第4章 刚体静力学专题习题解
— 1 —
习题 4-1图
PF
1F
3F
2F
Aα
(a)
θ
B
θ
BCF
BEF
BQF
'
ABF
(c)
E
ABF
A
θ
1q
2q
(b)
习题 4-2图
BF
A
Q
QGF
QDF
D
E
θ
θ
BCT
(a)
工程力学(1)习题全解
第 4章 刚体静力学专题
4-1 塔式桁架如图所示,已知载荷 FP和尺寸 d、l。试求杆 1、2、3的受力。
解:截面法,受力如图(a)
d
l...
— 1 —
习题 4-1图
PF
1F
3F
2F
Aα
(a)
θ
B
θ
BCF
BEF
BQF
'
ABF
(c)
E
ABF
A
θ
1q
2q
(b)
习题 4-2图
BF
A
Q
QGF
QDF
D
E
θ
θ
BCT
(a)
工程力学(1)习题全解
第 4章 刚体静力学专题
4-1 塔式桁架如图所示,已知载荷 FP和尺寸 d、l。试求杆 1、2、3的受力。
解:截面法,受力如图(a)
d
l=αtan ,
22
cos
dl
d
+
=α
0=∑ xF , 0cos2P =− αFF
P
22
2 Fd
dlF += (拉)
0=∑ AM , 02P1 =⋅− lFdF
P1
2 F
d
lF = (拉)
0=∑ yF , 0sin231 =++ αFFF
P3
3 F
d
lF −= (压)
4-2 图示构件 AE和 EQ铰接在一起做成一个广告牌。它承受给定的分布风载。试求
每个二力杆件的受力。
解:(1)先将分布载荷合成于 E点
88894.2)7.7402963(8.47.740 =×−+×=F N
由节点 C,显然 FCQ = 0 (1)
(2)截面法,图(a)
0=∑ DM , 08.45
38.4 =××+×− QGFF ,FQG = 14815 N(拉) (2)
0=∑ BM ,FQD = 0
0=∑ yF , 05
4 =+× BCQG FF , 11852−=BCF N(压) (3)
(3)截面法,图(b)
— 2 —
习题 4-3图
BRF
B
ERF
E
60kN40kN
(a)
HIF H G F
E
DB
60kN
BHF
26.7kN
CDF
(b)
习题 4-4图
A B C D E
F
H
JOF
J
FKF
PF
(a)
0=∑ EM , 08.04.2)7.7402963(2
12.14.27.7404.2
5
3 =××−−××−××− ABF
2963−=ABF N(压) (4)
(4)节点 B,图(c)
0=∑ yF , 05
4
5
4 =−−′ BQBCAB FFF , 05
4118522963
5
4 =−+×− BQF
FBQ = 11852 N(拉) (5)
0=∑ xF , 0)(5
3 =++′ BEBQAB FFF , 0)118522963(5
3 =++− BEF , 5333−=BEF N(压) (6)
又 11852−== BCCD FF N(压) (7)
4-3 桁架的载荷和尺寸如图所示。试求杆 BH、CD和 GD的受力。
解:(1)节点 G: 0=∑ yF , 0=GDF
(2)节点 C: 0=∑ yF , 0=HCF
(3)整体,图(a)
0=∑ BM , 0405601015 R =×+×−EF
67.26R =EF kN(↑)
(4)截面法,图(b)
0=∑ HM , 067.26106055 =×+×−− CDF
67.6−=CDF kN(压)
0=∑ yF , 067.26602
2 =+−− BHF
1.47−=BHF kN
4-4 图示桁架的载荷 FP和尺寸 d均为已知。试求杆件 FK和 JO的受力。
解:截面法,图(a): 0=∑ JM , 04P =⋅+⋅− dFdF FK , 4
PFFFK = (拉)
0=∑ yF , 4
PFFJO −= (压)
— 3 —
习题 4-6图
x
Cθ
θ
1F
2F
CFF
(b)
D C
PF
2F
3F F
(a)
习题 4-5图
iA
