2 有限元法的基本概念与求解方法

null有限元法的基本概念与求解方法有限元法的基本概念与求解方法2.1 结构离散化与刚度矩阵 2.2 位移函数与形函数 2.3 单元刚度方程 2.4 载荷移置与等效节点载荷 2.5 结构刚度方程 2.6 位移边界条件的处理 2.7 应力计算 2.8 有限元法的普遍公式 2.9 有限元方程组的解法结构离散化与刚度矩阵结构离散化与刚度矩阵结构离散化： 1）网格划分 将结构划分为有限个单元； 2）载荷移置 将作用在结构上的非节点载荷等效地移置为节点载荷； 3）简化约束 把结构边界上的约束，用适当的节点约束代替。 结构离散化与刚度矩阵有限元网格划分原则有限元网格划分原则有限元中单元的网格剖分原则 １）各节点必须相连。 如图所示中（a）是正确的，而（b）是错误的。 结构离散化与刚度矩阵有限元网格划分原则有限元网格划分原则结构离散化与刚度矩阵有限元网格划分原则有限元网格划分原则２）单元不能奇异，也就是单元中的边长不能相差太大，或者有过大的钝角或过小的锐角，如图示： 结构离散化与刚度矩阵有限元网格划分原则有限元网格划分原则３）单元的大小、数目取决于计算精度要求和计算容量限制 　　分网时首先满足计算精度的要求，同时可利用结构的对称性、循环对称性的特点，从厚结构中取出一部分进行分析，或者对有应力集中的构件，采用疏密不同的网格剖分。也可以采用子结构法。 ４）同一单元内的结构，几何特性与材料特性相同，也就是不要把厚度不同或材料不同的区域划分在同一个单元里。结构离散化与刚度矩阵网格划分示例网格划分示例 结构离散化与刚度矩阵结构离散化与刚度矩阵结构离散化与刚度矩阵 刚度矩阵 描述单元特性的矩阵，表示了单元抵抗变形的能力。它由刚度系数组成，由单元节点的个数和自由数决定规模。 如图平面三角形三节点单元中，有3个节点，每个节点有2个自由度，故刚阵中的元素个数为36个。 刚度系数Kij 相当于一维弹簧的刚度K的含义。即产生单位位移时需要的作用力的大小。 结构离散化与刚度矩阵位移函数位移函数　　结构离散化后，要对单元进行力学特性分析，也就是确定单元 节点力与节点位移之间的关系，这时就需要把单元内的任一点的位 移分量表示成坐标的某种函数。这种函数就叫位移函数。位移函数与形函数位移函数的一般介绍位移函数的一般介绍１.定义： 把单元中任一点的位移分量与坐标的函数关系叫位移函数或叫位移模式。 ２.选择位移函数的原因 （１）决定了单元的力学特性。（意义） （２）反映了单元的位移形态。（物理意义） （３）它是利用位移法求解问题的开始。（基础） ３.位移函数必须具备的条件 （１）在节点上的值应等于节点的位移 （２）所采用的函数必须保证有限元的解收敛于真实解位移函数与形函数位移函数的一般形式位移函数的一般形式　　位移函数一般为多项式形式，这样处理是从两方面出发的 （１）进行数学运算（如微分，积分）较简单 （２）任意阶次的多项式可以近似地表示精确解，其一般形式为： 　 u=u(x,y)=1+  2x+ 3y +  4x2+ 5xy +  6y2 + … +  myn 　 v= v(x,y)=m+1+  m+2x+ … + 2myn　 （２-１） 式中: ,其中1 …２m为待定系数。 式中的也称为广义坐标，这种描述方式又称为广义坐标形式。 （一维形式多项式u(x)=1+  2x+  ３x2+ … +  n＋１xn） 位移函数与形函数位移函数的一般形式位移函数的一般形式（２-１）式也可以参照帕斯卡三角形来确定 位移函数与形函数三节点三角形单元的位移函数三节点三角形单元的位移函数１.位移函数形式 就是最简单的情况而言，可以选取位移为坐标的线性函数形式，也就是： 　　　u(x,y)=1+  2x+ 3y 　　　v(x,y)=4+  5x+ 6y （２-２） 　　对于图中的三角形单元，为了确定（２-２）式中的待定系数16，可以将节点i，j，m的位移值及坐标值代入上式，得到方程组： 　　　ui=1+  2xi+ 3yi 　　　vi=4+  5xi+ 6yi　　　　　　　（ i=i，j，m） （２-３） 式中　ui ， vi——节点位移　 xi ， yi——节点坐标　 　位移函数与形函数三节点三角形单元的位移函数三节点三角形单元的位移函数 这是一个一阶线性方程组，可使用克来姆法则求解。位移函数与形函数三节点三角形单元的位移函数三节点三角形单元的位移函数２.克来姆法则 　设有一线性方程组： 　　　a11x1+ a12x2 +…+ a1nxn =b1 a21x1+ a22x2 +…+ a2nxn =b2 　　　………… 　　　an1x1+ an2x2 +…+ annxn =bn （a11 ann系数） 　当其系数行列式　不等于零时 　 上述的方程组有唯一解： （j＝１，２…n） 　 　其中　是将Ａ中第j列元素替换为右端项而得到的行列式 位移函数与形函数三节点三角形单元的位移函数三节点三角形单元的位移函数３.