因式分解的十二种方法及多项式因式分解的一般步骤

..优选因式分解的十二种方法及多项式因式分解的一般步骤把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现如下：1、提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。例1、分解因式x-2x-x(2003XX市中)x-2x-x=x(x-2x-1)2、应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。例2、分解因式a+4ab+4b(2003XX市中考题)解：a+4ab+4b=〔a+2b〕3、分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)例3、分解因式m+5n-mn-5m解：m+5n-mn-5m=m-5m-mn+5n=(m-5m)+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4、十字相乘法对于mx+px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，那么多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)例4、分解因式7x-19x-6分析：1-3722-21=-19解：7x-19x-6=〔7x+2〕(x-3)5、配方法对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。例5、分解因式x+3x-40解x+3x-40=x+3x+()-()-40=(x+)-()=(x++)(x+-)=(x+8)(x-5)6、拆、添项法可以把多项式拆成假设干局部，再用进展因式分解。例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)7、换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的一样的局部换成另一个未知数，然后进展因式分解，最后再转换回来。例7、分解因式2x-x-6x-x+2解：2x-x-6x-x+2=2(x+1)-x(x+1)-6x=x[2(x+)-(x+)-6令y=x+,x[2(x+)-(x+)-6=x[2(y-2)-y-6]=x(2y-y-10)=x(y+2)(2y-5)=x(x++2)(2x+-5)=(x+2x+1)(2x-5x+2)=(x+1)(2x-1)(x-2)8、求根法令多项式f(x)=0,求出其根为x,x,x,……x,那么多项式可因式分解为f(x)=(x-x)(x-x)(x-x)……(x-x)例8、分解因式2x+7x-2x-13x+6解：令f(x)=2x+7x-2x-13x+6=0通过综合除法可知，f(x)=0根为，-3，-2，1那么2x+7x-2x-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)9、图象法令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图象与X轴的交点x,x,x,……x，那么多项式可因式分解为f(x)=f(x)=(x-x)(x-x)(x-x)……(x-x)例9、因式分解x+2x-5x-6解：令y=x+2x-5x-6作出其图象，见右图，与x轴交点为-3，-1，2那么x+2x-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)10、主元法先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进展因式分解。例10、分解因式a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)分析：此题可选定a为主元，将其按次数从高到低排列解：a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)=a(b-c)-a(b-c)+(bc-cb)=(b-c)[a-a(b+c)+bc]=(b-c)(a-b)(a-c)11、利用特殊值法将2或10代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10复原成x，即得因式分解式。例11、分解因式x+9x+23x+15解：令x=2，那么x+9x+23x+15=8+36+46+15=105将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值那么x+9x+23x+15=〔x+1〕〔x+3〕〔x+5〕12、待定系数法首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。例12、分解因式x-x-5x-6x-4分析：易知这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。解：设x-x-5x-6x-4=(x+ax+b)(x+cx+d)=x+(a+c)x+(ac+b+d)x+(ad+bc)x+bd所以解得那么x-x-5x-6x-4=(x+x+1)(x-2x-4)多项式因式分解的一般步骤2007-10-2813:19①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解；④分解因式，必须进展到每一个多项式因式都不能再分解为止.(6)应用因式定理：如果f〔a〕=0，那么f〔x〕必含有因式〔x-a〕。如f〔x〕=x^2+5x+6，f〔-2〕=0，那么可确定〔x+2〕是x^2+5x+6的一个因式另外，在屡次多项式内，还可以用双十字相乘法，轮换对称法解决。主要本卷须知：初学因式分解的"四个注意〞因式分解初见于九年义务教育三年制初中教材"代数"第二册，在初二上学期讲授，但它的却渗透于整个中学数学教材之中。学习它，既可以复习初一的整式四那么运算，又为本册下一章分式打好根底；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。其中四个注意，那么必须引起师生的高度重视。因式分解中的四个注意散见于教材第5页和第15页，可用四句话概括如下：首项有负常提负，各项有"公〞先提"公〞，某项提出莫漏1，括号里面分到"底〞。现举数例，说明如下，供参考。例1把－a2－b2＋2ab＋4分解因式。