34
第三部分 消费与生产理论
第一节 效用最大化问题
1.[简单][来自 WMG 3.D.5]考虑一个常数替代弹性的效用函数 1/1 2( ) [ ]u x x xρ ρ ρ= + 。
(1) 求瓦尔拉斯需求函数和间接效用函数;
(2) 证明:瓦尔拉斯需求函数是单值的,零次齐次的,并且满足瓦尔拉斯法则;
(3) 证明:间接效用函数是零次齐次的,对财富严格递增,对价格严格递减的。
证明:(1) 注意到,效用函数的单调变换不改变偏好关系本身。于是,这个常数替代弹性
的效用函数表示的偏好也可以用以下效用函数表示:
�
1 2( ) ( ) ( )u x u x x x
ρ ρ ρρ ρ= = +
以 �( )u i 为目标函数,效用最大化问题的解为:
1 1
1 2
1 2
( , ) ( )( , )wx p w p p
p p
δ δ
δ δ
− −= +
其中 ( ,1)
1
ρδ ρ= ∈ −∞− .
将上式代入 ( )u i , 得到间接效用函数
1/
1 2
( , )
( )
wv p w
p pδ δ δ
= +
(2) 需求函数是单值的,这是显然的。
验证需求函数的零次齐次性:
1 1
1 2
1 2
1 1
1 2
1 2
( , ) (( ) , ( ) )
( ) ( )
( , )
( ) ( )
( , )
wx p w p p
p p
w p p
p p
x p w
δ δ
δ δ
δ δ
δ δ
αα α α αα α
− −
− −
= +
= +
=
验证瓦尔拉斯法则:
1 1
1 1 2 2
1 2
( , ) ( )
( ) ( )
wp x p w p p p p w
p p
δ δ
δ δ
− −= + =+i i i
(3) 验证间接效用函数的零次齐次性:
1 1 11/
1 2 1 2 1 2
( , )
[( ) ( ) ] ( ) ( )
( , )
v p w
w w w
p p p p p p
v p w
δ δ δ δ δ δ δ δδ δ δ
α α
α α
α α α α
= = =+ + +
=
i
验证单调性:
1
1 2
( , ) 1 0
( )
v p w
w p pδ δ δ
∂ = >∂ +
1
1
1
1 2
( , ) 0
( )
l
l
wpv p w
p p p
δ
δ δ δ
−
+
∂ = − <∂ +
。
2.[ 简 单 ][ 改 编自 WMG 习 题 3.D.5] 考 虑一个常数替代弹性的效用函数
1/
1 2( ) [ ]u x x x
ρ ρ ρ= + ,证明当 0ρ → 时, ( )u x 是 Cobb-Douglas 形式的,并且间接效用函
35
数是关于 ( , )p w 的拟凹函数。
解:当 0ρ → 时,效用函数是 Cobb-Douglas 形式的。为了证明这一点,注意到,效用函数
的单调变换不改变偏好关系本身。于是,做如下的单调变换:
1 2
1( ) ln ( ) ln( )u x u x x xρ ρρ= = +�
根据 L’ Hopital’s 法则,
1 1 2 2 1 20 0
1 2
lim ( ) lim( ln ln ) /( )
1 (ln ln )
2
u x x x x x x x
x x
ρ ρ ρ ρ
ρ ρ→ →= + +
= +
�
因为 1 2exp(2 ( ))u x x x=� , 于是这个偏好对应的效用函数是 Cobb-Douglas 形式的。
对于效用函数 1 2
1( ) (ln ln )
2
u x x x= +� ,它的间接效用函数是:
1 2
1 1( , ) ln ln 2 ln ln
2 2
v p w w p p= − − − 。
为证明其拟凹性。注意到, 1ln p 和 2ln p 是凹函数, 而 1 2ln lnp p+ 也是凹函数。
对 于 满 足 ( , ) , ( , )v p w v v p w v′≤ ≤ 的 任 意 价 格 向 量 ,p p′ 我 要 证 明
( (1 ) , ) , [0,1]v tp t p w v t′+ − ≤ ∈ 。即要证明:
1 1 2 2ln( (1 ) ) ln( (1 ) ) 2 ln 2 ln 2 2tp t p tp t p w v′ ′+ − + + − ≥ − −
我们已经有 1 2
1 2
ln ln 2ln 2ln 2 2
ln ln 2ln 2ln 2 2
p p w v
p p w v
+ ≥ − −
′ ′+ ≥ − −
由于 ln p是凹函数,于是
1 1 2 2
1 1 2 2
1 2 1 2