待定系数1… ６的求解 　如果用节点位移（ui, vi）,（uj, vj）,（um, vm）及节点坐标 （xi, yi）,（xj, yj）,（xm, ym）代入（2-3）式可以得到： ui=1+ 2xi+ 3yi uj=1+ 2xj+ 3yj um=1+ 2xm+ 3ym vi=4+ 5xi+ 6yi vj=4+ 5xj+ 6yj vm=4+ 5xm+ 6ym 位移函数与形函数三节点三角形单元的位移函数三节点三角形单元的位移函数由克来姆法则可知：当2 0，上述方程有唯一解： 位移函数与形函数三节点三角形单元的位移函数三节点三角形单元的位移函数为了描述方便，引入系数 ai= xj ym - xmyj bi= yj - ym ci= -xj + xm aj= xmyi - xi ym bj= ym - yi cj= -xm + xi am= xi yj - xj yi bm= yi - yj cm= -xi + xj 位移函数与形函数三节点三角形单元的位移函数三节点三角形单元的位移函数代入上式后可以得到 位移函数与形函数三节点三角形单元的位移函数三节点三角形单元的位移函数４.位移函数的插值函数形式 假设这样一个函数： 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(i=i , j , m) 代入（２-３）式后可得 　　　u=Ｎiui +Ｎjuj+Ｎmum 　　　v=Ｎivi +Ｎjvj+Ｎmvm 式中：Ｎi，Ｎj ，Ｎm被称为单元的形状函数，简称形函数或插值函 数。位移函数与形函数三节点三角形单元的位移函数三节点三角形单元的位移函数把（２-６）式写成矩阵形式： 简写为：f= Ne　　　　　　　　　　　　　　 （２-８） 位移函数与形函数三节点三角形单元的位移函数三节点三角形单元的位移函数　　式中的矩阵Ｎ反映了单元的位移形态，又是坐标的函数，我们 称之为形函数矩阵，这种描述方式称为位移函数的插值函数形式。 　　通过上面的推导，我们得到了两种形式的位移函数，（２-８）式与（２-２）式后一种描述更简单，更直观，通常采用。这样我们就建立了单元中任一点的位移和单元节点位移之间的关系。位移函数与形函数位移函数及其性质位移函数及其性质　　当节点位移一定时，单元形态完全决定于Ｎi，Ｎj ，Ｎm这时形 函数就具有如下的性质： 　　１.形函数Ｎi在节点i处的值为１，而在其他两个节点（j，m） 处的值为零。 　　即：　Ｎi （xi ，yi ）=1 而Ｎi （xj ，yj ）=Ｎi （xm ，ym ）=0 同样的 　Ｎj （xi ，yi ）=0 Ｎj （xj，yj ）=1 Ｎi （xm ，ym ）=0 　Ｎm （xi ，yi ）=0 Ｎm （xj，yj ）=0 Ｎm （xm ，ym ）=1 　位移函数与形函数位移函数及其性质位移函数及其性质２.在单元任一节点处，三个形函数之和等于１。 证明如下：　 Ｎi（x，y）+Ｎj（x，y）+Ｎm（x，y） = （ai+ bix+ ciy+ aj+ bjx+ cjy+am+ bmx+ cmy）／（２ ） =[（ ai + aj + am ）+ （ bi + bj + bm ）x+ （ ci + cj + cm ）y]／（２ ） =（ ２ +0+0）/ （２ ） =1 此外，形函数与位移函数是同样类型的函数。 如：位移函数　　u=1+ 2x+ 3y　　 　　形函数　　　Ｎi=（ ai + bix + ciy）／（２ ） 　　位移函数与形函数位移函数与解的收敛性位移函数与解的收敛性　　选择位移函数时，为保证有限元法的收敛性，必须满足以下４ 个条件： １.位移函数必须包含单元的常量应变 ２.位移函数必须包含单元的刚体位移 ３.位移函数在单元内部必须是连续函数（连续性要求） ４.位移函数应使得相邻单元间的位移协调（保续性要求） 　　上述四个条件中，若全部满足，这样的位移函数构成的单元称 为协调单元，若只满足前三条，则称为非协调单元位移函数与形函数位移函数与解的收敛性位移函数与解的收敛性　　下面我们用以下四个条件来考察三角形常应变单元的位移函数 （１）由=[x , y , xy]T =[2 , 6 , 5 + 3] T 　　因2 , 6 , 5 + 3都是常数，与某坐标无关，因此含有常应变项 （２）将位移函数可改写成 位移函数与形函数位移函数与解的收敛性位移函数与解的收敛性　　当发生刚体位移时： x = x = xy =0　也就是 　　2 = 6 = 5 + 3 = 0 　　这时： 　　其中u0　, v0为平动位移分量。 　　0为单元绕垂直于x，y平面的轴线作刚体转动时的角位移，它 表示了刚体位移。 位移函数与形函数位移函数与解的收敛性位移函数与解的收敛性（３）位移函数（２-２）或是x，y的单值连续函数，故满足连续性 要求。 （４）位移函数（２-２）式是线性函数，由于相邻单元在公共节点 处的位移值相等，而通过两个节点可以连成一直线，其连线上的位 移相同，因此边界上各点的位移是连续的，不会出现： 综上所述，三角形常应变单元属于协调元位移函数与形函数面积坐标面积坐标　　面积坐标是利用三角形的面积关系表示三角形单元任一点位置 的一种方法。优点：简明，方便。 位移函数与形函数面积坐标面积坐标对于图中三角形单元任一点P（x , y）可用下三个比值来确定： Li , Lj , Lm 称为P点的面积坐标，显然面积坐标具有以下性质： 性质１.　 Li + Lj + Lm =1 （ i+ j + m = ） 性质２.　平行于三角形jm边的直线上所有点其Li相同 　　　　 AB变化时，　hi’不变,　故i不变，  Li 不变　位移函数与形函数面积坐标面积坐标性质３.　　Li =1 　 Lj =0 　 Lm =0 （i） 　　　　　 Li =0 　 Lj =1 　 Lm =0 　（j） 　　　　　 Li =0 　 Lj =0 　 Lm =1 　（m） 性质４.　　 Li = Lj = Lm=1/3　在三角形形心处 面积坐标与形函数的关系： 位移函数与形函数面积坐标面积坐标同理： Lj = Nj ， Lm = Nm 所以，面积坐标与形函数相同（量值）但意义不同位移函数与形函数单元刚度方程单元刚度方程　　对单元进行力学特性分析目的在于确定单元节点力与节点位移的 关系，并称之为单元刚度方程：Ｋe e =Ｆe 　　式中：Fe ， e ——单元节点力及节点位移列阵 　　　　　Ｋe ——单元刚度矩阵 基本方法　单元刚度方程基本方法基本方法建立上述方程时可采用的方法 （１）直接刚度法 （２）虚位移原理或最小势能原理——位移型有限元 （３）余虚功原理或最小余能原理——力型有限元 （４）变分法（非结构问题）单元刚度方程基本方法基本方法单元特性分析的步骤 （１）假设位移函数 （２）建立应力，应变与节点位移间的关系 （３）由能量原理，建立单元节点力与节点位移间的关系 （４）得到单元刚阵单元刚度方程三角形平面单元的单元刚度矩阵三角形平面单元的单元刚度矩阵（１）上节的知识可以知道 位移函数为：　　　 　　　u=Ｎiui +Ｎjuj+Ｎmum 　　　v=Ｎivi +Ｎjvj+Ｎmvm 式中　Ｎi=（ ai + bix + ciy）／（２ ）　（i=i,j,m） （２）应力应变与节点位移的关系 对三节点三角形单元，节点位移 　　　e =[ui , vi , uj , vj , um , vm]T 　　　Fe =[Fix , Fiy , Fjx , Fjy , Fmx , Fmy]T 　　单元刚度方程三角形平面单元的单元刚度矩阵三角形平面单元的单元刚度矩阵由弹力知识可知，几何方程为： 单元刚度方程三角形平面单元的单元刚度矩阵三角形平面单元的单元刚度矩阵 令：Ｂ=[Bi , Bj , Bm]且　　　　　　　　　 （i=i,j,m） 方程可简写为： = Ｂe单元刚度方程三角形平面单元的单元刚度矩阵三角形平面单元的单元刚度矩阵　　我们称Ｂ——单元的几何矩阵，其物理意义反映了单元任一点 的应变与单元位移之间的关系。 　　对于一个给定的单元，节点坐标一定，系数bi，ci也随之确定， 也为常数，所以几何矩阵为常量矩阵，这也证明３节点三角形单 元是一种常应变单元。 　　由弹性理论中关于平面问题的物理方程可知，当不考虑变温影 响时，单元中任一点的应力为:　　  =D 式中Ｄ为弹性矩阵，反映了单元材料方面的特性。 单元刚度方程三角形平面单元的单元刚度矩阵三角形平面单元的单元刚度矩阵由上面应变与节点位移之间的关系代入后可得 　　　 = D = DBe 若令S= DB　则 = Se 式中，S——称为单元的应力矩阵 　　物理意义：反映了单元中任一点的应力与节点位移之间的关系， 对于３节点三角形单元D，B为常量矩阵， S也为常量矩阵，这种常 应变单元，也是一种常应力单元，回顾一下，平面应力问题：　 单元刚度方程三角形平面单元的单元刚度矩阵三角形平面单元的单元刚度矩阵而对于平面应变问题 如果采用：　　　　　　　　　　　代入 单元刚度方程三角形平面单元的单元刚度矩阵三角形平面单元的单元刚度矩阵　　两种问题具有相同的描述形式，只是对材料的弹性模量与泊松 比进行相应的代换，则在计算中可以采用同样形式的弹性矩阵。 （３）单元节点力与节点位移之间的关系 　　在位移型有限元法中，对单元的力学特性分析，最终是需要建 立节点位移和节点力之间的关系，也就是确定单元的刚度矩阵。应 用虚位移原理来建立这种关系式。 　　设某单元发生一虚位移，则该单元各节点上的虚位移为＊e ， 相应地单元内任一点处的虚应变为： ＊。