高中数学选修2-2金版教程本册综合检测

一、选择：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1．数列1,4,7,10，…的一个通项公式为(　　) A．an＝4n　　　 B．an＝3n－2 C．an＝3n＋1 D．an＝4n＋2 解析：由4－1＝7－4＝10－7＝3，猜想数列为等差数列且公差为3， ∴数列的一个通项公式为an＝3n－2. ：B 2．(2009·辽宁高考)已知复数z＝1－2i，那么eq \f(1,z)等于(　　) A.eq \f(\r(5),5)＋eq \f(2\r(5),5)i B.eq \f(\r(5),5)－eq \f(2\r(5),5)i C.eq \f(1,5)＋eq \f(2,5)i D.eq \f(1,5)－eq \f(2,5)i 解析：eq \f(1,z)＝eq \f(1,1－2i)＝eq \f(1,5)＋eq \f(2,5)i. 答案：C 3．函数y＝(sinx2)3的导数是(　　) A．y′＝3xsinx2·sin2x2 B．y′＝3(sinx2)2 C．y′＝3(sinx2)2cosx2 D．y′＝6sinx2cosx2 解析：y′＝[(sinx2)3]′＝3(sinx2)2·(sinx2)′＝3(sinx2)2·cosx2·2x＝3×2sinx2·cosx2·x·sinx2＝3x·sinx2·sin2x2，故选A. 答案：A 4．设f(x)为可导函数，且满足条件eq \o(lim,\s\do4(x→0)) eq \f(f(x＋1)－f(1),2x)＝3，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为(　　) A.eq \f(3,2) B．3 C．6 D．无法确定 解析：∵eq \o(lim,\s\do4(x→0)) eq \f(f(x＋1)－f(1),2x)＝eq \f(1,2) eq \o(lim,\s\do4(x→0)) eq \f(f(x＋1)－f(1),x)＝eq \f(1,2)f′(1)＝3， ∴f′(1)＝6. 答案：C 5．观察下列各等式：eq \f(5,5－4)＋eq \f(3,3－4)＝2，eq \f(2,2－4)＋eq \f(6,6－4)＝2，eq \f(7,7－4)＋eq \f(1,1－4)＝2，eq \f(10,10－4)＋eq \f(－2,－2－4)＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为(　　) A.eq \f(n,n－4)＋eq \f(8－n,(8－n)－4)＝2 B.eq \f(n＋1,(n＋1)－4)＋eq \f((n＋1)＋5,(n＋1)－4)＝2 C.eq \f(n,n－4)＋eq \f(n＋4,(n＋4)－4)＝2 D.eq \f(n＋1,(n＋1)－4)＋eq \f(n＋5,(n＋5)－4)＝2 答案：A 6．已知函数y＝xf′(x)的图象如下图所示，其中f′(x)是函数f(x)的导函数，函数y＝f(x)的图象大致是图中的(　　) 解析：由y＝xf′(x)的图象可得当x<－1时，f′(x)>0，所以当x<－1时f(x)为增函数；当－11时，f′(x)>0，所以f(x)在(1，＋∞)上增函数，所以选择C. 答案：C 7．物体在地球上做自由落体运动时，下落距离s＝eq \f(1,2)·gt2，其中t为经历的时间，g＝9.8 m/s2，若v＝ eq \f(s(1＋Δt)－s(1),Δt)＝9.8m/s，则下列说法正确的是(　　) A．0～1 s时间段内的速度为9.8 m/s B．在1 s～(1＋Δt) s时间段内的速度为9.8 m/s C．在1 s末的速度为9.8 m/s D．若Δt>0，则9.8 m/s是1 s～(1＋Δt)s时间段的速度，若Δt<0，则9.8 m/s是(1＋Δt)s～1 s时间段的速度 解析：由导数的定义和几何意义可知，v＝ eq \f(s(1＋Δt)－s(1),Δt)＝s′(t)|t＝1＝9.8 m/s，即物体在t＝1时的瞬时速度，即在1 s末的速度．故选C. 答案：C 8．△ABC内有任意三点不共线的2010个点，加上A、B、C三个顶点，共2013个点，把这2013个点连线形成互不重叠的小三角形，则一共可以形成小三角形的个数为(　　) A．4021 B．4022 C．4023 D．4027 解析：由题设条件知三角形内一个点，比原来多出两个三角形，如下图所示，由观察

