2013年天津市大学数学竞赛试题参考解答及评分标准(理工类)

2013年天津市大学生数学竞赛试参考 及评分（理工类） 一． 填空题（本小题15分，每小题3分）； 1. 已知 则其中的常数 2. 设函数 在区间 上有连续的二阶导数， ，a>0且 在x=a处取得极大值 ，则积分 3. 4. 设抛物线 上一点P的横坐标为c（c>2），点Q（c，0）.如图，直线 和 与弧 围城的图形为 ，三角形OPQ记为 ， 和 绕x轴旋转一周所成旋转体的体积分别为 和 .当 时， = . 5. 设 连续且 ，空间区 则 二． 选择题（本小题15分，每小题3分） 1. 设 则 (A)       (B) (C)       (D) 在点x=0处不可导.          【B】 2.设 ， 都是区间 上恒大于零的可导函数，且 则当 时，必有 (A)       (B) (C)       (D) 【A】 3.设 则 (A)         (B)         (C)0        (D)2                【D】 4.以下积分 的是 (A)     (B) (C)       (D) 【C】 5.如图，半径不相等的两个木质球体，分别在中间钻出一个以球体直径为轴的圆柱形洞，使得剩下的两个环状立体A和B的高都等于h.通过计算，正确的结论是 (A) A的体积等于B的体积          (B)A的体积小于B的体积 (C)A的体积大于B的体积          (D)不能判断，A与B体积的大小与球半径有关【A】 三．设 ， 。求极限 解法1： = = = = = = 解法2： = = = 四．求不定积分 解：令 ，（ ），则 = = = = = 五．设 是由方程 确定的隐函数. （1）证明 是单调增加的；（2）求 . （1）证方程两端对x求导，得 即 因为 所以 是单调增加的. （2）解：由于 是单调增加的，故当 有上界时， （a为某常数）；当 无上界时 . 假若 ，由于 且广义积分 收敛，令 ，由上式可得 矛盾. 因此，只有 ，从而得 六．设曲线 的参数方程为 (1)在曲线 上哪些点处的切线与平面 平行，并写出对应的切向量. (2)求(1)中两条切线之间的距离.(注意两个切线之间的距离指它们的公垂线段的长度.) 解：（1）由曲线的参数方程，得到 已知平面的法向量 由题设 即 解得 在曲线上得到两个点 在此两点处的切线与平面 平行，对应的切向量分别为 （2）解法1 由（1）可得 =(-12,0,-4)=-4(3,0,1), , = 于是，（1）中两个切线之间的距离 解法2：通过点 作平行于已知平面 的平面 ，其方程为 显然，通过点 的切线在平面 上，通过点 的切线平行于平面 ，故两切线之间的距离就是点 到平面 的距离，即 七．设 是区间 上具有二阶导数的非负函数，且 若 证明 证明：令 则 且 =     再求导 由题设 在区间 上应用微分中值定理，存在 使得 又因为题设 于是 .  所以 在区间 单调增加，因此当 时，有 .由此又得到 在区间 单调增加，故 ,即 八．求正数a的取值范围，使得曲线 . 解：曲线 的充分必要条件是：存在 使得 ，即 也即a属于函数 的值域.  由于 所以只需要求出 的最大值A，那么 的值域就是 令 可得 的唯一驻点就是x=e. 当 当 时， 因此， 为 在 内的最大值. 因此，曲线 与直线 相交的充分必要条件是，a必须要满足 . 九．设曲面 是由直线段 绕z轴旋转而得. （1）试推导 的直角坐标方程；（2）如果 是 与平面 所围成的立体，其密度为 求 的质量. 解：（1）设 M是 旋转而得， 上的点 对应于参数t，故 而 故 的方程是 即 （2）空间区域 其中 因此， 的质量 = 十．设有曲线 ： （n为正整数）， 为 的长.证明 （提示：对于 应用极限的夹逼准则.） 解：如图，设曲线 与x轴的交点为A， 与直线 的交点为 ，则点 的坐标为 曲线 在点A到点 间的曲线段的弧长记为 .由对称性，只需证明 在开区间 内，求由方程 所确定的隐函数的导数，得 由弧长计算公式 == = 另一方面，又有 = （ ）.于是由极限的夹逼准则， 因此 十一.计算曲线积分 其中函数f（x）有连续导数，AB是有点 到点 的有向线段. 解：令 经计算 故曲线积分与路径无关.因此，选择如下积分路径：先从点 沿着平行于x轴的直线到点 再从点 沿着平行于y轴的直线到点 . = = = .  令 则 因此： 十二.设流速场 求流体沿空间闭曲线 的环流量 = 其中 是由两个球面 与 的交线，从z轴的正向看去， 为逆时针方向. 解：由 与 得 取 为平面 （上侧）被闭曲线 所围成的圆的内部，因原点到平面 的距离为 故闭曲线 是半径为 的圆. 的单位法向量为 应用Stokes公式 =