计量经济学\第3章(3)多元线性回归模型的置信区间

§3.3多元线性回归模型的区间估计IntervalEstimationofMultipleLinearRegressionModel多元线性回归模型的置信区间问题,包括参数的置信区间和被解释变量预测期实际值的置信区间两个方面，在数理统计学中属于区间估计问题。所谓区间估计，就是用一个取值区间来表达对总体参数的估计。该数值区间称为总体参数的置信区间（confidenceinterval）。该数值区间将总体参数包含在内的概率称为置信水平（confidencecoefficient）。线性回归模型的参数估计量是随机变量，利用一次抽样的样本观测值，估计得到的只是参数的一个点估计值。如果用参数的一个点估计值近似代表参数值，那么，二者的“接近”程度如何？以多大的概率达到该接近程度？1.问题的提出一、参数的置信区间（教材P78-79）为回答上面的问题，这就要构造一个以参数的点估计值为中心的区间（称为置信区间），该区间以一定的概率（称为置信水平）包含该参数。如：可见，参数j的区间估计，关键是求出与置信水平（1-）相对应的a。2.参数置信区间的推导（教材P49、P79）在实际应用中，我们当然希望置信水平越高越好，置信区间越小越好。问题那么，在保持置信水平不变的情况下，怎样才能缩小置信区间？3.如何缩小参数的置信区间（教材P49、P79）1.问题的提出（注意教材P79-80的某些表述不准确）二、被解释变量预测期实际值的区间估计于是，又是一个区间估计问题。但是，严格地说，我们得到的仅仅是预测期实际值的一个点估计值,而不是对应于X0的真实的Y0。原因在于两方面：一是模型中的参数估计量是不确定的，随样本的不同而不同；二是随机项0的影响。这样，以该估计值（点估计值）为中心的一个区间仅以某一个置信水平将预测期的实际值Y0包含在内。2.被解释变量预测期实际值Y0的置信区间(教材P80)如果已知被解释变量的预测期实际值Y0，那么预测误差为：容易证明（教材P80）：所以∵N=(1,2,…,n)′是样本期的，而0是预测期的，故二者独立!取e0的方差的估计量为构造统计量～这就是说，当给定解释变量值X0后，该区间将以（1-）的置信水平包含被解释变量的实际值Y0。[见教材P80的公式（3.4.2）]于是，预测误差e0的差为注意通常情况下，预测误差e0的标准差也记作此即教材P52的公式（2.5.8）、P81的公式（3.4.2）。对于一元线性回归预测，有对于二元线性回归预测，有（教材P52）注意，这里的X0=（1X0）这里的X0=（1X01X02）从最后这个式子我们不难看出，对于二元线性回归，小代数公式已非常复杂，而矩阵公式则非常简单。3.被解释变量预测期的均值E(Y0)的置信区间同理，在(1-)的置信水平下，可得被解释变量的均值E(Y0)的置信区间（见教材P80）：对于一元线性回归预测，有对于二元线性回归预测，有(教材P51)注意，这里的X0=（1X0）这里的X0=（1X10X20）同理，从最后这个式子我们不难看出，对于二元线性回归，小代数公式已非常复杂，而矩阵公式则非常简单。4.一点启示计量经济学模型用于预测时，必须科学地描述预测结果。如果要求给出一个“准确”的预测值，那么该预测值的置信度为0。如果要求以100%的置信度给出区间，那么该区间是（-∞，+∞）。模型研制者的任务是：在一定的置信概率下，尽可能地缩小置信区间。5.如何缩小Y0或E(Y0)的置信区间（与教材P79类似）1、由样本观测值（Yi，Xi1，Xi2，…，Xik），（i=1,2,…,n），写出对于一元回归：对于二元回归：三、多元线性回归模型的计算步骤及主要公式（矩阵形式，适当了解）3、计算OLS估计量4、计算残差平方和5、计算随机误差项的方差的估计量注：潘文卿等《计量经济学习题集》P49给出了该式的证明。6、进行拟合优度检验（计算多重可决系数和调整后的多重可决系数）7、计算参数估计量的标准差（j=0,1,2,…,k）8、进行F检验和t检验9、在X=X0处进行点预测和区间预测其中其中例：设某中心城市对各地区的商品流出量Y取决于各地区的社会商品购买力X1以及各地区对该市的商品流入量X2，即可能有如下总体回归模型：在下列样本中进行回归分析：解：（下面仅给出了主要计算结果，不是规范的作题步骤！）（2）拟合优度检验：（3）方程显著性检验（F检验）：查表，在5%的显著性水平下，临界值F0.05(2,5)=5.79。因为通过样本计算的F值（=18.06）大于临界值F0.05(2,5)，因此，模型的线性关系总体上是显著的。（4）参数显著性检验（t检验）对参数0、1、2分别作t检验：查表，在5%的显著水平下，t0.05/2=2.571。这说明，各地区商品流入量X2不是重要的影响因素，而各地区社会商品购买力X1则是重要的影响因素。在原模型中删去X2，重新建立模型：利用表中资料通过OLS法得到的回归结果如下：t：（0.4128）（6.540）R2=0.8774F=42.9544Eviews软件输出（1）模型中包括x1与x2：（2）模型中仅包括x1