解：－a2－b2＋2ab＋4＝－〔a2－2ab＋b2－4〕＝－〔a－b＋2〕〔a－b－2〕这里的"负〞，指"负号〞。如果多项式的第一项为哪一项负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。防止学生出现诸如－9x2＋4y2＝〔－3x〕2－〔2y〕2＝〔－3x＋2y〕〔－3x－2y〕＝〔3x－2y〕〔3x＋2y〕的错误"膊荒芗汉啪拖取疤帷保匀饨蟹治觯"/p>如例2△abc的三边a、b、c有如下关系式：－c2＋a2＋2ab－2bc＝0，求证这个三角形是等腰三角形。分析：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进展因式分解。证明：∵－c2＋a2＋2ab－2bc＝0，∴〔a＋c〕〔a－c〕＋2b〔a－c〕＝0，∴〔a－c〕〔a＋2b＋c〕＝0．又∵a、b、c是△abc的三条边，∴a＋2b＋c＞0，∴a－c＝0，即a＝c，△abc为等腰三角形。例3把－12x2nyn＋18xn＋2yn＋1－6xnyn－1分解因式。解：－12x2nyn＋18xn＋2yn＋1－6xnyn－1＝－6xnyn－1〔2xny－3x2y2＋1〕这里的"公〞指"公因式〞。如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；这里的"1〞，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1。防止学生出现诸如6p〔x－1〕3－8p2〔x－1〕2＋2p〔1－x〕2＝2p〔x－1〕2〔3〔x－1〕－4p〕＝2p〔x－1〕2〔3x－4p－3〕的错误。例4在实数范围内把x4－5x2－6分解因式。解：x4－5x2－6＝〔x2＋1〕〔x2－6〕＝〔x2＋1〕〔x＋6〕〔x－6〕这里的"底〞，指分解因式，必须进展到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底，不能半途而废的意思。其中包含提公因式要一次性提"干净〞，不留"尾巴〞，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。防止学生出现诸如4x4y2－5x2y2－9y2＝y2〔4x4－5x2－9〕＝y2〔x2＋1〕〔4x2－9〕的错误。由此看来，因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种根本方法之中，与因式分解的四个步骤或说一般思考顺序的四句话："先看有无公因式，再看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要适宜〞是一脉相承的。例题：3ab+5b-22y2+35y-3a^2+b^2+ab+a+b+a+1所有因式分解的破解法2007-10-2813:20因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，开展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．而在竞赛上，又有拆项和添项法，待定系数法，双十字相乘法，轮换对称法等．⑴提公因式法①公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的～.②提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.am＋bm＋cm＝m〔a+b+c〕③具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的一样的字母，而且各字母的指数取次数最低的.如果多项式的第一项为哪一项负的，一般要提出"－〞号，使括号内的第一项的系数是正的.⑵运用公式法①平方差公式：.a^2－b^2＝(a＋b)(a－b)②完全平方公式：a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2※能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项为哪一项这两个数(或式)的积的2倍.③立方和公式：a^3+b^3＝(a+b)(a^2-ab+b^2).立方差公式：a^3-b^3＝(a-b)(a^2+ab+b^2).④完全立方公式：a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3＝(a±b)^3⑤a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+……+b^(n-2)a+b^(n-1)]a^m+b^m=(a+b)[a^(m-1)-a^(m-2)b+……-b^(m-2)a+b^(m-1)](m为奇数)⑶分组分解法分组分解法：把一个多项式分组后，再进展分解因式的方法.分组分解法必须有明确目的，即分组后，可以直接提公因式或运用公式.⑷拆项、补项法拆项、补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项〔或几项〕，使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进展分解；要注意，必须在与原多项式相等的原那么进展变形.⑸十字相乘法①x^2＋〔pq〕x＋pq型的式子的因式分解这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x^2＋〔pq〕x＋pq＝〔x＋p〕〔x＋q〕②kx^2＋mx＋n型的式子的因式分解如果能够分解成k＝ac，n＝bd，且有ad＋bc＝m时，那么kx^2＋mx＋n＝〔axb〕〔cxd〕a\-----/bac＝kbd＝nc/-----\dad＋bc＝m※多项式因式分解的一般步骤：①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解；④分解因式，必须进展到每一个多项式因式都不能再分解为止.(6)应用因式定理：如果f〔a〕=0，那么f〔x〕必含有因式〔x-a〕。如f〔x〕=x^2+5x+6，f〔-2〕=0，那么可确定〔x+2〕是x^2+5x+6的一个因式。经典例题：1.