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"#
"$
!""#!" $#$%" %&&
统计与决策
第三步!求决策系数 !""
如果 ##########$#$ 个群体的人数各
占消费者总人数的比例为$
%&’()(*! %+,()+! -.,().!
-/,()01! -1,()0
则有$
!2,
3
4 , 5
!627849%4,627829%2:6278+9%+:6278.9
%.:6278/9%/:627819%1
,627;(9<()(1:6271(9<()+:627/(9().:62
7+(9<()+1:6272(9<()+
查图 / 知$62 7;(9,2=62 71(9,()>+1!62
7/(9,()1 !627+(9,()/ !6272(9,()2+1=则有$
!2,2<()(1:()>+1<()+:()1<().:()/<()+1:
()2+1<()+,()/1
!2 表示对产品按%高&认知灰类"2
的归纳结果"再按%中&认知灰类"+归纳
得$
!+,
3
4 , 5
!6+7849-4,6+78+9-+:6+78.9-.:6+78/9
-/:6+7819-1
,6+7;(9<()(1:6+71(9<()+:6+7/(9<().:6+
7+(9<()+1:6+72(9<()+
,(<()(1:()?1<()+:2<().:()1<()+1:
()+1<()+,()>+1
关于商品的认知价格按%低&认知灰
类".进行归纳得$
!.,
3
4 , #
!6.7849-4
,6.7829-2:6.78+9-+:6.78.9-.:6.78/9-/:6.
7819-1
,6.7;(9<()(1:6.71(9<()+:6.7/(9<().:6.
7+(9<()+1:6.72(9<()+
,(<()(1:(<()+:(<().:2<()+1:2<
()+,()/1
第四步!求决策权$
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!!",()/1:()>+1:()/1,2)1?1
!2’商品按%高&灰类认知价格的权(
为$!2,
!2
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()/1
2)1?1 ,()+;>
!+’商品按%中&灰类认知价格的权(
为$!+,
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()>+1
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!.’商品按%低&灰类认知价格的权(
为$!.,
!.
! ,
()/*
2)*?* ,()+;>
第五步!构造决策行$
!,A!2!+!.B,A()+;> ().@? ()+;>B
%高& %中& %低&
第六步!确定类别$
因为 !+大于 !2#!.!所以对该产品消
费者的整体意见是属于中等价格的商品"
三!结论
在灰色统计中! 决策行显示了价格
属于各个灰类的权" 这说明灰色统计的
方法是通过一种格局来表达决策对象的
态势! 企业可以根据计算得到的价格类
型和权重来判断和选择价格" 这正是它
优于普通算术平均值统计方法的地方"
!作者单位!深圳大学管理学院"
"责任编辑 %易永生#
一!伯特兰德模型简介
假设市场上有两个生产同类产品的
厂商 2 和厂商 +!但在品牌#质量和包装
等方面有所不同" 两厂商的需求函数分
别为$
C2,D2EF2G2:82G+HC+,D+EF+G+:8+G2
其中 82I(=8+I(= 分别反映一种产品
对另一种产品的替代程度)F2I(=F+I(=分
别表示两种产品产量对各自价格的敏感
程度"假定两厂商无固定成本!边际成本
分别为 J2和 J+!两厂商同时决策"
双方的得益即利润分别为$
K2,G2C2EJ2C2,7G2EJ297D2EF2G2:82G+9
K+,G+C+EJ+C+,7G+EJ+97D+EF+G+:8+G29
利用上述得益函数在偏导数为 ( 时
有最大值! 容易求得两厂商的反应函数
分别为$
G2, D2:F2J2:82G++F2
)G+, D+:F+J+:8+G2+F+
纳什均衡为$
G2L, 827D+:F+J+9/F2F+E828+
: +F+7D2:F2J29/F2F+E828+
H
G+L, 8+7D2:F2J29/F2F+E828+
: +F27D+:F+J+9/F2F+E828+
H
在产品是同质的假设条件下! 如果
厂商竞争的不是产量而是价格! 伯特兰
德证明了即使只有两个厂商! 在均衡情
况下!价格等于边际成本!厂商的利润为
零! 与完全竞争市场均衡一样! 这就是
%伯特兰德悖论&7MNOPOD!8 QDOD8RS9"
二!对模型的分析
在伯特兰德模型中只是要求 82I(=
80I(=并没有明确界定 F2与 82 以及 F0 与
80之间的大小关系" 而实际上在厂商的
需求函数中!应满足条件$F2I82!F0I80!否
则会得出与经济现实相矛盾的结论" 以
厂商 2 为例!F2 表示厂商 2 产品的需求
量 C2对于自身价格 G2的敏感度)82表示
厂商 2 产品的需求量 C2 对于厂商 0 产
品价格 G0的敏感度" 由于两厂商生产的
产品具有一定的替代关系! 所以厂商 2
的需求量 C2 与厂商 0 产品的价格 G0 之
间是同向变动关系! 即当厂商 0 产品价
格 G0上升时!由于厂商 2 生产的产品对
厂商 0 生产的产品具有一定的替代性!