NisF
SisF
xSiF
xNiF
(a)
SisF
NisF
xNiF
xSiF
iB
(b)
4-5 图示桁架所受的载荷 FP和尺寸 d均为已知。试求杆 1、2、3受力。
解:(1)截面法,图(a): 0=∑ xF ,F3 = 0
0=∑ DM , 03
2
2P =⋅+⋅ dFdF , P2 3
2 FF −= (压)
(2)节点 C,图(b):
3
2
2
3tan ==
d
d
θ
0=∑ xF , 0sincos 21 =− θθ FF , P21 9
4tan FFF −== θ (压)
4-6 一叠纸片按图示形状堆叠,其露出的自由端用纸粘连,成为两叠彼此独立的纸
本 A和 B。每张纸重 0.06N,纸片总数有 200张,纸与纸之间以及纸与桌面之间的摩擦因数
都是 0.2。假设其中一叠纸是固定的,试求拉出另一叠纸所需的水平力 FP。
解:(1)将 A从 B中拉出:
A 中最上层,这里称第 1 层纸,其上、下所受正
压力分别为
FN1 = mg = 0.06N;FN2 = 2mg
以此类推,A中第 i层纸上、下受力图(a)
mgiF i )12(sN −= ; imgF i 2xN =
其最下层,即第 100层纸,上、下受正压力
FN100s = 199 mg ;FN100x = 200 mg
所受总摩擦力
)]200199()212()43()21[(d
Nds
++++−+++++=
∑=
"" iimgf
FfF iA
241
2
)1200(20006.02.0 =+×××= N
∴ FPA = 241 N
2.将 B从 A中拉出:
B中第 i层纸上、下受正压力(图 b):
mgiF i )22(sN −= , mgiF i )12(xN −=
所受总压力
)]199198()32()10[(N ++++++= "mgF
所受总摩擦力
239
2
)1199(19906.02.0)199321(ds =+×××=++++= "mgfF B N
FPB = 239 N
— 4 —
G
PF
B
'
N1FA
d
F'
(b)
习题 4-7图
BNF
B
N1F
1F
α
QF
(a)
'
N1F
α A minF
ANF
'1F
(b)
BNF
OF
B
N2F2F
(c)
'FN2
'
2F
ANF
A
maxF
(d)
习题 4-8图
F F
F
W
N1F
(a)
4-7 尖劈起重装置如图所示。尖劈 A 的顶角为α ,B 块上受力 FQ的作用。A 块与 B
块之间的静摩擦因数为 fs(有滚珠处摩擦力忽略不计)。如不计 A块和 B块的重,试求解保
持平衡的力 FP的范围。
解:(1)B几乎要下滑时,FP = Fmin
图(a), 0=∑ yF
0sincos Q1N1 =−+ FFF αα (1)
图(b), 0=∑ xF
0sincos min1N1 =−′+′− FFF αα (2)
F1 = fFN1 (3)
解(1)、(2)、(3),得:
Qmin sincos
cossin F
f
fF αα
αα
+
−= (4)
(2)B几乎要向上滑时,FP = Fmax
图(c), 0=∑ yF
0sincos Q22N =−− FFF αα (5)
图(d), 0=∑ xF
0sincos max2N2 =−′+′ FFF αα (6)
F2 = fFN2 (7)
解(5)、(6)、(7),得:
Qmax sincos
cossin F
f
fF αα
αα
−
+= (8)
由(4)、(8),得:
QPQ sincos
cossin
sincos
cossin F
f
fFF
f
f
αα
αα
αα
αα
−
+≤≤+
−
4-8 砖夹的宽度为 250mm,杆件 AGB和 GCED在点 G铰接。砖的重为W,提砖的
合力 FP作用在砖夹的对称中心线上,尺寸如图所示。如砖夹与砖之间的静摩擦因数 fs = 0.5,
试问 d应为多大才能把砖夹起(d是点 G到砖上所受正压力作用线的距离)。