根据与间的关系有： 　　 ＊ =B ＊e 单元刚度方程三角形平面单元的单元刚度矩阵三角形平面单元的单元刚度矩阵　　这时单元体在节点力作用下处于平衡状态，根据虚位移原理， 当虚位移发生时节点力在虚位移上所做的功等于单元的虚应变能， 即： 式中：Ｖe为单元的体积，上式称为单元的虚功方程。 把 = DBe和＊ =B ＊e代入上式得 由于节点位移e及节点虚位移＊e均为常量，提出积分外，有： 单元刚度方程三角形平面单元的单元刚度矩阵三角形平面单元的单元刚度矩阵进一步可得： 令：　　　　　　　 则上式可写为 　　求得了我们所要的形式的方程，称之为单元刚度方程，式中的 Ｋe称为单元的刚度矩阵，反映了节点力与节点位移之间的关系。 　　同样，可采用最小势能原理来建立单元节点力与节点位移的关 系式。 　　我们得到的单元刚度矩阵Ｋe是普遍公式，适用于各种类型的单 元，对于三角形常应变单元的具体表达式见下。　　单元刚度方程三角形平面单元的单元刚度矩阵三角形平面单元的单元刚度矩阵（４）三角形常应变单元刚度矩阵的显式： 　　由于普遍公式中，Ｂ，Ｄ均为常量矩阵，可以提出积分符号， 而dＶ是单元的微元体体积且dＶ=t dx dy 　　式中t为单元的厚度，同一单元，厚度t为常数，故单元体积 　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ 为单元的面积） 　　普遍公式就可写为： 　　为了便于计算利用B=[Bi Bj Bm]将上式展开 　　单元刚度方程三角形平面单元的单元刚度矩阵三角形平面单元的单元刚度矩阵单元刚度方程　　式中子刚阵为：Krs =tBrTDBs （r,s= i,j,m）三角形平面单元的单元刚度矩阵三角形平面单元的单元刚度矩阵　　Krs是一个２２阶矩阵，因此三角形常应变单元的刚度方程为 ６６的方程，也就是单刚阶数＝单元的自由度数。 　　对与平面应力问题： 　　 　　将： B=[Bi Bj Bm]及　　　　　　　　　　　代入单元刚度方程三角形平面单元的单元刚度矩阵三角形平面单元的单元刚度矩阵　　 （r,s= i,j,m）单元刚度方程三角形平面单元的单元刚度矩阵三角形平面单元的单元刚度矩阵简写为： 相应的：单元刚度方程单元刚度矩阵的性质单元刚度矩阵的性质（１）单元刚度矩阵是对称矩阵 （２）单元刚度矩阵的主对角元素恒为正值 （３）单刚为奇异阵 （４）单元刚度仅与单元的几何特性（Ｂ）及材料特性有关（Ｄ） 而与外力无关。 　　上述四条性质，与杆系的单刚性质相同单元刚度方程null１.由于在进行有限元分析中，单元和单元之间仅通过节点相互联系 当外载不是直接作用在节点上，那么需要将非节点载荷向节点移置， 也就是 　　　真实外载　（理想化）　节点上的集中载荷 移置后的载荷称之为等效节点载荷。非节点载荷移置载荷移置与等效节点载荷非节点载荷移置非节点载荷移置２.结构的非节点载荷移置 　　将各单元所受的非节点外载荷分别移置到各单元的相应节点上， 在公共节点处应用载荷叠加原理，就可以得出 ３.载荷移置的原则——能量等效的原则 　　单元的实际载荷与移置后的等效节点载荷在相应的虚位移上所 做的虚功相等。 ４.单元载荷移置的方法 （１）直接法：利用能量等效原则，直接进行单元载荷移置 　　＊只适用于线性位移函数的单元 载荷移置与等效节点载荷非节点载荷移置非节点载荷移置（２）普遍公式法：根据能量等效原则，推导出普遍公式 　　＊适用于各种类型的单元 说明：由圣维南原理可知，载荷移置后，只会在结构的局部产生误 差。对整个结构的变形或应力状态的影响不大，由于有限元分析中， 单元一般都很小，移置的结果不会带来很大的误差。载荷移置与等效节点载荷载荷移置的普遍公式载荷移置的普遍公式１.集中力Ｐ的移置公式： 设（１）单元i,j,m中任意一点（x，y）作用集中载荷P=[Px，Px]Ｔ 　 （２）各节点上的等效节点载荷向量为： 　　Re=[Rix, Riy, Rjx, Rjy, Rmx, Rmy]Ｔ 　（３）发生微小位移时，集中力作用点相应的虚位移为： f*=[u, v]Ｔ 　（４）各节点相应的虚位移为： 　　*e =[ui* , vi* , uj* , vj* , um* , vm* ]载荷移置与等效节点载荷载荷移置的普遍公式载荷移置的普遍公式推导：（１）根据单元内位移与节点位移关系　　 f=[u, v]Ｔ=N e  f*= N *e P 　　　（２）根据能量等效原则： *e ＴRe =f*ＴP  *e ＴRe =(N  *e ) ＴP = *e Ｔ NＴP  Re = NＴP 这就是集中力Ｐ的移置公式，式中Ｎ为单元的形函数矩阵。载荷移置与等效节点载荷载荷移置的普遍公式载荷移置的普遍公式２.体力g的移置公式 设：单元ijm上作用有体力　　g=[gx, gy ]Ｔ 推导（１）将单元体tdxdy上的体积力gdxdy当作集中力，应用集中 力的移置公式　Re = NＴP 有微元体上 　　　　　　　dRe = NＴ g tdxdy 　　（２）积分在整个单元上有 Re =  NＴ g tdxdy = t NＴ g dxdy 载荷移置与等效节点载荷载荷移置的普遍公式载荷移置的普遍公式3.