ln( (1 ) ) ln( (1 ) )
ln (1 ) ln ln (1 ) ln
(ln ln ) (1 )(ln ln )
(2 ln 2 ln 2 2 ) (1 )(2 ln 2 ln 2 2 )
2 ln 2 ln 2 2
tp t p tp t p
t p t p t p t p
t p p t p p
t w v t w v
w v
′ ′+ − + + −
′ ′≥ + − + + −
′ ′= + + − +
≥ − − + − − −
= − −
因此 ( (1 ) , ) , [0,1]v tp t p w v t′+ − ≤ ∈ 。证毕。
3.[简单][来自 WMG 习题 3.D.6]
考虑一个效用函数 1 1 2 2 3 3( ) ( ) ( ) ( )u x x b x b x bα β γ= − − − 。
(1) 解释为什么可以不失一般性地假设 1α β γ+ + = ;
(2) 求瓦尔拉斯需求函数和间接效用函数,并证明间接效用函数是零次齐次的,对财富严
格递增,对价格严格递减的,而且,间接效用函数是 ( , )p w 的拟凸函数。
解 : (1) 定 义 � 1( ) 1 1 2 2 3 3( ) ( ) ( ) ( ) ( )u x u x x b x b x bα β γα β γ ′ ′ ′+ += = − − − , 其 中 ,
, ,α β γα β γα β γ α β γ α β γ′ ′ ′= = =+ + + + + + 。 于是 1α β γ′ ′ ′+ + = 并且
�( )u i 代表了
与 ( )u i 一样的偏好关系。因此可以不失一般性地假设 1α β γ+ + = 。
(2) 利用另一个单调变换:
1 1 2 2 3 3ln ( ) ln( ) ln( ) ln( )u x x b x b x bα β γ= − + − + −
瓦尔拉斯需求函数为:
36
1 2 3
1 2 3
( , ) ( , , ) ( )( , , )x p w b b b w p b
p p p
α β γ= + − i
其中 1 1 2 2 3 3p b p b p b p b= + +i . 将这个需求函数代入 ( )u i ,得到间接效用函数:
1 2 3
( , ) ( )( ) ( ) ( )v p w w p b
p p p
α β γα β γ= − i 。
验证间接效用函数的齐次性:
1 2 3
1 ( )
1 2 3
1 2 3
( , ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( , )
v p w w p b
p p p
w p b
p p p
w p b v p w
p p p
α β γ
α β γ α β γ
α β γ
α β γλ λ λ λ λ λ λ
α β γλ
α β γ
− + +
= −
= −
= − =
i
i
i
验证间接效用函数的单调性:
1 2 3
1 1
2 2
3 3
( , ) ( ) ( ) ( ) 0
( , ) ( , ) ( ) 0
( , ) ( , ) ( ) 0
( , ) ( , ) ( ) 0
v p w
w p p p
v p w v p w
p p
v p w v p w
p p
v p w v p w
p p
α β γα β γ
α
β
γ
∂ = >∂
∂ = − <∂
∂ = − <∂
∂ = − <∂
i
i
i
为验证间接效用函数是 ( , )p w 的拟凸函数,即要证明,对于任意的 v R∈ 和 0w > ,
集合 3{ : ( , ) }p R v p w v∈ ≤ 是凸集。考虑
1 2 3ln ( , ) ln ln ln ln( ) ln ln lnv p w w p b p p pα α β β γ γ α β γ= + + + − − − −i 。
因为 ln( )i 函数是凹函数,因此
3
1 2 3{ : ln( ) ln ln ln }p R w p b p p p vα β γ∈ − − − − ≤i 对任何 v R∈ 都是凸集。 由于
ln ln lnα α β β γ γ+ + 不依赖 p ,于是集合 3{ : ln ( , ) }p R v p w v∈ ≤ 是凸集。所以
3{ : ( , ) }p R v p w v∈ ≤ 是凸集。证毕。
4.[中等][来自陈庆池老师的习题]消费者的效用函数 1 2( , )u x x 对是 1x 和 2x 单调非减的,而
