物体的重心
黄 河 水 利职业技术学院 课时授课
授 课 日 期 年 月 日 节 年 月 日 节 年 月 日 节 授 课 班 级 课题与主要 物体的重心及形心
内 容
教学目的 了解物体重心坐标的一般公式及均质物体、平面图形的形心坐标公(((与要求 式。学会计算平面组合图形的形心。 ((((教学重、难点 积分法求解形心位置(难点) (((((4-11(a)(b) 布 置 作 业 (((((教 学 内 容 与 方 法 步 骤 附 记 ((((?4 物体的重心 ((一、重心概念 装本节重点((平行力系的合力的大小即为物体的重量,合力的作用点即为物体的重心。 掌握组合((((二、物体重心坐标公式 截面形心(((1、重心坐标的一般公式 的计算 ((((2、均质物体重心(形心)坐标公式 订3、均质薄壳重心(形心)坐标公式 (((((,A,y,Ax(,,iii(x,y, (cc(,A,A(,,ii线(三、物体重心与形心的计算 (((根据物体的具体形状及特征,可用不同的方法确定其重心及形心的位置。 ((((1、对称法 ((((1)具有一根对称轴的简单物体及图形,其形心必在对称轴上; (((((2)具有两根或两根以上对称轴的物体及图形,其形心在对称轴的交(((点上; (((( (3)中心对称的简单物体及图形,其对称中心便是重心或形心。
2、积分法
dA若将平面图形分割成无穷多个微分面积,在极限情况下用积分公式
3、组合法
工程实际中,有些物体的截面是由若干个简单图形组成的,这种图形
称为组合图形,这些截面称为组合截面。由于简单图形的面积及形心一般是已知的,因此计算组合截面的形心时可以利用这些已知结果。
教学方法教 学 内 容 与手段 ?4 物体的重心
在工程中,物体重心的位置具有重要意义。例如挡土墙、重力坝、起 重机的抗倾覆稳定性问题,都与它们的重心位置有关,高速运转部件的重
心如果不在轴线上,将引起机械的剧烈震动,因此必须了解重心的概念和重心位置的求法。 一、重心概念 在地球
面附近的物体,它的每一部分都受到地球引力的作用,这些平行力系引力汇交于地球的中心,形成一个空间汇交力系,但由于我们所研究的物重心、形体其尺寸与地球的直径相比要小得多,因此可以近似地将物体上这部分力心、重心对系看作是空间平行力系,这个平行力系的合力的大小即为物体的重量,合于物体的力的作用点即为物体的重心。 相对位置二、物体重心坐标公式 的不变性1、重心坐标的一般公式 等概念要将物体分成许多微小部分n份 阐述清楚
各微小部分所受到的地球引力(重力)以表示 ,F,F,,,,FG1G2Gn
各微小部分作用点坐标为 (xyz)(xyz),,,(xyz)111222nnn
n
则物体的重量为 F,,F,,F,,GGiGin,1
重心的坐标用(x,y,z)表示,根据空间力系的合力矩定理,对xCCC 轴取矩,则
M(,F),,F,y,,F,y,,,,,,F,y,,F,y,,xGG11G22GnnGii
M(F),,F,y,F,y ,xGGcGc
F,y,,F,y因 ,ccGii
,F,y,F,y,,GiiGiiy,,则 c F,F,GGi
,F,x,F,x,,GiiGii同理 x,,c F,F,GGi
,F,z,F,z,,GiiGii z,, cF,F,GGi
物体连同坐标轴转90度,而使坐标面oxz成为水平面,由重心的概念
知,此物体重心的位置不变,再对x轴应用合力矩定理求Z。 c
体积为V。假想把物体分割成许多微小体积ΔV,每个微小体积所受的i
重力为ΔF=γΔV,其作用点坐标为(x,y,z)。整个物体所受的重力Giiiii 为F=??F。应用合力矩定理可以推导出物体重心的近似公式 GGi 2、均质物体重心(形心)坐标公式
对于均质物体(常把同一材料制成的物体称为均质物体),其容重γ为
常量(物体每单位体积的重量),各微小部分的体积为,,V,V,,,,V12n
V整个物体的体积为
则有 ,F,,V,,F,,V,,,,,F,,V,G11C2Gnn
F,,F,V, ,GGi
,,V,x,Vx,,iiii得 x,, c,V,,V,,i
,,V,y,Vy,,iiii y,, c,V,,V,,i
,,V,z,Vz,,iiiiz,, c ,V,,V,,i
由上可知:?均质物体重心完全决定于物体的几何形状,而与物体的
重量无关。?由物体的几何形状及尺寸所决定的物体的几何中心,称为形
心,上式也是物体形心的坐标公式。?对于均质物体来说,形心与重心重 合。
3、均质薄壳重心(形心)坐标公式
由于薄壳的厚度远小于其它两个方向尺寸,可忽略厚度不计,
,V,,At,V,,At,,,,V,,At则 112nn
,V,,At ,,ii
,Vx,At,x,Ax,,,iiiiii故形心公式为 x,,,c ,V,At,A,,,ii
,A,y,Vy,At,y,,,iiiii y,,, c,V,At,A,,,ii
三、物体重心与形心的计算
根据物体的具体形状及特征,可用不同的方法确定其重心及形心的位 置。 1、对称法
对于形状比较规则的物体及图形,其重心及形心可根据对称性直接判断。
(1)具有一根对称轴的简单物体及图形,其形心必在对称轴上;
(2)具有两根或两根以上对称轴的物体及图形,其形心在对称轴的交 点上;
(3)中心对称的简单物体及图形,其对称中心便是重心或形心。
2、积分法
dA若将平面图形分割成无穷多个微分面积,在极限情况下,上式写成:
xdAydA,,AA x,y, CCdAdA,, AA
3、组合法 着重说明
工程实际中,有些物体的截面是由若干个简单图形组成的,例如梯形组合法求可以认为是由两个三角形(或一个矩形、一个三角形)组成的,T形截面是形心位置 由两个矩形组成的,这种图形称为组合图形,这些截面称为组合截面。由 于简单图形的面积及形心一般是已知的,因此计算组合截面的形心时可以利用这些已知结果。
n
Ax,iiAx,Ax,??,Axnni1122,1 ,,xCn,,??,AAAn12A,ii,1
n
Ay,iiAyAyAy??,,,1122,1nniy ,,CnAA??A,,,12nA,i,1i例1:求图示槽形形心的位置。
解:=0 xC
15,7.5,3.75,10,5,2.5==4.75cm yC15,7.5,10,2.5
说明:1、辅助坐标的建立
2、负面积法
例2、求图示T形形心的位置。
x解:=0 C
10,60,5,40,20,30y,,19.3cmc10,6,40,20
10,60,0,40,20,25y,,14.3cm c10,60,40,20
40,20,20,60,10,45y,,30.7cmc10,60,40,20