《数学奥林匹克报》 www.mathoe.com
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2011 第 7 届北方数学奥林匹克
2011 年 7 月 27 日吉林大学附属中学 9∶00~12∶00
1、已知数列{ }na 的通项 ( )23 2 nna = + ,n N +∈ ,设 1n n
n
b a
a
= + 。
(1)试求 2nb + , 1nb + , nb 之间的递推关系;(2)求 2001a 的整数部分的个位数字。
2、如图,△ ABC的内切圆分别切BC、CA、 AB于D、E、 F 点,P为内切圆内一点,
线段 PA、 PB、PC分别交内切圆于点 X 、Y 、Z 。
求证: XD、YE、 ZF三条直线相交于一点。
Z
Y
X
E
D
F
A
B C
P
3、求不定方程 21 2 7x y z+ ⋅ = 的全部正整数解 ( ), ,x y z 。
4、设n个集合是集合 1A, 2A ,……, nA 是集合 { }1, 2,3, , 29A = " 的一个分划,
且 iA( i=1,2,……, n)中任意个元素之和都不等于 30,求n的最小可能值。
注:若集合 A的非空子集 1A , 2A ,……, nA ( n N +∈ , n≥2)满足: i jA A =∅∩ ( i≠ j ),且
1 2 nA A A A=∪ ∪"∪ ,则称 1A, 2A ,……, nA 是集合 A的一个分划。
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2011 第 7 届北方数学奥林匹克
2011 年 7 月 28 日吉林大学附属中学 9∶00~12∶00
5、若正整数a,b, c满足 2 2 2a b c+ = ,则称 ( ), ,a b c 为勾股数组。求含有 30 的所有勾股数组。
6、如图,过点P引圆O的切线PA和割线 PBC , AD⊥PO,垂足为D。
求证: AC是△ ABD外接圆的切线。
B
D O
A
P
C
7、在△ ABC中,求证: 2 2 2 2 2 2
1 1 1
1 cos cos 1 cos cos 1 cos cosA B B C C A
+ ++ + + + + + ≤2。
8、已知n是正整数,实数 x满足 ( )1 2 3 1n n x x− − − − − − =" 。求 x的值。