所以厂商 2 产品的需求量 C2 会随之增
加)反之!当厂商 0 产品价格 G0 下降时!
厂商 2 产品的需求量 C2也会随之减少"
而且厂商 2 产品的价格 G2 对其需求量
C2 的影响要大于厂商 0 产品价格 G0 对
厂商 2 产品需求量 C2的影响! 即 F2I82H
同理对于厂商 0 来说!F0I80"
!一"两种特殊情况的分析
当两厂商生产的产品之间的差异性
很大时! 那么替代性就很弱! 此时!82=
80#(H 当两厂商生产的产品之间的差异
性很小时!那么替代性就很强!此时!82=
80$T"下面分别对这两种特殊情况进行
分析说明"
&)当两种产品是同质的或差别很小
很小时!8&,F&,80,F0$T= 此时两厂商均
衡价格分别为$
G&LU,V4W
8$T
A 8&7D0:F0J09XF&F0E8&80
: 0F07D&:F&J&9XF&F0E8&80
B
!" #$%
%李 勇
伯特兰德模型
图 & "&的白化函数
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统计与决策
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*. +
),)
* 01
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* +
),-
* ,-! 1,)! 1,!2
此时两厂商的利润 !-1!)1?" 这与
#伯特兰德悖论$的结论是完全一致的%
)@当 .-.) 很小时"实际上是不可能
出现 .-!<-A.)!<)这种情况的% 当 .-!.)!?
时" 即两厂商生产的产品之间差异性很
大"它们之间没有替代性"此时两厂商的
纳什均衡为&
3-455! B-+<-,-)<-
",-C 3)455! B)+<),))<)
",)
如果市场上只存在厂商 - 和厂商 )
这两家厂商" 并且它们的产品之间具有
不可替代性时" 这两家厂商就会在其各
自产品市场上处于垄断地位% 垄断厂商
会根据 DE1F2 的原则来确定其产品价
格及相应的产量% 以厂商 - 为例&
G-1B-=<-3-#3-1 B-<-
= -<-
G-
FE-1 .HI-.G-
1 .HI-.3-
’.3-
.G-
HI-1G-3-1B-3-=<-3-)
18B-=)<-3-:(8= -<-
:1= B-<-
+)3-
又 JFI-1F2-1,-
K3-1 -)<-
8B-+<-,-:",-
同理"3)1 -)<)
8B)+<),):",)
两厂商的利润分别为&
!-1 8B-=<-,-:
)
;<-
"?
!)1 8B)=<),):
)
;<)
"?
所以从以上分析可以看出" 无论是
从纳什均衡角度"还是从垄断角度"均衡
时两厂商产品的价格都不等于边际成
本"利润也不为零%
因此" 当两厂商产品之间存在差异
时")伯特兰德悖论$ 的同质性假设就不
成立"在均衡情况下"价格就不等于边际
成本"厂商的利润也不为零%
!二"替代系数 ! 与产品价格 " 关系
分析
经济学一般认为" 在完全竞争情况
下社会资源的使用效率较高" 而商品的
价格较低* 在完全垄断情况下社会资源
的使用效率较低"而商品的价格却较高+
依据这一理论"当市场上只有两个厂商"
他们生产的产品差异性越小" 即在伯特
兰德模型中表现为替代系数 . 越大"此
时产品的价格 3 就会较低*相反"如果产
品差异性越大"则替代系数 . 较小"这时
市场趋于完全垄断状态" 产品价格 3 就
会较高%
那么" 产品价格 3 与替代系数 . 这
种反向变动关系对于伯特兰德模型究竟
是否成立呢, 下面将以厂商 - 为例对此
进行论证说明%
在伯特兰德模型中并没有明确界定
<- 与 .- 以及 <) 与 .) 之间的大小关系 "
只是要求 .-L?".)L?% 当不考虑 <- 与 .-
之间的大小关系时" 对均衡时的价格 3-
对 .-求偏导有&
$3-
$.-
1 8B)+<),):8;<-<)=.-.):+.-.)8B)+<),):8;<-<)=.-.):)
+
).)<)8B-+<-,-:
8;<-<)=.-.):)
1 ;<-<)8B)+<),):+)<)<)8B-+<-,-:8;<-<)=.-.):)
L?