表面力q的移置公式 设单元ijm的jm边上作用有表面力q=[qx，qy]Ｔ 可将微元面积上tds上的面力qtds当作集中力 则　Re = sjmdRe = sjm qt ds = tsjm q ds 上述公式适用于任何单元及任意坐标方向。 载荷移置与等效节点载荷载荷移置举例载荷移置举例　　以单元自重（或作用在单元形心处的集中力）为例。 　　设一个均质等厚的三角形单元ijm，其厚度为t，面积为，材料 比重为，则单元的自重为：W=t,且其作用在单元形心c处 载荷移置与等效节点载荷载荷移置举例载荷移置举例思路： 　　（１）欲求哪个节点在哪个方向上的载荷分量，就在该方向加 一单位虚位移，其他自由度为０。 　　（２）利用线性位移函数的特点导出几何关系。 　　（３）根据能量等效原则列出虚功相等，解出节点载荷分量载荷移置与等效节点载荷载荷移置举例载荷移置举例１.直接法求解 　　先求，i在y方向的等效节点载荷 　　设 　 vi* =1 而ui* =uj* = vj* = um* = vm* =0相当于上图 由于，单元具有线性位移函数，当vi* =1时变形情况见上图 　　jm边不动，点b亦不动，由几何关系可知： 　　　　　　　　  　　　 载荷移置与等效节点载荷载荷移置举例载荷移置举例又根据能量等效原则： 　　　　　　　　　 　　　　　　　　　 式中“－”号表示与y轴方向相反 同理可得： 载荷移置与等效节点载荷载荷移置举例载荷移置举例类似可以得出：各节点沿x方向的等效节点载荷　Rix= Rjx= Rmx= 0　 Re=[Rix , Riy , Rjx , Rjy , Rmx , Rmy]T = - t [0 1 0 1 0 1] T/3 上式也表明对三角形单元（均厚，等厚）所受重力，只需将自重平 均的移置到３节点上，方向与重力方向相同。 载荷移置与等效节点载荷载荷移置举例载荷移置举例２.普遍公式法求解 　　对于此处为集中力P=[0 - W] T作用在形心c处 　　由Re=N T P 可知 载荷移置与等效节点载荷载荷移置举例载荷移置举例可以证明：在三角形形心c处，有Ni= Nj= Nm= 1/3代入上式可得 Re =-W[0 1 0 1 0 1] T/3= - t [0 1 0 1 0 1] T/3 可见采用上述两种方法移置的结果相同 说明：单元具有线性位移函数时，采用直接法移置较简单 　　　单元具有非线性位移函数时，只能采用普遍公式法进行。载荷移置与等效节点载荷结构刚度方程结构刚度方程　　通过单元特性分析，可建立单元刚度矩阵Ke 　　同时得到单元刚度方程 Kee = Fe 通过单元载荷移置，可建立节点载荷列阵Re 集合成结构刚度方程的三个方面的内容是： （１）单元的节点位移e 结构的节点位移列阵 （２）单元的节点载荷列阵Re 结构的节点载荷列阵R （３）单元的单刚Ke 结构的总刚K 　　得到 K  = R　　　　　　　　　　　　（2-45）结构刚度方程结构刚度方程结构刚度方程　　上为结构刚度方程，表示了节点载荷与节点位移间的关系，是一个以节点位移为未知量的线形代数方程组，可求得 ，进一步求出应变，应力。 结构刚度方程集合的基本原则集合的基本原则（１）在相互连接的公共节点处，各单元的节点位移必须 相等，即必须满足变形协调条件。 i =i =i =i　 所以，节点位移不须按单元来区分。 结构刚度方程集合的基本原则集合的基本原则（２）公共节点处，各单元对节点的作用力，与作用在该节点上的外载荷Ri之间，必须满足静力平衡条件。 Ri =Fi +Fi +Fi +Fi 所以，若Ri = 0，则有Fi +Fi +Fi +Fi = 0 结构刚度方程结构刚度方程的建立结构刚度方程的建立例： 1.结构的节点位移列阵 根据公共节点处的变形协调条件，不同单元在公共节点处的位 移相等，则有节点位移列阵]  =[1 2 3 4] T =[u1 v1 u2 v2 u3 v3 u4 v4] T （按总体节点编号顺序写出）结构刚度方程结构刚度方程的建立结构刚度方程的建立2.结构的节点载荷列阵： （1）若存在非节点载荷，须进行单元载荷移置，并按移置后 的等效节点载荷进行叠加 即： Ri=[Rix Riy] T =Ri +  +  + …… （2）不考虑约束反力的作用 （3）与节点位移相对应，结构的节点载荷列阵R亦按总体节点 编号顺序排列 那么，对于上例 R =[R1 R2 R3 R4] T =[0 0 0.5P 0 0.5P 0 0 0] T 结构刚度方程结构刚度方程的建立结构刚度方程的建立 式中约束反力 R1 = R4 = [0 0 0 0] T 3.结构刚度方程 3节点三角形单元的自由度数为6，单刚Ke为66阶矩阵。  