分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2解：原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1+y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2=[(1+y)+x^2(1-y)+2x]·[(1+y)+x^2(1-y)-2x]=(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1)=[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)]=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)2.证明：对于任何数x,y，下式的值都不会为33x^5+3x^4y-5x^3y^2+4xy^4+12y^5解：原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)当y=0时，原式=x^5不等于33；当y不等于0时，x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不一样，而33不能分成四个以上不同因数的积，所以原命题成立因式分解的十二种方法把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现总结如下：1、提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。例1、分解因式x-2x-x(2003XX市中考题)x-2x-x=x(x-2x-1)2、应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。例2、分解因式a+4ab+4b(2003XX市中考题)解：a+4ab+4b=〔a+2b〕3、分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)例3、分解因式m+5n-mn-5m解：m+5n-mn-5m=m-5m-mn+5n=(m-5m)+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4、十字相乘法对于mx+px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，那么多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)例4、分解因式7x-19x-6分析：1-3722-21=-19解：7x-19x-6=〔7x+2〕(x-3)5、配方法对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。例5、分解因式x+3x-40解x+3x-40=x+3x+()-()-40=(x+)-()=(x++)(x+-)=(x+8)(x-5)6、拆、添项法可以把多项式拆成假设干局部，再用进展因式分解。例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)7、换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的一样的局部换成另一个未知数，然后进展因式分解，最后再转换回来。例7、分解因式2x-x-6x-x+2解：2x-x-6x-x+2=2(x+1)-x(x+1)-6x=x[2(x+)-(x+)-6令y=x+,x[2(x+)-(x+)-6=x[2(y-2)-y-6]=x(2y-y-10)=x(y+2)(2y-5)=x(x++2)(2x+-5)=(x+2x+1)(2x-5x+2)=(x+1)(2x-1)(x-2)8、求根法令多项式f(x)=0,求出其根为x,x,x,……x,那么多项式可因式分解为f(x)=(x-x)(x-x)(x-x)……(x-x)例8、分解因式2x+7x-2x-13x+6解：令f(x)=2x+7x-2x-13x+6=0通过综合除法可知，f(x)=0根为，-3，-2，1那么2x+7x-2x-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)9、图像法令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图像，找到函数图像与X轴的交点x,x,x,……x，那么多项式可因式分解为f(x)=f(x)=(x-x)(x-x)(x-x)……(x-x)例9、因式分解x+2x-5x-6解：令y=x+2x-5x-6作出其图像，见右图，与x轴交点为-3，-1，2那么x+2x-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)10、主元法先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进展因式分解。例10、分解因式a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)分析：此题可选定a为主元，将其按次数从高到低排列解：a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)=a(b-c)-a(b-c)+(bc-cb)=(b-c)[a-a(b+c)+bc]=(b-c)(a-b)(a-c)11、利用特殊值法将2或10代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10复原成x，即得因式分解式。例11、分解因式x+9x+23x+15解：令x=2，那么x+9x+23x+15=8+36+46+15=105将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值那么x+9x+23x+15=〔x+1〕〔x+3〕〔x+5〕12、待定系数法首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。例12、分解因式x-x-5x-6x-4分析：易知这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。解：设x-x-5x-6x-4=(x+ax+b)(x+cx+d)=x+(a+c)x+(ac+b+d)x+(ad+bc)x+bd所以解得那么x-x-5x-6x-4=(x+x+1)(x-2x-4)初学因式分解的"四个注意〞因式分解初见于九年义务教育三年制初中教材"代数"第二册，在初二上学期讲授，但它的内容却渗透于整个中学数学教材之中。