构造向量求函数最值
构造向量求函数最值
李建新 !福建省永春崇贤中学 "#$#%&’
孙建斌 !福建省永春县科委 "#$#%%’
函数最值问题(屡屡出现在国内外各类
竞赛试题中)适当构造向量(可使一类函数最
值问题的思路清晰(解题方法简捷巧妙(并富
于规律性*趣味性)
定理 +(,为两个向量(则
-+-$.!+/,’
$
-,-$ )
证明 设两向量的夹角为 0(则
-+-$1-+-
$/-,-$
-,-$ .
-+-$-,-$234$0
-,-$ 1
!+/,’$
-,-$ (
证毕)
5 构造向量(求整函数最值
例 5...
构造向量求函数最值
李建新 !福建省永春崇贤中学 "#$#%&’
孙建斌 !福建省永春县科委 "#$#%%’
函数最值问题(屡屡出现在国内外各类
竞赛试题中)适当构造向量(可使一类函数最
值问题的思路清晰(解题方法简捷巧妙(并富
于规律性*趣味性)
定理 +(,为两个向量(则
-+-$.!+/,’
$
-,-$ )
证明 设两向量的夹角为 0(则
-+-$1-+-
$/-,-$
-,-$ .
-+-$-,-$234$0
-,-$ 1
!+/,’$
-,-$ (
证毕)
5 构造向量(求整函数最值
例 5 求实数 6(7的值(使得!78&’$9
!6978"’$9!$6978#’$达到最小值)
!$%%&年全国初中数学联赛试题’
解 构造 +1!78&(6978"($6978
#’(,1!8&($(8&’(依定理(则!78&’$9!6
978"’$9!$6978#’$1-+-$.!+/,’
$
-,-$
1!879&9$69$78#8$6879#’
$
!8&’$9$$9!8&’$ 1
&
#(
当且仅当78&
8&1
6978"
$ 1
$6978#
8& (
即 6
1 :$(71
:
#
时(该式取最小值 )
; 构造向量(求分式函数最值
例 ; 已知 6(7(<=!%(9>’(且 6
$
&96$
9 7
$
&97$9
<$
&9<$1 $(
求 6
&96$9
7
&97$9
<
&9<$
的最大值)
!&??%年首届@希望杯A全国数学邀请赛
备选题’
解 由 6
$
&96$9
7$
&97$9
<$
&9<$1$(
易得
&
&96$9
&
&97$9
&
&9<$1 &(
构 造 +1
! 6
&96B $
( 7
&97B $
( <
&9
(于是.4!$58$69.2>(即’>2
4!$58$692>1
? 构造向量(求解一类恒成立问题
例 ? 设 4@5@6(且 #4’5$
#
5’6/
A
4’6
恒成立(则 A的最大值为* ,1
*"BBB年<希望杯=全国数学邀请赛高二
试题,
解 构造 )%* #
+4’5
( #
+5’6
,(-%
+ +* 4’5( 5’6,(依定理(则 #4’5$
#
5’6%
.)."/*)0-,
"
.-." %
*#$#,"
*4’5,$*5’6,%
7
4’6(
则 A的最大值是 71
C 构造向量(求三角函数最值
例 C 设函数 + +DEF!’#$ &’DEF!