总体K由单刚Ke组合而成  总刚K的阶数=结构的自由度数 对于图示的例子，4个节点，共8个自由度，结构刚度矩阵为 8 8的方阵。 把图中的两个单元离散开为： 结构刚度方程结构刚度方程的建立结构刚度方程的建立 图中，数字为总体节点编号1，2，3，4 字母i , j, m为局部节 点编号。结构刚度方程结构刚度方程的建立结构刚度方程的建立对应关系，单元 　i , j, m 1，2，3 单元  i , j, m 1，3，4 则单元  的节点力列阵为： F  =[F1x F1y F2x F2y F3x F3y ]T = [F1 F2 F3 ]T 单元  节点力列阵为： F  = [F1  F3 F4  ]T 由节点i处的静力平衡条件可知 R1 = F1  + F1  R2 = F2  R3 = F3  + F3  R4 = F4  （2-49）结构刚度方程结构刚度方程的建立 结构刚度方程的建立 上式中： Ri=[Rix Riy] T ， Fi=[Fix Fiy] T （i=1 , 2 , 3 , 4） 又  Fe = Kee 对于单元  有： F1 = K11 1 + K12 2 + K13 3 F2 = K21 1 + K22 2 + K23 3 F3 = K31 1 + K32 2 + K33 3 对于单元  有： F1 = K11 1 + K13  3 + K14 4 F2 = K31 1 + K33  3 + K34 4 F3 = K41 1 + K43  3 + K44 4 结构刚度方程结构刚度方程的建立结构刚度方程的建立代入2-49式 R1 = F1  + F1  =（K11 + K11）1 +K12 2 +（K13 + K13 ）3 +K14 4 R2 = F2  = K21  1 +K22 2 + K23 3 R3 = F3  + F3  =（K31 + K31）1 +K32 2 +（K33 + K33 ）3 +K34 4 R4 = F4  = K411 + K43 3 +K44 4 可把上式写成矩阵形式，并进一步简写为：K =R 称为结构刚 度方程。 表示了结构的节点载荷R与节点位移列阵之间的关系。 K为结构刚度矩阵或总体刚度矩阵，简称总刚。 结构刚度方程形成总刚的常用方法形成总刚的常用方法 上面是通过节点的平衡关系导出结构刚度方程的，这种做法优点 在于力学概念明确。缺点： 　繁琐 不便于程序实现。所以通常 采用下面的两种方法： 1.按单元形成总刚 做法：A .先将总刚充0，阶数为44，按节点 节点结构刚度方程形成总刚的常用方法形成总刚的常用方法B .从单元  开始，计算单刚 Ke ，送入总刚相应位置，然后进行下一 个单元。结构刚度方程形成总刚的常用方法形成总刚的常用方法2 .按节点形成总刚 A .方法同前，总刚充零。 B .从节点1开始，检查该节点与哪几个节点相邻确定总刚的元素 Krs。并与哪几个单元相联系确定元素Krs由几个单元相加 , Krs  +  C .重复上述工作，直到最后一个节点。 即 同样就得到了总刚，即结构刚度方程 结构刚度方程总刚的性质及其应用总刚的性质及其应用1 .总刚为对称方阵 单刚对称阵 叠加后总刚也必然对称 应用：在程序中只需存储上三角或下三角的元素 2 .总刚是奇异矩阵 物理：没有约束，存在刚体位移 数学：不存在逆矩阵 只有引入位移边界条件后，消去奇异性成为正定矩阵才能求解。结构刚度方程总刚的性质及其应用总刚的性质及其应用3 .总刚是稀疏矩阵 每个节点只与少数几个节点相关 存在大量的元素 是有大量0元素的稀疏矩阵 结构刚度方程总刚的性质及其应用总刚的性质及其应用 两种结构的总体节点编号方式，使总刚元素的排列方式不同， 计算表明用带状稀疏矩阵，可节省计算存储量，提高计算效率。 在编号时，应使同一单元节点号比较接近，最大节点号差尽 可能小结构刚度方程总刚的性质及其应用总刚的性质及其应用4 .总刚仅与结构的尺寸，几何形状及材料性能有关，与外载无关。 利用这一性质，可先计算总刚，再考虑外载的作用结构刚度方程位移边界条件的处理位移边界条件的处理对于结构刚度方程： K =R K为奇异阵  的解不唯一 因此，就必须引入位移边界条件，以消除K的奇异性 数学：唯一解的必要条件 物理：限制刚体位移 下面介绍常用的几种方法位移边界条件的处理总刚的奇异性总刚的奇异性对于结构 而言，其结构刚度方程为：位移边界条件的处理总刚的奇异性总刚的奇异性位移边界条件的处理总刚的奇异性总刚的奇异性由于结构处于平衡状态，所以： 将（2-51）式中代入上式：并将两式相加： 位移边界条件的处理总刚的奇异性总刚的奇异性 对任意的vi ，ui上式恒等于0，因此其系数分别等于0 即： 由对称性可知： 上式表示了总刚中各行元素之和均为零，即K对应的行列式的各 行线性相关，根据行列式的性质：“若行列式的各行线性相关，或某 一行是其余各行的线性组合，则行列式=0” 有： 总刚是奇异矩阵位移边界条件的处理处理位移边界条件的常用方法处理位移边界条件的常用方法 由于K和R中的各元素均已按照一定的顺序分别存储在相应的数 组中，在对K及R处理时，应尽量不打乱原有的存储顺序，并希望处 理的元素越少越好。