解:(1)整体(题图): 0=∑ yF ,FP = W (1)
(2)图(a): 0=∑ yF , 2
WF = (2)
— 5 —
NF
'
sF
NF'
sF
hmϕ
150
(a)
习题 4-9图
'
NF
s1F
s2F
NF
NF
(b)
B
D
ECA
D
R
mϕ
mϕ
mϕ
mϕ
mϕ
mϕ
(a)
r
习题 4-10图
0=∑ xF ,FN1 = FN2
1NfFF ≤ (3)
f
W
f
FFF
22N1N
=≥= (4)
(3)图(b): 0=∑ GM , 03095 1NP =′−×′+× dFFF , 0223095 ≥−×+ df
WWW , 110≤d mm
4-9 图示购物车因受到某一水平力作用产生运动。试
求能够制动其车轮不转的圆形障碍物所具有的最大半径 r。
设不计障碍物重;A、B两接触点的静摩擦因数 fs = 0.4。
解:车平衡临界状态圆形障碍物受力图(a),图中 mϕ 为摩
擦角,
4.0tan s == fmϕ
由图(a)所示几何关系
mBC
R ϕcot=
mBC
r ϕtan=
2s2tan fR
r
m == ϕ
4.144.090 22s =×== Rfr mm
4-10 用矩形钢箍来防止受拉伸载荷作用的两块木条料的相对滑动,如图所示,设钢
箍与木料、木料与木料之间的静摩擦因数均为 0.30,且所有接触面同时产生相对滑动,FP =
800N。试求能够阻止滑动的钢箍最大尺寸 h及相应的正压力。
解:(1)以钢箍为研究对象,受力如图(a)
阻止滑动的最大 h要保证满足自锁, mϕ 为摩擦角
3.0tan =mϕ
6.156
cos
150
max ==
m
h ϕ mm
(2)以上木块为研究对象,受力
如图(b)
0=∑ xF , 21ssP 2 sFFFF +==
Ns 3.0 FF =
NP 3.02 FF ×=
1333
6.0
800
6.0
P
N === FF N
— 6 —
N1F θ
θ
Fx
s2F
s1F
2NF
(a)
习题 4-12图
习题 4-11图
QF
N1F'
N2F'
N1F
s1F
C
e
'
s1F
(a)
N2F
M
O
e
(b)
习题 4-13图
4-11 图示为凸轮顶杆机构,在凸轮上作用有力偶,其力偶矩的大小为 M,顶杆上作
用有力 FQ。已知顶杆与导轨之间的静摩擦因数 fs,偏心距为 e,凸轮与顶杆之间的摩擦可忽
略不计,要使顶杆在导轨中向上运动而不致被卡住,试问滑道的长度 l应为多少?
解:(1)对象:凸轮;受力图(b)
0=∑ OM , e
WF =′ 2N (1)
(2)对象:顶杆,受力图(a)
0=∑ yF , 2NsQ 2 FFF =+ (2)
2s1ss FFF ==
1Nss FfF = (3)
式(1)、(3)代入(2),得
e
MFfF =+ 1NsQ 2 (4)
0)( =∑ FCM , MeFlF =⋅=⋅ 2N1N
l
MF =1N
代入式(4),得
e
M
l
MfF =⋅+ sQ 2
eFM
Mef
l
Q
s2
−=
即
eFM
Mef
l
Q
s
min
2
−=
4-12 一人用水平力 F将电气开关插头插入插座。二者初始接触的情形如图所示,当
F = 13.3N时,插头完成所述动作。试问开始插入时,垂直于插座中每个簧片上的接触分量
是多少?设摩擦因数为 0.25。
解:图(a),由对称性
21 ss FF =
2N1N FF =
0=∑ xF
FFF =+ θθ sin2cos2 Ns (1)
Nss FfF = (2)
由(1)、(2)
28.9
)
2
1
2
325.0(2
3.13
)sincos(2N
=
+×
=+= θθf
FF N
4-13 平板闸门宽度 l = 12m(为垂直于图面方向的长度),高 h = 8m,重为 400kN,
安置在铅垂滑槽内。A、B为滚轮,半径为 100mm,滚轮与滑槽间的滚动阻碍系数δ = 0.7mm,
C处为光滑接触。闸门由起重机启闭,试求:
(1) 闸门未启动时(即 FT = 0时,A、B、C三点的约束力);
(2) 开启闸门所需的力 FT(力 FT通过闸门重心)。
解:闸门受水压如图(a)线性分布
最大压强: 4.788.98m =×== γhq kN/m2
总压力 37634.78
2
1812
2
1
m =×××== qlhQ kN
位于距 C为
3
h 处
(1) 闸门未启时平衡:
0=∑ xF , 0RR =−− BA FFQ (1)
— 7 —
DNF
A
CyF
B
CxFA'NF
2
P
D
CD30
8.50 8.88
5.761
(a)
习题 4-14图
A
BF
B
BNF
CyF
C
ANF
CxF
AF
D30
8.50 8.88
(c)
2
P
A
B
B'NF
B'F'
AF
DNF
D
A'NF
(b)
W
ARF
BRFB
C
CRF
mq
A
QF
(a)
TF
ARF
AF
A
W
BF
BRFB
QF
3
h
(b)
0=∑ yF , 0R =−WF C (2)
0=∑ BM , 0)13
8(6 R =−−QF A (3)
解得 1045
18
5
R == QF A kN
2718
18
13
R == QF B kN
400R ==WF C kN
(原书答案对应于 g= 10 m/s2 所得)
(2)启动闸门时,图(b)
摩擦阻力 3.71045
100
7.0
R =×== AA FRF
δ kN
0.192718
100
7.0
R =×== BB FRF
δ kN
闸门能启动的条件是
3.426T =++≥ BA FFWF kN
4-14 图示二人用特制夹具搬
运厚 50.8mm 的板料。他们用右手分
别在 C 处施加一沿斜上方向的倾斜
力,同时又分别用左手给平板一水平
力,以使其保持在垂直方向。若二人
左手施加的水平力相等,且每人负担
板料的一半重,试求板料与夹具间的
静摩擦因数至少应为多少?
解:(1)整体,图(a),设板料重 P
0)( =∑ FCM
0)30tan8.505.761()4.258.88(
2 N
=°−−+ DFP
FND = 0.078 P (1)
0=∑ xF , PFF DCx 078.0N == (2)
0=∑ yF ,
2
PFCy = (3)
(2)夹具平衡,图(b)
0=∑ xF , 0NN =−− CxAB FFF (4)
0=∑ yF , 0=−− BACy FFF (5)
0=∑ CM , 033.298.886.139 N =−+ ABA FFF (6)
又 AA FfF Ns≤ (7)
BB FfF Ns≤ (8)
式(2)代入(4),得
0078.0NN =−− PFF AB (9)
式(3)、(7)、(8)代入(5),得
PFFf BA ≥+ )(2 NNs (10)
式(7)、(8)代入(6),得
ABA FFfFf NNsNs 33.29)8.886.139 ≥+ (11)
式(9)代入(10),消去 FNB,得
PfFf A )156.01(4 sNs −≥ (12)
式(9)代入(11),消去 FNA,得
AFfPf Nss )4.22833.29(926.6 −≥ (13)
— 8 —
习题 4-15图
A C x
PF
x
q
y
O
q
l
)(
2
1 xl −
(a)
式(12)、(13)联立, AA Ff
f
fFf N
s
s
sNs 6.926
)4.22833.29(
)156.01(4
−−≥
即 033.29233926.7 s2s ≤+− ff , 27.291262.0 s ≤≤ f
上限无意义,故 fs>0.1262
4-15 图示均质杆重W,长 l,置于粗糙的水平面上,二者间的静摩擦因数为 fs。现在
杆一端施加与杆垂直的力 FP,试求使杆处于平衡时 FP的最大值。设杆的高度忽略不计。
解:设杆在 FP作用下有绕 A转动趋势,杆单位长度受摩擦力 sfl
Wq = ,方向如图(a)。
0=∑ yF , 0)(ssP =−−+ xlfl
Wxf
l