且如果 x x′>> ,那么 ( ) ( )u x u x′> 。他的消费行为可以由一个需求函数 ( , )x p w 表示,
因此他的间接效用函数可以表示为 ( , ) ( ( , ))v p w u x p w= ,而且这个需求函数满足瓦尔拉
斯法则。由于这个消费者并不是理性的,所以他的需求函数并不是马歇尔需求函数。
证明:(1) 如果
1 2 1 2
( , ) ( , )w wx p w
p p p p
= + + ,那么 ( , )v p w 是拟凸的;
(2) 证明存在这样的需求函数 ( , )x p w ,虽然 ( , )x p w 对 ( , )p w 是单调非减的,而且满足
瓦尔拉斯法则,但是 ( , )v p w 不是拟凸的。
证明:(1) 要证明 ( , )v p w 是拟凸的,即要证明
( (1 ) , (1 ) ) max[ ( , ), ( , )]v p p w w v p w v p wλ λ λ λ′ ′ ′ ′+ − + − ≤ 。
由于
1 2 1 2
( , ) ( , )w wx p w
p p p p
= + + ,所以 ( , ) ( , )v p w v p w′ ′≥ ,当且仅当
37
1 2 1 2
w w
p p p p
′≥+ ′ ′+ 。
所以,
1 21 2 1 2 1 2
(1 ) max( , )
( ) (1 )( )
w w w w
p pp p p p p p
λ λ
λ λ
′ ′+ − ≤ +′ ′ ′ ′+ + − + + 。证毕。
(2) 举一个例子: 1 2 1 2( , ) min( , )u x x x x= ,
1 2
1
1 2
1 2
2 1
2
( ,0)
( , ) ( , )
2 2
(0, )
y p p
p
y yx p w p p
p p
y p p
p
⎧ <⎪⎪⎪= =⎨⎪⎪ <⎪⎩
。
5.[中等][来自陈庆池老师的习题]假设u是一个效用函数,而v是对应的间接效用函数。
证明:(1)对于所有的价格向量 0p >> 和可行的消费束 0x >> ,都有 ( , ) ( )v p px u x≥ ;
(2)是否总是存在一个价格向量 p使得 ( , ) ( )v p px u x= ?如果是,请证明,如果不
是请举一个反例。
证明:(1)由于间接效用函数是效用最大化的值函数,因此有
( , ) max ( )v p px u x′= 使得 px px′ ≤ 。由于 x是可行的,所以总有 ( , ) ( )v p px u x≥ 。
(2) 并不总是存在一个价格向量 p使得 ( , ) ( )v p px u x= 。
反例: 1( ) max( ,..., )nu x x x= , (1,...,1)x = 。
这是因为,对于所有的 0p >> ,都有
1 1
( ,0,...,0) 1 ( )i i
p p
u u x
p p
= > =∑ ∑ ,而
1
( ,0,...,0)i
p
p
∑ 是可行的。
6.[中等][来自郑老师的习题]消费者的效用函数是 1/ 2 21( ) 2 10
xu x x= + 。求:(1)消费者的马
歇尔需求函数;(2)请画出无差异曲线和恩格尔曲线。
解:(1)
2
2
2 1
2
2 2
2
1 2 1
100(0, )
( , )
100 100( , )
py y
p p
x p y
p py
p p p
⎧ ≤⎪⎪= ⎨⎪ −⎪⎩
。
(2) 略。
7. [中等][来自郑老师的习题] 证明:如果消费者具有拟线性偏好,那么需求函数是 y的一
次齐次函数。
证明:此题即要证明, ( , ) ( , )x p ty tx p y∼ 。用反证法。对于任意 0t > ,如果
( , ) ( , )x p ty tx p y; ,根据偏好是位似的,有1 ( , ) ( , )x p ty x p y
t
; (1)。注意到,
1 ( , )x p ty
t
在 ( , )p y 的预算约束下是可行的,所以(1)就不成立,否则 ( , )x p y 就
不是在 ( , )p y 下效用最大化的结果。
同理,若 ( , ) ( , )tx p y x p ty; ,则 ( , )x p ty 不是在 ( , )p ty 下效用最大化的结果。
8.[困难][来自郑老师的习题]考虑一个公共品供给问题。一个两商品经济,私人品 x和公共
38
品 G,一个两个消费者 A 和 B。生产转换函数 ( , ) 0F x G = ,居民的效用函数为: ( , )A Au x G
和 ( , )B Bu x G ,满足 A Bx x x+ = 。