常用的方法有3种。 1 .降阶法：降低结构刚度方程阶次的方法 若结构刚度方程为：K  =R 在节点位移中，令A——未知位移， B已知位移，利用矩阵分块： 位移边界条件的处理处理位移边界条件的常用方法处理位移边界条件的常用方法式中RB为未知载荷，并按第一行展开： KAA A + KAB B =RA 令 则： （阶次比K  =RA低） 若B为零位移，则上式变为： 上式相当于在原结构刚度方程中，将与零位移约束对应的行与列 划去得到，由该式可以解出未知位移 A 采用计算机解题时，降阶会打乱原K及R的存储顺序，且需重新 安排KAA ，RA及A 在程序设计中一般不采用 位移边界条件的处理处理位移边界条件的常用方法处理位移边界条件的常用方法2 .对角置一法： 对结构刚度方程位移边界条件的处理处理位移边界条件的常用方法处理位移边界条件的常用方法已知位移边界条件： ，将其引入刚度方程。 为了不改变列数，处理第i列诸元素。 位移边界条件的处理处理位移边界条件的常用方法处理位移边界条件的常用方法为了改变行数，对第i行处理，使其体现位移边界条件的处理处理位移边界条件的常用方法处理位移边界条件的常用方法 对于平面问题，只要进行三次即可使k成为非奇异阵，故可求出 待解位移。位移边界条件的处理处理位移边界条件的常用方法处理位移边界条件的常用方法3 .对角元乘大数法 若： 对第i行的主对角元Kii乘以一个大数，如1020，并将对应的Ri改为： 其它各行元素均保持不变。这样将第i行展开得到： 同除1020得：  位移边界条件的处理处理位移边界条件的常用方法处理位移边界条件的常用方法若 则在Kii处乘以大数，Ri处置零即可 这种方法应用的最为普遍。 位移边界条件的处理基本公式 基本公式 由结构刚度方程解出后可得到用 e单元内应变、应力与节点 位移间的关系。就可得出单元中任一点处的应变与应力： 当不考虑温度影响时： 或者 =Be （B几何矩阵）应力计算null 由弹性力学可知： 代入上式 根据上式就可得出单元中任一点的应力。基本公式应力计算null1 .变温等效节点载荷： 设弹性体温度由T1升至T2，则弹性体的变温为T= T2- T1 变温T为x,y的函数。 若弹性体内不受任何约束，存在变温T时正应力为T。为线 膨胀系数。 变温应力的计算应力计算null 因此在平面应力状态下： 若三角形带应变单元，3个节点处的变温为Ti、 Tj 、 Tm则变温T 可由： T=NiTi+ NjTj + NmTm 为简单起见 T=（Ti+ Tj + Tm）/3 那么当考虑温度变化时的平面问题物理方程为： 式中：为单元任一点的总应变。o为该点的初应变（或自由热应 变）。 应用单元的虚功方程： 得：变温应力的计算应力计算null 进一步得 若令 Rte 为节点的变温等效节点载荷 上式成为： 即： 2、结构刚度方程： Rt——变温等效节点载荷列阵变温应力的计算应力计算null 由式求出后由： 对于平面应力问题： 对于平面应变问题： 代入后，同平面应力公式。 在上面的计算中，应力计算均应按单元进行，同样应变亦应按单 元进行。变温应力的计算应力计算null 计算得到的是单元的应力与应变，由其表示节点处的应力值的两种常用方法： 1 .绕节点平均法： 将环绕某一节点的各单元加以平均以平均值表示该节点处的应力。 若i节点周围有n个单元，则i点应力为： 应力的表示方法应力计算null2 .按单元面积的加权平均法： 以交集于节点i的各单元的面积作为加权系数来计算i接点处的应 力对于一般情况。 这种方法要精确一些。 应力的表示方法应力计算null 根据材料力学公式，可以求出平面问题中节点的主应力、主方向 和当量应力，如下式： 当s逆时针转至1时，为正值。 主应力和主方向应力计算null位移型有限元法求解线弹性问题的普遍公式 将三角形常应变单元求解平面问题的公式推广为下列矩阵形式的 普遍公式。 1 .单元中任一点处的位移、应变与应力关系： 有限元法的普遍公式有限元法的普遍公式null2 .单元刚度方程，单刚及其子刚阵 有限元法的普遍公式有限元法的普遍公式null3 .单元载荷移置公式 集中力 体积力 表面力 变温等效节点载荷 4 .结构刚度方程 上述公式适用于各种类型的单元及各种类型的问题，称之为位移 型有限元法求解线弹性静力问题的普遍公式。有限元法的普遍公式有限元法的普遍公式六节点三角形单元 1 .位移函数 2 .形函数 六节点三角形单元补充位移函数的一般形式位移函数的一般形式（２-１）式也可以参照帕斯卡三角形来确定 位移函数与形函数六节点三角形单元六节点三角形单元 其中 为其形函数补充六节点三角形单元3 .