学习它，既可以复习初一的整式四那么运算，又为本册下一章分式打好根底；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。其中四个注意，那么必须引起师生的高度重视。因式分解中的四个注意散见于教材第5页和第15页，可用四句话概括如下：首项有负常提负，各项有"公〞先提"公〞，某项提出莫漏1，括号里面分到"底〞。现举数例，说明如下，供参考。例1把－a2－b2＋2ab＋4分解因式。解：－a2－b2＋2ab＋4＝－〔a2－2ab＋b2－4〕＝－〔a－b＋2〕〔a－b－2〕这里的"负〞，指"负号〞。如果多项式的第一项为哪一项负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。防止学生出现诸如－9x2＋4y2＝〔－3x〕2－〔2y〕2＝〔－3x＋2y〕〔－3x－2y〕＝〔3x－2y〕〔3x＋2y〕的错误"膊荒芗汉啪拖取疤帷保匀饨蟹治觯"/p>如例2△abc的三边a、b、c有如下关系式：－c2＋a2＋2ab－2bc＝0，求证这个三角形是等腰三角形。分析：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进展因式分解。证明：∵－c2＋a2＋2ab－2bc＝0，∴〔a＋c〕〔a－c〕＋2b〔a－c〕＝0，∴〔a－c〕〔a＋2b＋c〕＝0．又∵a、b、c是△abc的三条边，∴a＋2b＋c＞0，∴a－c＝0，即a＝c，△abc为等腰三角形。例3把－12x2nyn＋18xn＋2yn＋1－6xnyn－1分解因式。解：－12x2nyn＋18xn＋2yn＋1－6xnyn－1＝－6xnyn－1〔2xny－3x2y2＋1〕这里的"公〞指"公因式〞。如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；这里的"1〞，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1。防止学生出现诸如6p〔x－1〕3－8p2〔x－1〕2＋2p〔1－x〕2＝2p〔x－1〕2〔3〔x－1〕－4p〕＝2p〔x－1〕2〔3x－4p－3〕的错误。例4在实数范围内把x4－5x2－6分解因式。解：x4－5x2－6＝〔x2＋1〕〔x2－6〕＝〔x2＋1〕〔x＋6〕〔x－6〕这里的"底〞，指分解因式，必须进展到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底，不能半途而废的意思。其中包含提公因式要一次性提"干净〞，不留"尾巴〞，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。防止学生出现诸如4x4y2－5x2y2－9y2＝y2〔4x4－5x2－9〕＝y2〔x2＋1〕〔4x2－9〕的错误。由此看来，因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种根本方法之中，与因式分解的四个步骤或说一般思考顺序的四句话："先看有无公因式，再看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要适宜〞是一脉相承的。参考资料：zhidao~~~因式分解因式分解〔factorization〕因式分解指的是把一个多项式分解为几个整式的积的形式，它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，开展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．而在竞赛上，又有拆项和添项法，待定系数法，双十字相乘法，轮换对称法等．⑴提公因式法①公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。②提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.。am＋bm＋cm＝m〔a+b+c〕③具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的一样的字母，而且各字母的指数取次数最低的.如果多项式的第一项为哪一项负的，一般要提出"－〞号，使括号内的第一项的系数是正的.⑵运用公式法①平方差公式：.a^2－b^2＝(a＋b)(a－b)②完全平方公式：a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2※能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项为哪一项这两个数(或式)的积的2倍.③立方和公式：a^3+b^3＝(a+b)(a^2-ab+b^2).立方差公式：a^3-b^3＝(a-b)(a^2+ab+b^2).④完全立方公式：a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3＝(a±b)^3⑤a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+……+b^(n-2)a+b^(n-1)]a^m+b^m=(a+b)[a^(m-1)-a^(m-2)b+……-b^(m-2)a+b^(m-1)](m为奇数)⑶分组分解法分组分解法：把一个多项式分组后，再进展分解因式的方法.分组分解法必须有明确目的，即分组后，可以直接提公因式或运用公式.⑷拆项、补项法拆项、补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项〔或几项〕，使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进展分解；要注意，必须在与原多项式相等的原那么进展变形.⑸十字相乘法①x^2＋〔pq〕x＋pq型的式子的因式分解这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x^2＋〔pq〕x＋pq＝〔x＋p〕〔x＋q〕②kx^2＋mx＋n型的式子的因式分解如果能够分解成k＝ac，n＝bd，且有ad＋bc＝m时，那么kx^2＋mx＋n＝〔axb〕〔cxd〕a\-----/bac＝kbd＝nc/-----\dad＋bc＝m※多项式因式分解的一般步骤：①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解；④分解因式，必须进展到每一个多项式因式都不能再分解为止。(6)应用因式定理：如果f〔a〕=0，那么f〔x〕必含有因式〔x-a〕。