所以"在需求函数中若不考虑 <- 与
.-之间的大小关系" 厂商 - 的产品价格
3- 与替代系数 .- 呈同向变动关系 % 同
理"厂商 ) 的产品价格 3)与替代系数 .)
也呈同向变动关系%显然"这与理论和实
际都是相矛盾的%
如前所述"在厂商的需求函数中"应
满足条件&<-L.-A<)L.)% 可以假设&<-1M8.-:
1N?+.-AN?L?*<)1O8.):1P?+.)AP?L?% 那么"
均衡时厂商 - 的价格为&
3-1 .-8B)+<),):;<-<)=.-.)
+ )<)8B-+<-,-:;<-<)=.-.)
1 .-8B)+<),):;M8.-:<)=.-.)
+ )<)7B-+M8.-:,-0;M8.-:<)=.-.)
对 3-两边求偏导&
$3-
$.-
1 8B)+<),):7;M8.-:<)=.-.)07;M8.-:<)=.-.)0)
=
7;M58.-:<)=.)0.-)8B)+<),):
7;M8.-:<)=.-.)0)
+ ),-<)M58.-:7;M8.-:<)=.-.)07;M8.-:<)=.-.)0)
=
7;M58.-:<)=.)0Q.)7B-+M8.-:,-0
7;M8.-:<)=.-.)0)
令 $3-
$.-
1 R;M8.-:<)=.-.)0)
KR178B)+<),):;<)+),-<).)0M8.-:+7=;<).-
8B)+<),):=),-<).-.)=SB-<))0M58.-:+)B-<).)
当 M8.-:1N?+.-"即 M58.-:1- 时有&
R1N? 78B)+<),):;<)+),-<).)0 =SB-<))+
)B-<).)18;N?,)=SB-:<))+)<).)8N?,-+B-:+;N?B)<)
又 <)1O8.):1P?+.)
KR18;N?,)=SB-:8P?+.):)+) -P?+.)..)
8N?2-+B-:+;N?B) 8P?+.):17;N?,)+)N?,-=TB-0
.))+7SN?P?,)+)N?P?,-=-;B-P?+;N?B)0.)+P?)
8;N?,)=SB-:+;N?B)P?
当 B-1B)1BA,-1,)1,AN?1P?时有&
R1T8N?,=B:.))+-?N?8N?,=B:.)+;N?)8N?,=B:
构造函数&
U1T 8N?,=B:V)+-?N? 8N?,=B:V+;N?)
8N?,=B:
"1’-?N? 8N?,=B:>)=); 8N?,=B:(;N?)
8N?,=B:1;N?)8N?,=B:)L?
当 N?,=BW?"即 BLN?, 时"二次函数
开口向下
对称轴&V1= XT N?
U1T8N?,=B:V)+-?N?8N?,=B:V+;N?)8N?,=
B:1? 解得&V-1=N?CV)1= )* N?
当 VW=N?或 VL= )* N?
时 UW?
J.)L?L= )* N?
KRW?
K $3-$.-
1 R’;M8.-:<)=.-.)>)
W?
所以"厂商 - 的产品价格 3- 与替代
系数 .-呈反向变动关系+ 同理" 厂商 )
的产品价格 3) 与替代系数 .) 也呈反向
变动关系+因此"考虑 < 与 . 之间的大小
关系就会得出与理论和实际相吻合的结
论+
三!结论及建议
从以上论证分析过程可以看出"是
否考虑 < 与 . 之间的函数关系" 可以得
出两种绝然相反的结果+ 但无论是从经
济学理论角度还是从实际的经济现实角
度" 没有考虑 < 与 . 之间的关系而得出
的结论显然是不合理的+
在运用伯特兰德模型分析价格作为
决策变量的寡头垄断市场是有效的"其
前提是同质性产品或者差别非常小+ 但
是实际生活中" 同类商品并不完全满足
同质性的要求" 也就是说即使是同类商
品差别也是比较大的+ 但是如果我们还
是用原来的没有考虑 < 与 . 之间关系的
伯特兰德模型来分析实际的经济问题"
那么就会得出错误的结论" 做出不合理
的决策" 进而带来巨大的经济损失+ 因
此" 笔者认为在伯特兰德模型需求函数
中应该充分考虑 < 与 . 之间的关系"以
便得出正确的结论"做出科学的决策+
!作者单位!河海大学商学院"
"责任编辑 %亦 民#
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