分析

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知an＋1－an＝2(an

表

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示三角形内部有n个点时，组成不重叠的小三角形的个数)，∴数列{an}是首项为3，公差为2的等差数列． ∴an＝2n＋1(n∈N*)． ∴a2010＝2×2010＋1＝4021.故选A. 答案：A 9．若f(x)＝eq \f(lnx,x)，0f(b) B．f(a)＝f(b) C．f(a)1 解析：f′(x)＝eq \f(1－lnx,x2)，在(0，e)上f′(x)>0， ∴f(x)在(0，e)上为增函数． ∴f(a)0. (1)当m＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率； (2)求函数f(x)的单调区间与极值． 解：(1)当m＝1时，f(x)＝－eq \f(1,3)x3＋x2，f′(x)＝－x2＋2x，故f′(1)＝1. 所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为1. (2)f′(x)＝－x2＋2x＋m2－1. 令f′(x)＝0，解得x＝1－m，或x＝1＋m. 因为m>0，所以1＋m>1－m. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，1－m) 1－m (1－m，1＋m) 1＋m (1＋m，＋∞) f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x)  极小值 极大值 所以f(x)在(－∞，1－m)，(1＋m，＋∞)内是减函数，在(1－m,1＋m)内是增函数． 函数f(x)在x＝1－m处取得极小值f(1－m)，且f(1－m)＝－eq \f(2,3)m3＋m2－eq \f(1,3). 函数f(x)在x＝1＋m处取得极大值f(1＋m)，且f(1＋m)＝eq \f(2,3)m3＋m2－eq \f(1,3). 19．(本小题满分12分)在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是一个平行四边形，eq \o(AB,\s\up6(→))＝(2，－1，－4)，eq \o(AD,\s\up6(→))＝(4,2,0)，eq \o(AP,\s\up6(→))＝(－1,2，－1)． (1)求证：PA⊥底面ABCD； (2)求四棱锥P－ABCD的体积； (3)对于向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，c＝(x3，y3，z3)，定义一种运算： (a×b)·c＝x1y2z3＋x2y3z1＋x3y1z2－x1y3z2－x2y1z3－x3y2z1. 试计算(eq \o(AB,\s\up6(→))×eq \o(AD,\s\up6(→)))·eq \o(AP,\s\up6(→))的绝对值的值；说明其与四棱锥P－ABCD体积的关系，并由此猜想向量这一运算(eq \o(AB,\s\up6(→))×eq \o(AD,\s\up6(→)))·eq \o(AP,\s\up6(→))的绝对值的几何意义． 解：(1)∵eq \o(AP,\s\up6(→))·eq \o(AB,\s\up6(→))＝－2－2＋4＝0， ∴AP⊥AB. 又∵eq \o(AP,\s\up6(→))·eq \o(AD,\s\up6(→))＝－4＋4＋0＝0， ∴AP⊥AD. ∵AB、AD是底面ABCD上的两条相交直线， ∴AP⊥底面ABCD. (2)设eq \o(AB,\s\up6(→))与eq \o(AD,\s\up6(→))的夹角为θ，则 cosθ＝eq \f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AD,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|·|\o(AD,\s\up6(→))|)＝eq \f(8－2,\r(4＋1＋16)·\r(16＋4))＝eq \f(3,\r(105)). V＝eq \f(1,3)|eq \o(AB,\s\up6(→))|·|eq \o(AD,\s\up6(→))|·sinθ·|eq \o(AP,\s\up6(→))| ＝eq \f(2,3) eq \r(105)·eq \r(1－\f(9,105))·eq \r(1＋4＋1)＝16. (3)|(eq \o(AB,\s\up6(→))×eq \o(AD,\s\up6(→)))·eq \o(AP,\s\up6(→))|＝|－4－32－4－8|＝48，它是四棱锥P－ABCD体积的3倍． 猜测：|(eq \o(AB,\s\up6(→))×eq \o(AD,\s\up6(→)))·eq \o(AP,\s\up6(→))|在几何上可表示以AB、AD、AP为棱的平行六面体的体积(或以AB、AD、AP为棱的直四棱柱的体积)． 20．(本小题满分12分)统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y＝eq \f(1,128000)x3－eq \f(3,80)x＋8(00，h(x)是增函数． ∵当x＝80时，h(x)取到极小值h(80)＝11.25. ∴h(x)在(0,120]上只有一个极值， ∵它是最小值， 即当汽车以80千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升． 21．(本小题满分12分)(2009·安徽高考)已知函数f(x)＝x－eq \f(2,x)＋1－alnx，a>0. (1)讨论f(x)的单调性； (2)设a＝3，求f(x)在区间[1，e2]上的值域，其中e＝2.71828…是自然对数的底数． 解：(1)f(x)的定义域是(0，＋∞)，导函数f′(x)＝1＋eq \f(2,x2)－eq \f(a,x)＝eq \f(x2－ax＋2,x2). 设g(x)＝x2－ax＋2，二次方程g(x)＝0的判别式Δ＝a2－8. ①当Δ<0即00都有f′(x)>0. 此时f(x)是(0，＋∞)上的单调递增函数． ②当Δ＝0即a＝2eq \r(2)时，仅对x＝eq \r(2)有f′(x)＝0，对其余的x>0都有f′(x)>0. 此时f(x)也是(0，＋∞)上的单调递增函数． ③当Δ>0即a>2eq \r(2)时，方程g(x)＝0有两个不同的实根， x1＝eq \f(a－\r(a2－8),2)，x2＝eq \f(a＋\r(a2－8),2)，0