几何矩阵 代入后以得到几何矩阵B 不同之处： 4 .应力矩阵 S=DB 5 .单元刚度 其中： 六节点三角形单元补充六节点三角形单元6 .等效节点载荷 应用普遍公式即可，其中形函数矩阵 7 .形成总体刚度方程： 8 .引入约束，求解： 六节点三角形单元补充null*小结： 离散、单刚、总刚、载荷列阵 解题步骤 引入约束解方程，计算单元应力节点应力 应力、应变与位移关系 普遍公式 单刚及子刚 载荷移置，结构刚度方程 补充有限元方程的解法 用有限元法进行结构应力分析时的解题步骤  对计算对象的结构形状进行简化  力学模型的建立（承载状况，边界条件）  结构离散化，确定单元的各种信息（节点的坐标及编号等）  计算程序，先计算单刚，形成总刚等。求解及 有限元方程的解法有限元方程的解法null 计算机流程有限元方程的解法有限元方程的解法 有限元分析的效率很大程度上取决于求解这个庞大的线性代数方程组且解方程组时在整个解题时间中占有很大比重。 求解先性代数方程组的方法：  直接法 是通过有限个算术运算来求出方程组的解。当方程组的阶数不太高时，采用高斯消去法、三角分解法阶数再高的话，可采用以这两种方法为基础的波前法、块追赶法和子结构法。而当方程阶数过高时，由于计算机有效位数的限制，直接法中的舍入误差，消元中的有效位数的限制，会影响求解的精度，这时可采用迭代法。  迭代法： 迭代法是用某极限过程去逐步逼近真实解，如塞得尔法和超极限法。有限元方程的解法有限元方程的解法高斯消去法高斯消去法 高斯消去法的基本思想是逐步逐次消去一个未知数，最后将原方程变成一个的等价的三角形方程，再逐个回代，单元能解出全部的未知数。 设刚度方程为： 有限元方程的解法高斯消去法高斯消去法 将上式改写成： 由于有限元法中，由于刚度矩阵为正定矩阵，即： 有限元方程的解法高斯消去法高斯消去法因此可采用高斯消去法求解： 用K11除第1式 则： 故： 有限元方程的解法高斯消去法 将上式代回2 n式中有： 高斯消去法有限元方程的解法高斯消去法 原方程成为：高斯消去法有限元方程的解法高斯消去法 写成矩阵形式： 高斯消去法有限元方程的解法高斯消去法高斯消去法 可以将上式改写成：有限元方程的解法高斯消去法 上式中右上标  表示第一次消元，这样K阵成为第一列元素，除对角为1外其余均化为零。 第二次消元时：对降过一阶的矩阵进行同样的化简。 此时：  这样做n次后，就可使矩阵K成为对角线元素均为1的三角阵。这个过程叫消元过程，其具体公式用下列公式表达： 高斯消去法有限元方程的解法高斯消去法第一次消元：第一行元素： （j=1,2,…n） 其他各行元素为： （ i=2,3,…n ，j=1,2,…n） 高斯消去法有限元方程的解法高斯消去法高斯消去法第二次消元时：第二行元素 （j=2,3,…n） 其他各行元素为 （ i=3,4,…n ，j=2,3,…n）有限元方程的解法高斯消去法第l次消元时：第l行元素为： （j=l,l+1,…n） 其他各行元素为： （ i=l+1,l+2,…n ，j=l,l+1,…n） 高斯消去法有限元方程的解法高斯消去法第n次消元时：第n行元素为： 高斯消去法有限元方程的解法高斯消去法高斯消去法至此消元过程全部结束得： 有限元方程的解法高斯消去法将上式展开后有： 将上式 代入上一行中，就可解出 ，再以 代入更上一行，又可以得出 。依此类推，便可自下而上求出全部节点未知量。这个过程称为回代过程。高斯消去法有限元方程的解法高斯消去法 因此高斯消去法求解方程时分 消元 对角元为1的上三角阵 回代 对角元为1的单位阵，求节点未知量 回代过程可归纳为如下公式： 高斯消去法有限元方程的解法三角分解法三角分解法 利用三角分解，将刚阵化为三角阵K=LU的一种做法。与高斯法相比，运算量基本相同，而耗时少（程序实现）。 三角分解后，一个成为上三角阵，另一个成为下三角阵，需要两次回代即可求得方程组的解。 有限元方程的解法波前法波前法 以高斯消去法为基础，而发展起来的解决计算容量不足的一种新方法。实施中，将生成的单元刚阵元素分批送入计算机内存，检查有无迭加完毕的自由度，若有则对其进行消元，并送出内存，同时紧凑内存中的其他元素，送入下一批单元刚阵元素，至到最后一个元素被消元，此时消元结束。回代时按相反顺序从外存读入数据进行计算。 与高斯消去法的最大差别是：高斯消去法按自由度编号顺序消元与回代。而波前法则不是，是按自由度完毕迭加的先后顺序消元与回代，同时使用计算机外存。有限元方程的解法块追赶法块追赶法 特殊结构适合于用此类方法，如平板叶片，纵横网格均匀时。有限元方程的解法子结构法 由于求解复杂类型结构时，求借总刚矩阵阶数高，要求计算内存量大等，则可采用子结构法。迭代法迭代法 它不是方程组的真实解，而是用某一近似值代入，逐步迭代。使近似值逐渐逼近，达到误差时，取其为方程组的解。 类似于牛顿迭代法。 有限元方程的解法