《高等数学A(一)》强化训练题一解答

高等A(一)试(07-08-1) 《高等数学A(一)》强化训练题一解答 一、单项选择题: 1. C; 2. B; 3. D; 4. A; 5. C. 二、填空题: 6. ; 7. 2; 8. ; 9. ; 10. . 三、计算题: 11. 解: 12. 解: 设 则 因为 所以 13. 如果函数 由方程 所确定, 求 . 解: 代入方程得 方程两边对 求导, 得 将 , 代入得 方程 两边再对 求导, 得 代入上述数据得 14. 设 其中 是可微函数, 求 . 解: 15. 解: 令 则 所以 16. 解: 17. 已知 求 解: 因为 所以 18. 在曲线 上任意点 作切线, 切线与 轴交点是 , 又从点 向 轴作垂线, 垂足是 . 试求三角形 面积的最小值. 解: 在点 处切线方程: 其中 令 得 所以 则三角形 的面积 由 得 因为当 所以 19. 设函数 满足: 存在. 求极限 . 解: 20. 设函数 满足 讨论 是否是函数 的极值点. 解: (1) 若 则 不是函数 的极值点; (2) 若 由于 是连续函数, 得 所以当 时, 当 时, 得 则 不是函数 的极值点. 21. 设函数 是单调函数且二阶可导, 记 是 的反函数. 已知: 求: (1) ; (2) . 解: (1) (2) 四、题: 22. 证明不等式: 证: 设 则由 得 (唯一驻点), 因为 所以 故 是函数 的极小点, 即也是最小点. 因此 故有 23. 设函数 在 上有二阶导数, 且 . 证明: 在区间 内至少存在一个点 , 使得 . 证: 由已知条件知 在 上连续, 在 内可导, 且 则由罗尔定 理得存在 使得 又因为 则 显然在 上 也满足罗尔定理的条件, 故至少存在一个点 , 使得 .