习题一 质点运动学(答案)

习题一  质点运动学 院 系：              班 级:_____________  姓 名:___________ 班级个人序号:______ 一 选择题 1．某人骑自行车以速率v向西行驶，今有风以相同速率从北偏东30°方向吹来，试问人感到风从哪个方向吹来？［ C  ］  (A) 北偏东30°． (B) 南偏东30°．(C) 北偏西30°．(D) 西偏南30°． 2.在相对地面静止的坐标系内，A、B二船都以2 m/s速率匀速行驶，A船沿x轴正向，B船沿y轴正向．今在A船上设置与静止坐标系方向相同的坐标系(x、y方向单位矢用 、 表示)，那么在A船上的坐标系中，B船的速度（以m/s为单位）为［ B ］ (A) 2 ＋2 ．      (B) 2 ＋2 ．      (C) －2 －2 ．    (D) 2 －2 ．  3. 水平地面上放一物体A，它与地面间的滑动摩擦系数为 ．现加一恒力 如图所示．欲使物体A有最大加速度，则恒力 与水平方向夹角 应满足 (A) sinθ＝μ．      (B) cosθ＝μ．                (C) tgθ＝μ．      (D) ctgθ＝μ．［ C ］ 4． 一质点沿x轴运动的规律是 （SI制）。则前三秒内它的  [ D ] （A）位移和路程都是3m；            （B）位移和路程都是-3m； （C）位移是-3m，路程是3m；            （D）位移是-3m，路程是5m。 解：        ，令 ，得 。即 时x取极值而返回。所以： 5． 一细直杆AB，竖直靠在墙壁上，B端沿水平方向以速度 滑离墙壁，则当细杆运动到图示位置时，细杆中点C的速度    [ D ]                              （A）大小为 ，方向与B端运动方向相同； （B）大小为 ，方向与A端运动方向相同； （C）大小为 , 方向沿杆身方向； （D）大小为 ，方向与水平方向成 角。 解：对C点有 位置： ； 速度： ；所以， . （B点： ）。 二、填空题 1． 一物体作如图所示的斜抛运动，测得在轨道P点处速度大小为v，其方向与水平方向成30°角。则物体在P点的切向加速度 aτ =              ，轨道的曲率半径 =                。 答案： ； 。 解：   。又因 ，所以  2． 一质点在xy平面内运动，其运动学方程为 ，其中 分别以米和 秒为单位，则从t = 1秒到t = 3秒质点的位移为                ；t =2秒时质点的加速 度为            ；质点的轨迹方程是                           。 答案： ； ； 。 解：    ，    ，消去时间t得 。 3. 一质点沿半径为R的圆周运动，运动学方程为 ，其中 都是常数，t 时刻，质点的加速度矢量                     ；加速度大小为b时，质点沿圆周运行的圈数为            。 答案： ； 。 解：        （1） ， （2）        令 ， 得 ， 得 4．火车静止时，侧窗上雨滴轨迹向前倾斜 角。火车以某一速度匀速前进时，侧窗上雨滴轨迹向后倾斜 角，火车加快以另一速度前进时，侧窗上雨滴轨迹向后倾斜 角，火车加速前后的速度之比为                  。 答案： 解：设 为火车静止时观察到的雨滴的速度，已知其倾角为 （这也是雨滴相对地面的速度和倾角）。设火车以 行驶时，雨滴相对火车的速度为 ，已知其倾角为 ，根据伽利略变换： 同理，火车以 行驶时，雨滴相对火车的速度为 ，已知其倾角为 ，所以 (1)  ；                (2) (3)  ；                (4) 联立（1）（2）式得 ，  联立（3）（4）式得 ，  所以，火车加速前后速度之比为 5.一质点沿半径为0.1m的圆周运动，其用角坐标表示的运动学方程为 ， 的单位为rad，t 的单位为s。问t = 2s时，质点的切向加速度          ；法向加速度          ； 等于        rad时，质点的加速度和半径的夹角为45°。 答案： ； ； 。 解：（1） ， ； ， 。 t = 2s时， ， （2）设 时， 和半径夹角为45°，此时 ，即 ，得 所以                6.距河岸(看成直线)500 m处有一艘静止的船，船上的探照灯以转速为n =1 r/min转动．当光束与岸边成60°角时，光束沿岸边移动的速度v =__________．69.8 m/s 三 计算题 1．一质点由静止开始做直线运动，初始加速度为 ，以后加速度均匀增加，每经过 秒增加 ，求经过t秒后质点的速度和位移。 答案： ； 。 由题意可知，角速度和时间的关系为        根据直线运动加速度定义            时刻， 所以    又 ，所以    时刻， 所以        2．一质点以初速度 作一维运动，所受阻力与其速率成正比，试求当质点速率为 时，质点经过的距离与质点所能行经的总距离之比。 答案： 。 解：质点作一维运动。初始条件： 时， ， 。又由题意，质点的加速度可表示为 式中，k为大于零的常数。 解法一：由加速度的定义有 分离变量                        由初始条件 时 ，有 积分得 所以                        由初始条件 时 ，积分得 上式可写为                    其中， 为质点所能行经的最大距离。 联立式（1）和式（2），得        故                        将 代入上式，得    解法二：由加速度的定义，并作变量替换有 即                                由初始条件 时 ，有 积分得 由上式得 。故当 时， 又由 及式（3），有            由初始条件 时 ，积分得 即                                可见，质点所能行经的最大距离为        故当 时，由式（4）及上式得 3．在离水面高度为h的岸边，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸边s距离处，当人以速率v0匀速收绳时，试求船的速率和加速度大小。 答案： ； 。 解：建立如图所示的坐标系。 根据题意可得 由上图可得 船的速率 船的加速度大小 当            x = s时， ， 4．如图，一超音速歼击机在高空 A 时的水平速率为1940 km/h，沿近似于圆弧的曲线俯冲到点B，其速率为2192 km/h，所经历的时间为3s，设圆弧 AB的半径约为3.5km，且飞机从A 到B 的俯冲过程可视为匀变速率圆周运动，若不计重力加速度的影响，求：（1）飞机在点B 的加速度；（2）飞机由点A 到点B 所经历的路程。 答案：（1） ，与法向成 角；（2） 。 解：（1）因飞机作匀变速率运动，所以 和 为常量 ， ， 已知 ， ， ，所以    在点 B 的法向加速度        在点 B 的总加速度大小    与法向之间夹角            （2）在时间t内矢径 所转过的角度为    飞机经过的路程为    5．如图所示，一条宽度为d的小河，已知河水的流速随着离开河岸的距离成正比地增加，靠两岸边河水的流速为零，而在河中心处流速最大，为 。现有一人以不变的划船速度u沿垂直于水流方向从岸边划船渡河，试求小船到达河心之前的运动轨迹。 答案： ，即运动轨迹为抛物线。 解：以河岸为参照系，建立如图所示的直角坐标。根据题意，初始条件为 时， ， ， 。 又根据题意，当 时，水流速度可表示为 ， 且当 时， 。故  即                            对小船有 ，    利用前面各式及初始条件，对上两式分别积分，得 ，    联立消去t，得 上式即为小船渡河的运动轨迹方程，为一抛物线。 注意，上式是小船划至河中心之前的轨迹方程。当 时，水流速度应为 此时有 ，    根据前半部的计算结果知，在河心，即 时， ， 。 以此为新的初始条件代入，积分 可解得，当 时 可见小船运动轨迹仍为抛物线。