10 从应变能的角度材料的三个弹性常数E、G、I之间的关系 ①纯剪切单元体的应变能密度 = = ②考虑主应力在主应变上做的功，则应变能密度为： = = EMBED Equation.3 ( = , =0， =－ ) 8.动荷载 动应力 = · 静应力 动荷载 = · 静荷载 冲击动荷因数： =1+ 杆的静伸长 对梁来说： =1+ 静荷载作用下梁的挠度 Eg12 9压杆稳定 1） 根据已知条件确定柔度值， ， ，对圆截面 = 2） ，判断失稳平面，也可判断欧拉公式是否适用 3） 压杆的稳定计算 稳定因数 EMBED Equation.3 稳定安全因数>1 P298表9-1 附：平面应力问题与平面应变问题 1）平面应力问题：厚度为 的很薄的均匀木板，只在边缘上受到平行于板面且不沿厚度变化的面力，体力也平行于板面且不沿厚度变化 由于平板很薄，外力又不沿厚度变化，可近似认为在整个薄板内各点均有： 只有平行于 平面的三个应力分量： 和 2）平面应变问题：纵向（ 向）很长，且沿横截面不变的物体，受有平行于横截面而且不沿长度变化的面力和体力 由于对称（任一横截面都可以看作是对称面），所有各点都只有 和 方向的位移而不会有 向的位移，可精确认为在物体内各点均有： 只有平行于 平面的三个应力分量： 和 � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� 1 2 3 F=10KN F 1 + M _1318856907.unknown _1318917040.unknown _1318945613.unknown _1318946508.unknown _1322734898.unknown _1322734902.unknown _1322734904.unknown _1322734906.unknown _1322734907.unknown _1322734908.unknown _1322734905.unknown _1322734903.unknown _1322734900.unknown _1322734901.unknown _1322734899.unknown _1322734894.unknown _1322734896.unknown _1322734897.unknown _1322734895.unknown _1322734892.unknown _1322734893.unknown _1318946518.unknown _1318946159.unknown _1318946241.unknown _1318946287.unknown _1318946185.unknown _1318946114.unknown _1318946146.unknown _1318945651.unknown _1318919761.unknown _1318937936.unknown _1318937991.unknown _1318938291.unknown _1318939734.unknown _1318942717.unknown _1318944986.unknown _1318945407.unknown _1318945554.unknown _1318945033.unknown _1318945065.unknown _1318945161.unknown _1318944800.unknown _1318944828.unknown _1318944839.unknown _1318944629.unknown _1318944754.unknown _1318944525.unknown _1318942881.unknown _1318944385.unknown _1318939965.unknown _1318939478.unknown _1318939503.unknown _1318939606.unknown _1318939464.unknown _1318938037.unknown _1318938216.unknown _1318938026.unknown _1318937953.unknown _1318936469.unknown _1318937428.unknown _1318937484.unknown _1318937527.unknown _1318937459.unknown _1318937395.unknown _1318936683.unknown _1318936733.unknown _1318933408.unknown _1318935870.unknown _1318936104.unknown _1318936384.unknown _1318935916.unknown _1318936075.unknown _1318935894.unknown _1318935278.unknown _1318935697.unknown _1318935790.unknown _1318935843.unknown _1318935690.unknown _1318935258.unknown _1318933309.unknown _1318933383.unknown _1318933246.unknown _1318917974.unknown _1318919399.unknown _1318919519.unknown _1318919566.unknown _1318919441.unknown _1318919453.unknown _1318919504.unknown _1318919422.unknown _1318918266.unknown _1318919374.unknown _1318918100.unknown _1318917483.unknown _1318917944.unknown _1318917959.unknown _1318917819.unknown _1318917180.unknown _1318917431.unknown _1318917159.unknown _1318867242.unknown _1318914117.unknown _1318916313.unknown _1318916721.unknown _1318916987.unknown _1318916534.unknown _1318916685.unknown _1318914240.unknown _1318914476.unknown _1318914489.unknown _1318914261.unknown _1318914130.unknown _1318914186.unknown _1318914214.unknown _1318867995.unknown _1318913784.unknown _1318913838.unknown _1318914025.unknown _1318913820.unknown _1318868984.unknown _1318913726.unknown _1318869102.unknown _1318913700.unknown _1318869008.unknown _1318868808.unknown _1318868823.unknown _1318868869.unknown _1318868242.unknown _1318867279.unknown _1318867824.unknown _1318867839.unknown _1318867798.unknown _1318867265.unknown _1318859066.unknown _1318861485.unknown _1318861689.unknown _1318867228.unknown _1318861849.unknown _1318862034.unknown _1318861928.unknown _1318861824.unknown _1318861780.unknown _1318861540.unknown _1318861579.unknown _1318861505.unknown _1318861316.unknown _1318861394.unknown _1318861349.unknown _1318861375.unknown _1318861026.unknown _1318861112.unknown _1318861005.unknown _1318858771.unknown _1318859001.unknown _1318859031.unknown _1318859053.unknown _1318858808.unknown _1318858821.unknown _1318858985.unknown _1318858785.unknown _1318858277.unknown _1318858308.unknown _1318856922.unknown _1318833658.unknown _1318855809.unknown _1318856512.unknown _1318856619.unknown _1318856634.unknown _1318856571.unknown _1318856272.unknown _1318856394.unknown _1318856029.unknown _1318854369.unknown _1318854437.unknown _1318854676.unknown _1318854409.unknown _1318833725.unknown _1318833678.unknown _1318833692.unknown _1318690452.unknown _1318691874.unknown _1318833057.unknown _1318833074.unknown _1318833043.unknown _1318691512.unknown _1318691580.unknown _1318691863.unknown _1318691601.unknown _1318691567.unknown _1318690749.unknown _1318691470.unknown _1318690580.unknown _1318689320.unknown _1318690256.unknown _1318690386.unknown _1318690439.unknown _1318690371.unknown _1318689359.unknown _1318690136.unknown _1318689335.unknown _1318687293.unknown _1318688825.unknown _1318689313.unknown _1318687340.unknown _1318682207.unknown _1318685998.unknown _1318686028.unknown _1318684733.unknown _1318682183.unknown