l数理化研究I.-【关注】
一次绝对值函数的最值问题
一次绝对值函数是我们十分熟悉的一种简单函数。它与方
程、不等式、分段函数等密切相关。由于绝对值具有非负性和
示
距离等特性。再加上绝对值概念简单。可移植性强。与其他知识结
合能较全面地考查学生的基本数学素养,是高考命题的一个热
点。纵观近几年有关一次绝对值函数的高考和竞赛试题.直接或
以应用题的形式间接考查其最值问题常有出现。但教材中关于一
次绝对值函数的
,只是零星地散布于几个模块中(以人教A
版为例)。如必修4中的平面向量的加减法的几何意义。选修系列
“中的三角形不等式等。故此.本文对一次绝对值函数的最值
问题进行探讨.供读者参考。
函数的图像是函数关系的直观表达式。形象地显示了函数的
性质。借助一次绝对值函数的图像.我们可以方便地研究其最值,
加深对一次绝对值函数的理解和认识。
1.1含一个绝对值的一次函数的最值
(1)f(x)=Ixl的图像是以原点为顶点的。v”字形折线。函数
在顶点处取得最小值“0)=o.无最大值;
(2)f(x)=lkx+bl的图像是以(一},0)为顶点的。V”字形折
K
线,函数在顶点取得最小值“一})=o。无最大值;
K
(3)f(x)=kIx“l的图像是:当k>0时。以(一b,O)为顶点的
。v”字形折线。函数在顶点处取得最小值f(“)=o。无最大值;当
k<0时,以(_h.0)为顶点的倒“V”字形折线.函数在顶点处取得最
大值“一h):I),无最小值。
1.2含两个绝对值的一次函数的最值
(4)“xkfx-mf+fx_nI(m
n时。图像是分别向左、右两边向上无
限延伸的两条射线。而中间一段在区间【m,n】上为平行于x轴的线
段.在中间段处最低.此时函数有最小值n—m。代数描述为:
lpmI+Ix.nI≥I(x—n1)一“一n)I=n—m,当且仅当x∈【m,n】时取。=”
号.取得最小值。
(5)f(x)=lx—mI一}x—nI(mn时,图像是分别向左、右两边无限
延伸的两条平行线.而中间一段在区间【m。n】上为线段,有最大值
和最小值.最大值为n-m。最小值为m—n。代数描述为:
l lx—ml—Ix—nl≤I(x—m)一(x—n)I=n—m。即m—n≤Ix—ml—Ix—nI
≤n—m,当且仅当xE【一∞.mj时取得最小值m—n,当且仅当x∈
【n。+*】时取得最大值n—m。
(6)f(x)=aIx-mI“Ix—nI的图像是以【m'f(m)1,【n,f(n)1为折
点的折线。且当a“>o时。两端向上无限延伸。故最小值为rain
{“m),“n)J;当a+b<0时。两端向下无限延伸。故最大值为m一
{“m),“n)’;当a“=()时.两端平行。故有最大值和最小值。最大
值为l眦{“ml,“n)}。最小值为rainl“m),“n)1。
例1:(2007年高考海南、宁夏理22选做c)设函数f(x)=
12x+lI—Ix-4I。求函数y=“x)的最小值。
解:“x)=12x+1卜Jx4I-2lx+{一卜Jx_4l,因绝对值前的系
二I
数和为正。故图像是以x-一i1,x=4为折点.两端向上无限延伸的
二
折线.故有最小值且最小值为min{“一下1)。“4)l-“一彳1)一下9。
t ‘ J 上 二
1.3含多个绝对值的一次函数的最值
40●-2008.2
●刘峥嵘
(7)“x)=∑lx—aiI(a;ER.i∈N+)(令a,aII时,图像是分别向左、右两边
向上无限延伸的两条射线。而中问各段在区间h,“。l(i=l。2。⋯.
n-1)上均为线段。它们首尾相连形成折线形.当n为奇数时,在
中间点处最低。此时函数有最小值;当n为偶数时.在中间段即
区间【辄A+。】内最低,此时函数有最小值。
代数描述有以下结论:函数“x)=∑Ix—aiI(a;∈R.i∈N+)
(令al证明:(略)
(8)“x):∑bI|x-凰I(a。b∈R,i∈N+)的图像是以x=ai为折
t l
三
点的折线.当艺bi>0时。折线两端向上无限延伸。故有最小值
i=-
为rain{f(a.).“动,⋯⋯f(曲};当艺b;<0.折线两端向下无限延
i=I
伸。故有最大值为m“(“a。),“曲,⋯⋯‰叭当艺b。=o时。两端平
i=l
行,故有最大值和最小值.最大值为nmf“a.).“a2),⋯⋯“曲l。最
小值为rain{f(aI),f(a2),⋯⋯.f【aT.)1。
例2:如图。兰台机器人M.、M:、M,和检测台M位处时.M:
即自动送检。当M:把零件送达M处时,M,即自动送检。设M2
的送检在一条直线上,三台机器人需把各自生产的零件送交M
处进行检测。送检程序设定:当M.把零件送达M速度为v.且
送检速度是M。的2倍,是%的3倍。现要求M.、M:、M,的送检
时间总和必须最短。请你设计出检测台M在该直线上的位置
(M与M。M2、M,均不能重合)。
竺! . 翌 竺!. 望:·—-—·●——·—●————●————●————●————●———■■
一2一l 0 l 2 3
分析:令检测台坐标为M(x)。所需时间总和为“x),依题意
可得:
“x)-上(2Ix+2l+l—lI+3lx_31)。要求的是.当x为何值
V
时.函数取得最小值?因绝对值前的系数和为正。所以其图像两
端向上无限延伸.故有最小值为rain{“一2),“1)'f(3)}-f(1l=f
f3)=些。故当x∈(1,3)时.函数总有最小值。因此。检测台设在
V
该线段M2M,上(除去两端点)的任一点均可。
参考文献:
[1]李勤俭.关注绝对值[J].中学数学教学参考,2005(4).
[2]翟斌,郭亚琴.一道高考题的探究与引申叩].中学数学教学参
考。2006(10)
(湛江师范学院附属巾学.作者系华南师范犬学2006级教
仃顾上)
万方数据
一次绝对值函数的最值问题
作者: 刘峥嵘
作者单位: 湛江师范学院附属中学
刊名: 成才之路
英文刊名: WAY OF SUCCESS
年,卷(期): 2008(4)
参考文献(2条)
1.翟斌;郭亚琴 一道高考题的探究与引申 2006(10)
2.李勤俭 关注绝对值 2005(04)
本文链接:http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_cczl200804036.aspx