WF (1)
即 02 ssP =+− xl
WfWfF (2)
0=∑ CM , 022 sP =−
−⋅ lx
l
WfxlF (3)
由(2), )21(sP l
xWfF −= (4)
代入(3), 0
22
)21( ss =⋅−−⋅− xWfxll
xWf
0))(21( =−−− xxl
l
x
llx 293.0)
2
21( =−=
代入(4), WfF sP 4142.0=
*4-16 轴的摩擦制动装置简图如图所示,轴上外加的力偶矩 mN 1000 ⋅=M ,制动轮
半径 mm 250=r ,制动轮与制动块间的静摩擦因数 25.0s =f 。试求制动时制动块加在制
动轮上正压力的最小值。
NF NF ′
r2
M
制动轮
制动块
轴 r2
M
C
maxF
minNF minNF ′
maxF ′
M
解: 0)( =∑ FCM , 02max =−⋅ MrF , Nminsmax FfF =
N 8000
1025025.02
1000
2 3s
Nmin =×××== −rf
MF
*4-17如图所示起重机用抓具,由弯杆 ABC和 DEF组成,两根弯杆由 BE杆 B、E两处
用铰链连接,抓具各部分的尺寸如图所示。这种抓具是靠摩擦力抓取重物的。试求为了抓取
重物,抓具与重物之间的静摩擦因数应为多大(BE尺寸不计)。
— 9 —
重物
弯杆
吊环
QF ′
DA
B E
C FG
QF
°120
200
QF
F F
NF NF ′
QF ′
°60 °60
DFAF
D
E
F
F
NF
ExF
EyF
DF ′
解(1)研究对象重物,受力图(a)
0=∑ yF , Q2 FF = , 2
QFF = (a)
Nsmax FfFF == ,
N
Q
s 2F
F
f = (b)
(2)研究对象吊环,受力图(b)
0=∑ xF , AD FF =
0=∑ yF , Q60cos2 FFD =° , QFFD = (c)
(3)研究对象弯杆 CFED,受力图(c)
0=∑ EM , 015.02.06.0 N' =×−×−× FFFD
式(a)、(b)、(c)代入,得
0
2
15.01.06.0
s
Q
QQ =−− f
F
FF , 15.0s =f
*4-18如图所示,A块重 500 N,轮轴 B重 1000 N,A块与轮轴的轴以水平绳连接。在
轮轴外绕以细绳,此绳跨过一光滑的滑轮 D,在绳的端点系一重物 C。如 A 块与平面间的
摩擦因数为 0.5,轮轴与平面间的摩擦因数为 0.2,不计滚动阻碍,试求使物体系平衡时物体
C的重量W的最大值。
A C
D
Bo
3
4
10050 1T
F
o
2TF
3
2SF
2NF
2P
r
R
4
α
A 1TF ′
1NF
1SF
1P
解:系统平衡时,轮轴 B和物块 A均应平衡,且
WF =T2
由图(a), 0=∑ EM , 0)()cos( T1T2 =+++− rRFRRF α (1)
0=∑ xF , 0cos s2T1T2 =+− FFF α (2)
0=∑ yF , 0sin N22T2 =+− FPF α (3)
由图(b), 0=∑ xF , 0s1T1 =− FF (4)
— 10 —
0=∑ yF , 01N1 =− PF (5)
先设轮轴 B即将滚动,但不打滑,使物块 A即将滑动,则
N1s1s1 FfF ⋅= (6)
解得 N 820T2 =F , N 175N 6.83 N2s2s2 =<= FfF
即轮轴在即将滚动时确实不会打滑。
再设轮轴即将打滑,物块 A仍不动,对轮轴有:
N2s2s2 FfF ⋅= (7)
联立(2)、(3)、(4)、(5)、(7)各式,解得
N 385T2 =F , N1s1s1 FfF > (假设不成立)
即此时物块 A已不能平衡。因此全系统平衡时物体 C的重量的最大值
N 208T2 == FW
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