(1)如果存在一个中央计划者,其目标函数是 ( , ) ( , )A BA Bu x G u x G+ ,请证明:中央计
划者资源最优配置满足 Smuelson 条件: A BGX GX GXMRS MRS MRT+ = 。
(2)资源配置的 Pareto 有效可以表示为:给定居民 B 效用水平达到 u0的前提下,最大
化 A的效用水平。
(a)请把上述问题表述为居民 A的最优化问题:目标函数、约束条件和控制变量;
(b)请用图形表示 A 可行的资源配置集{((x,G): (x,G)是可行的)};并在同一图形中表
示 A的可行消费集(哪些((xA,G)是可行的);(提示:A的选择面临技术约束和 B的
福利约束)
(c)证明:A的最优选择同样满足 Smuelson 条件。
解:(1)中央计划者的问题为,max ( , ) ( , )A BA Bu x G u x G+ 使得 ( , ) 0A BF x x G+ = 。
一 阶 条 件 为 , ( , ) ( , ) 0Ax A xu x G F x Gλ+ = , ( , ) ( , ) 0Bx B xu x G F x Gλ+ = ,
( , ) ( , ) ( , ) 0A BG A G B Gu x G u x G F x Gλ+ + = 。于是, ( , ) ( , )A Bx A x Bu x G u x G= 。可得,
( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , )
A B
G A G B G
A B
x A x B x
u x G u x G F x G
u x G u x G F x G
+ = − ,即 A BGX GX GXMRS MRS MRT+ = 。
(2)max ( , )A Au x G ,使得, 0( , )B Bu x G u= , ( , ) 0A BF x x G+ = , A Bx x x+ = 。
(3)上述问题的一阶条件是 ( , ) ( , )Ax A xu x G F x Gφ= , ( , ) ( , )Bx B xu x G F x Gλ φ= ,
( , ) ( , ) ( , ) 0A BG A G B Gu x G u x G F x Gλ φ+ + = ,即 ( , ) ( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , )
A B
G A G B G
A B
x A x B x
u x G u x G F x G
u x G u x G F x G
+ = − ,
即 A BGX GX GXMRS MRS MRT+ = 。
第一节 支出最小化问题
1. [简单][来 MWG 习题 3.E.6]考虑一个常数替代弹性的效用函数 1/1 2( ) [ ]u x x xρ ρ ρ= + 。
(1) 求支出函数;
(2) 证明:支出函数是价格的一次齐次函数,对效用严格递增,且是价格的单调非减的凹
函数;
解:(1)定义
1
ρδ ρ= − ,那么支出函数为
1
1 2( , ) ( )e p u u p p
δ δ δ= +
。
(2)注意到,
1
1 2( , ) (( ) ( ) ) ( , )e p u u p p e p u
δ δ δα α α α= + = ,所以支出函数是价格的
一次齐次函数。
又因为,
1
1 2
1 11
1 2
( , ) ( ) 0
( , ) ( ) 0l
l
e p u p p
u
e p u up p p
p
δ δ δ
δ δ δ δ −−
∂ = + >∂
∂ = + >∂
所以,支出函数对效用严格递增,且是价格的单调非减函数。
通过计算可知 2 ( , )pD e p u 是负半定的,因此 ( , )e p u 是价格的凹函数。
39
2. [简单][来 MWG 习题 3.E.6]考虑一个常数替代弹性的效用函数 1/1 2( ) [ ]u x x xρ ρ ρ= + 。
(1)求希克斯需求函数 ( , )h p u ;
(2)证明:希克斯需求函数 ( , )h p u 是价格的零次齐次函数,并且对于任意的 ( , )x h p u∈ ,
有 ( )u x u= 。
解:(1)
(1 )
1 1
1 2 1 2( , ) ( ) ( , )h p u u p p p p
δδ δ δ δδ− − −= + 。
(2)
(1 )
1 1
1 2 1 2( , ) (( ) ( ) ) (( ) , ( ) )
( , )
h p u u p p p p
h p u
