关于一阶完全非线性偏微分方程Cauchy问题的解

第!"卷第"期#############咸#宁#学#院#学#报############$%&’!"，(%’"!))"年*!月############!"#$%&’"()*&%%*%+,"’’-+-############+,-’!))"文章编号：*))"./01!（!))"）)".))*).)!关于一阶完全非线性偏微分方程234-56问的解"陈名中*，揭爱民!（*’咸宁学院数学系，湖北#咸宁#107))/；!’咸宁市中等职业技术学校，湖北#咸宁#107))/）摘#要：运用特征概念给出一阶完全非线性偏微分方程的234-56问题的一般解法及其原理’关键词：一阶；完全非线性；特征方程；234-56问题中图分类号：8*7/#######文献标识码：9##我们知道，线性方程及拟线性方程比完全非线性方程要简单些’完全非线性方程的解比线性方程及拟线性方程的解往往要复杂得多’但是，我们可以充分利用线性方程及拟线性方程的相关知识和结果来推导和解决一阶完全非线性方程234-56问题的解’*#预备知识为方便起见，我们只讨论含有两个自变量的情形’先讨论一阶拟线性偏微分方程的通解，其一般形式为!*（"，#，$）*$*":!!（"，#，$）*$*#;%（"，#，$）（*）这里总假定!&（"，#，$）（&;*，!）和%（"，#，$）都是其变量的连续可微函数，且!&不同时为零’设$;$（"，#）是（*）的一个解，则它为(0空间中的一个曲面，记为$’设其解的隐式形式为)（"，#，$）;)且)（"，#，$）对"，#，$都有连续偏导数，*)*$))则（*）变为关于)的线性齐次偏微分方程!*（"，#，$）*)*":!!（"，#，$）*)*#:%（"，#，$）*)*$;)（!）（!）的特征方程是<"!*（"，#，$）;<#!!（"，#，$）;<$%（"，#，$）（0）设（0）的相互独立的初积分是!*（"，#，$）;**，!!（"，#，$）;*!则（!）的通解为);"（!*，!!）其中"为任意连续可微函数，从而得到下述定理’定理*［*］对于任意连续可微函数"，若是线性齐次方程（!）的通解，则"（!*，!!）;)是拟线性偏微分方程（*）的隐式通解，其中!*，!!是（0）的相互独立的初积分’例*：求方程（#=$）*$*":（$="）*$*#;"=#的通解’解：该方程为拟线性偏微分方程，其对应的线性齐次方程为（#=$）*)*":（$="）*)*#:（"=#）*)*$;)特征方程是<"#=$;<#$=";<$"=#得到两个相互独立的初积分是!*;":#:$;**，!!;"!:#!:$!;*!故原方程的通解为"（":#:$，"!:#!:$!）;)!#主要结果下面，在上述拟线性偏微分方程理论的基础上，讨论含两个自变量的完全非线性偏微分方程的234-56问题解的一般求法，设含两个自变量的完全非线性方程的一般形式为+（"，#，$，,，-）;)（1）其中,;*$*"，-;*$*#，且函数+（"，#，$，,，-）在所讨论的区域内有二阶连续偏导数’关于（1）的234-56问题为+（"，#，$，,，-）;)$（")，#）;!（#{）（/）先假设$;$（"，#）（"）是（1）的任一个解，且$（"，#）具有二阶连续偏导数对（1）式分别求关于"与#的偏导数，有"收稿日期：!))/.*!.*"万方数据!"!!#*#*"!!$*$*"!!%*%*""#!&!!#*#*&!!$*$*&!!%*%*&{"#（$）由*%#*"*&"*%#*&*"，有*%*""*$*&，代入上式有!"!!#$!!$*$*"!!%*$*&"#!&!!#%!!$*%*"!!%*%*&{"#（&）显然，（&）式为拟线性偏微分方程组，其特征方程为’"!$"’&!%"(’$!"!!#$"’’’"!$"’&!%"(’%!&!!#%"’{’即’"!$"’&!%"(’$!"!!#$"(’%!&!!#%"’’（)）故$’"$!$"%’&%!%"$’"!%’&$!$!%!%（*#）由全微分公式’#"$’"!%’&，代入（*#）式，有’#$!$!%!%"’"!$（**）联立（)），（**）式，得到’"!$"’&!%"(’$!"!!#$"(’%!&!!#%"’#$!$!%!%"’’（*%）（*%）式称为方程（+）的特征方程［%］(若,-./01问题（2）的初始条件可用参数形式给出"#""#（)），&#"&#（)），##"##（)）（*3）由##"##（"#（)），&#（)）），有’##’)"*##*"#’"#’)!*##*&#’&#’)即#4#（)）"$#（)）"4#（)）!%#（)）&4#（)）（*+）又显然（*3）式必满足（+）式，即!（"#（)），&#（)），##（)），$#（)），%#（)））"#（*2）联立（*+），（*2）式可得到函数达式$#"$#（)），%#"%#（)）（*5）综合（*%），（*3），（*5）且当’"#时有’"!$"’&!%"(’$!"!!#$"(’%!&!!#%"’#$!$!%!%"’’"#""#（)），&#"&#（)），##"##（)）$#"$#（)），%#"%#（){）（*$）从（*$）式的积分曲线中可得到"""（)，’），&"（)，’），#"#（)，’）6（其中)，’为参数）（*&）（*&）式即为,-./01问题（2）的参数形式解7结论：以上过程，是在应用了线性方程及拟线性方程求解方法的基础上，运用特征概念从而给出了一阶完全非线性偏微分方程的,-./01问题的一般解法及其原理7该方法具有一定的可行性7在下述例子中，我们再进一步探讨这种方法的可行性7上述解法也可应用到含多个自变量的完全非线性偏微分方程中去［3］736具体例子例%：求,-./01问题$%"##8""#"&{3的解，其中$"*#*"，%"*#*&(解：先将初始条件写成参数形式"#"#，&#")，##")3由#4#（)）"$#（)）"4#（)）!%#（)）&4#（)），得到%#"3)%，代入方程有$#")3，与（*%）相应的方程为’"%"’&$"’$$"’%%"’#%$%"’’当’"#时，"#"#，&#")，##")3，$#")3，%#"3)%故解得%"3)%*’，$")3*’""3)%（*’(*），&")3（*’!%）#")3*%’从而得到所求,-./01问题解的参数形式""3)%（*’(*）&")3（*’!%）#")3*%{’6（其中)，’为参数）7参考文献：［*］朱长江，邓引斌7偏微分方程教程［9］7北京：科学出版社，%##27［%］询中丹，黄海洋7偏微分方程［9］7北京：高等教育出版社，%##+7［3］:;<0=7>-?@A-BCADDE?E=@A-BFG.-@A<=H［9］7IEJK格式