如f〔x〕=x^2+5x+6，f〔-2〕=0，那么可确定〔x+2〕是x^2+5x+6的一个因式。经典例题：1.分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2解：原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1+y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2=[(1+y)+x^2(1-y)+2x]·[(1+y)+x^2(1-y)-2x]=(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1)=[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)]=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)2.证明：对于任何数x,y，下式的值都不会为33x^5+3x^4y-5x^3y^2+4xy^4+12y^5解：原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)当y=0时，原式=x^5不等于33；当y不等于0时，x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不一样，而33不能分成四个以上不同因数的积，所以原命题成立因式分解的十二种方法把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现总结如下：1、提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。例1、分解因式x^3-2x^2-x(2003XX市中考题)x^3-2x^2-x=x(x^2-2x-1)2、应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。例2、分解因式a^2+4ab+4b^2(2003XX市中考题)解：a^2+4ab+4b^2=〔a+2b〕3、分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)例3、分解因式m^2+5n-mn-5m解：m^2+5n-mn-5m=m^2-5m-mn+5n=(m^2-5m)+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4、十字相乘法对于mx^2+px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，那么多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)例4、分解因式7x^2-19x-6分析：1-3722-21=-19解：7x^2-19x-6=〔7x+2〕(x-3)5、配方法对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。例5、分解因式x^2+3x-40解x^2+3x-40=x^2+3x+2.25-42.25=(x+1.5)^2-(6.5)^2=(x+8)(x-5)6、拆、添项法可以把多项式拆成假设干局部，再用进展因式分解。例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)7、换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的一样的局部换成另一个未知数，然后进展因式分解，最后再转换回来。例7、分解因式2x^4-x^3-6x^2-x+28、求根法令多项式f(x)=0,求出其根为x1,x2,x3,……xn,那么多项式可因式分解为f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn)例8、分解因式2x^4+7x^3-2x^2-13x+6解：令f(x)=2x^4+7x^3-2x^2-13x+6=0通过综合除法可知，f(x)=0根为1/2，-3，-2，1那么2x^4+7x^3-2x^2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)9、图像法令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图像，找到函数图像与X轴的交点x1,x2,x3,……xn，那么多项式可因式分解为f(x)=f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn)例9、因式分解x^3+2x^2-5x-6解：令y=x^3+2x^2-5x-6作出其图像，与x轴交点为-3，-1，2那么x^3+2x^2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)10、主元法先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进展因式分解。例10、分解因式a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)分析：此题可选定a为主元，将其按次数从高到低排列解：a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)=a(b-c)-a(b-c)+(bc-cb)=(b-c)[a-a(b+c)+bc]=(b-c)(a-b)(a-c)11、利用特殊值法将2或10代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10复原成x，即得因式分解式。例11、分解因式x^3+9x^2+23x+15解：令x=2，那么x^3+9x^2+23x+15=8+36+46+15=105将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值那么x^3+9x^2+23x+15可能=〔x+1〕〔x+3〕〔x+5〕，验证后确实如此。12、待定系数法首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。例12、分解因式x^4-x^3-5x^2-6x-4分析：易知这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。