δδ δ δ δδα α α α α− − −= +
=
因此希克斯需求函数 ( , )h p u 是价格的零次齐次函数。
对于任意的 ( , )x h p u∈ ,有 (1 ) 1( 1) ( 1)1 2 1 2( ( , )) ( ) ( )u h p u u p p p p
δδ δ δ ρ δ ρ ρδ− − −= + +
注意到 1( 1)δ δ ρ− = − ,于是 ( ( , ))u h p u u= 。
3. [中等][来 MWG 习题 3.E.7] 如果偏好关系对第一种商品是拟线性的,证明商品 2,3,⋯,
L的希克斯需求函数不依赖于效用u 。这种情况下,支出函数有怎样的形式?
解:如果偏好关系对第一种商品是拟线性的,那么效用函数可以记为:
1 2( ) ( ,..., )Lu x x u x x= + � 。令 1 (1,0,...,0) Le R= ∈ 。我们证明对于任意 0p >> ,满足
1
1 1, , ( , )
Lp u R x R −+= ∈ ∈ −∞ ∞ × ,如果 ( , )x h p u= ,那么 1 ( , )x e h p uα α+ = + 。
首先注意 1( )u x e uα α+ ≥ + ,即 1x eα+ 满足价格和效用为 ( , )p u α+ 时的支出最小
化 问 题 的 约 束 。 令 Ly R+∈ 且 ( )u y u α≥ + 。 那 么 1( )u y e uα− ≥ 。 因 此
1( )p y e p xα− ≥i i 。所以 1( )p y p x eα≥ +i i 。于是 1 ( , )x e h p uα α+ = + 。
从而,对于每一个 {2,..., }, , , ( , ) ( , )l ll L u R u R h p u h p u′ ′∈ ∈ ∈ = 。即,商品 2,⋯,L 的
希克斯需求函数独立于效用水平。所以,如果我们定义 ( ) ( ,0)h p h p=� ,那么
1( , ) ( )h p u h p ue= +� 。
由于 1( , ) ( , )h p u h p u eα α+ = + ,我们有 ( , ) ( , )e p u e p uα α+ = + 。因此,如果定
义 ( ) ( , 0)e p e p=� ,那么 ( , ) ( )e p u e p u= +� 。
4. [中等][来陈庆池老师习题]令 : nv R R R++ + +× → , : ne R R R++ + +× → ,且满足对于任意
np R++∈ 和u R+∈ 有: ( , ) mine p u y= , . . ( , )s t v p y u≥ 。
证明:如果v是 y 的增函数,且对 p和 y 是拟凸的,那么e是 p的凹函数。
证明:如果v是 y 的增函数,对于任意 p 和u ,有 ( , ( , ))v p e p u u= 。又由于 v是拟凸的,
于是有:对于任意 [0,1]λ ∈ ,有 1 2 1 2( (1 ) , ( , ) (1 ) ( , ))v p p e p u e p u uλ λ λ λ+ − + − ≤ 。
因此,由于 1 2 1 2( (1 ) , ( (1 ) , ))v p p e p p u uλ λ λ λ+ − + − = ,且v是 y 的增函数,所以
1 2 1 2( , ) (1 ) ( , ) ( (1 ) , )e p u e p u e p p uλ λ λ λ+ − ≤ + − ,即e是
1 2 1 2( , ) ( )
p
u x x x x c u= + =
的凹函数。
5.[中等][来自夏老师习题]假设消费者的偏好可以用以下效用函数表示
1 2 1 2( , ) ( )u x x x x c= + ,其中 0c > 是给定的参数
(1) 画出一组表示该偏好的无差异曲线;
(2) 计算该消费者的马歇尔需求函数;
40
(3) 计算该消费者的间接效用函数和支出函数;
解:(1)令 1 2( )x x c u+ = ,那么 1x 就是 2x 的函数,做出其图像即可为无差异曲线。
(2) 21
12
y cpx
p
+= , 22
22
y cpx
p
−= 。
(3)
2
2
1 2
( )
4
y cpv
p p
+= 。
可求得, 1 2
2 1
( , ) ( , )h p u p ux p u c
p p
= − ,于是, 1 21 2
2 1
( , ) ( )p u p ue p u p p c
p p
= + − 。
6. [中等][来自郑老师的习题]在一个有两个商品的经济中,消费者具有Leontief效用函为:
1 2 1 2( , ) min[ , ]u x x ax x= ,其中 a R++∈ 。求希克斯需求函数和支出函数。
解:希克斯需求函数为: ( , ) ( , )h ux p u u
a
= 。
支出函数为: 1 2( )( , ) p ap ue p u
a
+= 。
7.[中等][来自夏老师的习题] 假设消费者的偏好可以用以下效用函数表示:
1 2 1 2( , ) ( )u x x x f x= + ,其中 0, 0f f′ ′′> < ,假设 UMP 和 EMP 都存在内点解。
(1)请证明希克斯需求函数满足 2
2
(p, ) 0h u
p
∂ ≤∂ 。
(2)证明支出函数具有如下形式: ( , ) (p, ) (p)e p y m u n= + 。
证明:(1)消费者的支出最小化问题为:
1 1 2 2
1 2
min
. . ( )
p x p x
s t x f x u
+
+ ≥ 。
根据一阶条件,得到 22
1
( ) pf x
p
′ = 。对 2p 求导,得到: 2
2 2 1
(p, ) 1 0
( )
h u
p f x p
∂ = ≤′′∂ 。
(2)由消费者的支出最小化问题一阶条件,得到 22
1
( ) pf x
p
′ = ,即第二中商品的希克斯
需求函数与效用水平无关,可记为 2 2 ( )x h p= 。将它带入目标函数,可知支出函数具
有这样的形式: ( , ) (p, ) (p)e p y m u n= + 。
第二节 对偶问题与 Slutskty 方程
1.[中等][来自郑老师的习题]证明:如果马歇尔需求函数 ( , )x p y 是 0次齐次可微函数,而
且满足瓦尔拉斯法则,那么对所有 0p >> , 0y > ,都有 ( , ) 0pS p y = 和 ( , ) 0TS p y p = 。
证明:由于 ( , )x p y 是零次齐次,即 ( , ) ( , )x p y x tp ty= 。
对 t求偏导,得
1
( , ) ( , )0
n
i i
j
j j
x tp ty x tp typ y
p y=
∂ ∂= +∂ ∂∑ 。
令 1t = ,得
1
( , ) ( , )0
n
i i
j
j j
x p y x p yp y
p y=
∂ ∂= +∂ ∂∑ 。
41
根据瓦尔拉斯法则,
1
( , )j j
n
j
y x p y p
=
= ∑ 。
于是,
1
( , ) ( , )0 [ ( , ) ]
n
i i
j j
j j
x p y x p yp x p y
p y=
∂ ∂= +∂ ∂∑ ,
所以, ( , ) 0pS p y = 。
由 Slutsky Equation, ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
h
i i i
j
j j
x p u x p y x p y x p y
p p y
∂ ∂ ∂= +∂ ∂ ∂ ,两边乘以 jp ,
得 ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
h
i i i
j j j j
j j
x p u x p y x p yp p x p y p
p p y
∂ ∂ ∂= +∂ ∂ ∂ , 1, 2,...,j n= 。
将所有的等式相加,得
1 1 1
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
hn n n
i i i
j j j j
j j jj j
x p u x p y x p yp p x p y p
p p y= = =
∂ ∂ ∂= +∂ ∂ ∂∑ ∑ ∑ 。
即
1 1 1
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
hn n n
i i i
j j j j
j j jj j
x p u x p y x p yp p x p y p
p p y= = =
∂ ∂ ∂= +∂ ∂ ∂∑ ∑ ∑ 。
注意到,
1
( , )
n
j j
j
x p y p y
=
=∑ 。
则上式变为,
1 1
( , ) ( , ) ( , )hn ni i i
j j
j jj j
x p u x p y x p yp p y
p p y= =
∂ ∂ ∂= +∂ ∂ ∂∑ ∑ 。
易证,
1
( , ) ( , )n i i
j
j j
x p y x p yp y
p y=
∂ ∂+∂ ∂∑ =0.