的 最 大 值 是 G(最 小 值 是 H(则 GH %
1
*#:::年<希望杯=数学邀请赛山西I江
西I天津赛区高二试题,
解 由 #2DEF!2&(易知 +DEF!’#$
+ +&’DEF!/ "(H +% "1构 造 )%
+ +* DEF!’#( &’DEF!,(-%*#(#,(依定
理(知 "%*DEF!’#,$*&’DEF!,%.)."/
*)0-,"
.-." %
+ +* DEF!’#$ &’DEF!,"
#$# %
#
"
+ +* DEF!’#$ &’DEF!,"(知 +DEF!’#
+$ &’DEF!2"(G%"(故 GH%
"
+"
%
+"1
J 构造向量(求对数函数最值
例 J 已知 45%#BBB(4@#(5@#(则
+ +#$KL4$ #$KL5的最大值是 1
*第 #&届<希望杯=全国数学邀请赛高二
培训题,
解 构造 ) + +%* #$KL4( #$KL5,(-
%*#(#,(依定理(则 M%"$KL#BBB%"$
KL45% *#$ KL4,$ *#$ KL5,% .)."/
+ +* #$KL4$ #$KL5,"
#$# %
#
" +* #$KL4$
+#$KL5,"(于 是 + +#$KL4$ #$KL52
+#B(知其最大值是 +#B1
N 构造向量(解一类解析几何最值题
例 N 已知点 O*!(8,在椭圆!
"
7$
8"
:%#
上(求 "!’8的最大值1
解 构造 )%*!"(
8
&,(-%*7(’&,(
依
定理(知 #%!
"
7$
8"
:%.).
"/*)0-,
"
.-." %
*"!’8,"
7"$*’&,"%
*"!’8,"
"M (
即*"!’8,"2"M(故
"!’8的最大值是 M1
综上所述(构造向量(求一类函数最值有
如下特点P应用广泛I解法简便I解题富于规
律(容易掌握(应引起重视1
练习
*#,已知实数!(8满足!"$8"’"!$78
%B(求!’"8的最值1*#:QQ年广东省高考题,
*",已知实数 !(8满足方程*!$","$8"
0#&0"BB&年第 &期 中学数学月刊
万方数据
!"#则$%"&%’
的最小值是 (
)第 "*届+希望杯,邀请赛高二试题-
).-函数 $ / /! "001%&2 &%"00.
的值域是 (
)"001年上海市高三数学竞赛试题-
)1-设$#34)*#25-#试求"&2
1
$2
0
3
的最小值()"00*年日本678选拔赛试题-
)9-设$4)*#25-#且"0&2
0:
$!"#
则
&2$的最小值是 (
)"00:年湖南省数学竞赛试题-
提示与答案
)"-&%’$的最小;最大值分别为 *#"*(
构造 #
构造 &%’>2"-#=!)>#%"-(
).-值域 /?"# ’@(由定义域 "00.A&
A"001#知 $B"#构造 < /!) "001%
/&%"00.-#=!)"#"-(
)1-最小值 .C(构造 F#建立 G与 >之间的关
系(
解法 J 设 E!>F#则 >’F’2>F’2F’!"#
即 F’! ">’2>2"(
而 G!>F’%>’F’%F’!>%>
’%"
>’2>2"#
化简得)"2G->’2)G%"->2G2"!*(
KL!)G%"-’%1)G2"-’B*#
I%.AGA% ".(
M 利用不等式)E2F-’B*解题
分析 . 利用)E2F-’B*#)E%F-’B*#
用含 G的代数式表示)E2F-’及)E%F-’(
解法 M 由已知易得 EF!"2G’(
K)E2F-’!E’2EF2F’2EF
!"2EF!G2.’B*#
IGB%.(
N’.N 中学数学月刊 ’**.年第 .期
万方数据
构造向量求函数最值
作者: 李建新, 孙建斌
作者单位: 李建新(福建省永春崇贤中学,362601), 孙建斌(福建省永春县科委,362600)
刊名: 中学数学月刊
英文刊名: THE MONTHLY JOURNAL OF HIGH SCHOOL MATHEMATICS
年,卷(期): 2003(3)
被引用次数: 2次
引证文献(2条)
1.孙建斌.黄宝玲 要重视数学问题的解题思路解题规律研究——《数学通报》数学问题1504题的
解法探讨[期刊论文]-数学通报 2005(7)
2.张玉英.孙建斌 求形如y=(a+bsin x)/(c+dcos x)的函数值域的统一[期刊论文]-中学数学
月刊 2004(5)
本文链接:http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_zxsxyk200303013.aspx
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