解：设x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)=x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d)x^2+(ad+bc)x+bd所以解得那么x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x+x+1)(x-2x-4)初学因式分解的"四个注意〞因式分解初见于九年义务教育三年制初中教材"代数"第二册，在初二上学期讲授，但它的内容却渗透于整个中学数学教材之中。学习它，既可以复习初一的整式四那么运算，又为本册下一章分式打好根底；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。其中四个注意，那么必须引起师生的高度重视。因式分解中的四个注意散见于教材第5页和第15页，可用四句话概括如下：首项有负常提负，各项有"公〞先提"公〞，某项提出莫漏1，括号里面分到"底〞。现举数例，说明如下，供参考。例1把－a2－b2＋2ab＋4分解因式。解：－a2－b2＋2ab＋4＝－〔a2－2ab＋b2－4〕＝－〔a－b＋2〕〔a－b－2〕这里的"负〞，指"负号〞。如果多项式的第一项为哪一项负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。防止学生出现诸如－9x2＋4y2＝〔－3x〕2－〔2y〕2＝〔－3x＋2y〕〔－3x－2y〕＝〔3x－2y〕〔3x＋2y〕的错误"如例2△abc的三边a、b、c有如下关系式：－c2＋a2＋2ab－2bc＝0，求证这个三角形是等腰三角形。分析：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进展因式分解。证明：∵－c2＋a2＋2ab－2bc＝0，∴〔a＋c〕〔a－c〕＋2b〔a－c〕＝0，∴〔a－c〕〔a＋2b＋c〕＝0．又∵a、b、c是△abc的三条边，∴a＋2b＋c＞0，∴a－c＝0，即a＝c，△abc为等腰三角形。例3把－12x2ｎyn＋18xn＋2yn＋1－6xnyn－1分解因式。解：－12x2nyn＋18xn＋2yn＋1－6xnyn－1＝－6xnyn－1〔2xny－3x2y2＋1〕这里的"公〞指"公因式〞。如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；这里的"1〞，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1。防止学生出现诸如6p〔x－1〕3－8p2〔x－1〕2＋2p〔1－x〕2＝2p〔x－1〕2［3〔x－1〕－4p］＝2p〔x－1〕2〔3x－4p－3〕的错误。例4在实数范围内把x4－5x2－6分解因式。解：x4－5x2－6＝〔x2＋1〕〔x2－6〕＝〔x2＋1〕〔x＋6〕〔x－6〕这里的"底〞，指分解因式，必须进展到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底，不能半途而废的意思。其中包含提公因式要一次性提"干净〞，不留"尾巴〞，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。防止学生出现诸如4x4y2－5x2y2－9y2＝y2〔4x4－5x2－9〕＝y2〔x2＋1〕〔4x2－9〕的错误。由此看来，因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种根本方法之中，与因式分解的四个步骤或说一般思考顺序的四句话："先看有无公因式，再看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要适宜〞是一脉相承的。双十字相乘法双十字相乘法属于因式分解的一类例：分解因式：x^2+5xy+6y^2+8x+18y+12【分析】：这是一个二次六项式，可考虑使用双十字相乘法进展因式分解解：x2y2①②③x3y6∴原式=〔x+2y+2)(x+3y+6)双十字相乘法其步骤为：⑴先用十字相乘法分解2次项，如十字相乘图①中X^2+5xy+6y^2=(x+2y)(x+3y)⑵先依一个字母〔如y〕的一次系数分数常数项。如十字相乘图②中6y^2+18y+12=(2y+2)(3y+6)⑶再按另一个字母〔如x〕的一次系数进展检验，如十字相乘图③，这一步不能省，否那么容易出错辅助线口诀人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经历。图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接那么成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。平行四边形出现，对称中心等分点。梯形里面作高线，平移一腰试试看。平行移动对角线，补成三角形常见。证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上假设有一切线，切点圆心半径连。切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平分线梦圆如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。假设是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假设图形较分散，对称旋转去实验。根本作图很关键，平时掌握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。几何证题难不难，关键常在辅助线；知中点、作中线，中线处长加倍看；底角倍半角分线，有时也作处长线；线段和差及倍分，延长截取证全等；公共角、公共边，隐含条件须挖掘；全等图形多变换，旋转平移加折叠；中位线、常相连，出现平行就好办；四边形、对角线，比例相似平行线；梯形问题好解决，平移腰、作高线；两腰处长义一点，亦可平移对角线；正余弦、正余切，有了直角就方便；特殊角、特殊边，作出垂线就解决；实际问题莫要慌，数学建模帮你忙；圆中问题也不难，下面我们慢慢谈；弦心距、要垂弦，遇到直径周角连；切点圆心紧相连，切线常把半径添；两圆相切公共线，两圆相交公共弦；切割线，连结弦，两圆三圆连心线；根本图形要熟练，复杂图形多分解；以上规律属一般，灵活应用才方便。