于是,
1
( , ) 0
hn
i
j
j j
x p u p
p=
∂ =∂∑ 。即 ( , ) 0TS p y p = 。
2.[中等][来自夏老师的习题] 消费者的效用函数为
1
( ) i
n
i
i
u x xα
=
= ∑ ,证明:希克斯需求函数
满足
1
( , ) 0
hn
i
j
j j
x p u p
p=
∂ =∂∑ 。
证明:消费者的问题为:
1
1
min
. .ln ln ln
n
i i
i
n
i i
i
p x
s t u A xα
=
=
= +
∑
∑
得到, 1
( )
( , )
j
n
j
i
j jh
i
i
p
u
x p u
p A
αα α==
∏
,
于是, 1
( )
( , )
j
n
j
i kh
j ji
k k i
p
u
x p u
p p p A
αα α α=∂ =∂
∏
,当 k i≠ ;
42
1
2
( 1) ( )
( , )
j
n
j
i ih
j ji
k i
p
u
x p u
p p A
αα α α=−∂ =∂
∏
,当 k i= 。
于是,
1
( , ) 0
hn
i
j
j j
x p u p
p=
∂ =∂∑ 。
3.[简单][来自 WMG 习题 3.G.1]证明:如果罗尔等式成立,那么 ( , )( , )l
l
e p uh p u
p
∂= ∂ ,对每
个 1,...,l n= 都成立。
证明:由于 ( , ( , ))v p e p u u= 对任意的价格向量 p都成立,那么对 p求导,得到:
( , ( , )) ( ( , ( , )) / ) ( , ) 0p pv p e p u v p e p u w e p u∇ + ∂ ∂ ∇ = 。
根据罗尔等式, ( ( , ( , )) / )( ( , ) ( , ( , )) 0pv p e p u w e p u x p e p u∂ ∂ ∇ − = 。
由于 ( , ( , )) / 0v p e p u w∂ ∂ > ,且 ( , ) ( , ( , ))h p u x p e p u= 。
那么, ( , ) ( , )ph p u e p u= ∇ ,即 ( , )( , )l
l
e p uh p u
p
∂= ∂ ,对每个 1,...,l n= 都成立。
4.[简单][来自郑老师习题]消费者的效用函数为: 1 2( )u x x x= ,证明:以下等式成立:
( , ) ( , )ph p u e p u= ∇ , ( , ) 0pD h p u p = , ( , ) ( , ) ( , ) ( , )Tp p wD h p u D x p w D x p w x p w= + 。
证明:由于消费者的效用函数为 1 2( )u x x x= ,因此,
1
2
1
2
( , )
1
2
w
p
D x p w
p
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
,
2
1
2
1
,0
2
( , )
0,
2
p
w
p
D x p w
w
p
⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦
,
1
1 2
2
1
2
( , ) 2
1
2
p
e p u u p p
p
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥∇ = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
,
1 2( , ) 2v p w w p p= 。
可以验证, ( , ) ( , )ph p u e p u= ∇ , ( , ) 0pD h p u p = ,
( , ) ( , ) ( , ) ( , )Tp p wD h p u D x p w D x p w x p w= + 。
5.[中等][来自 F.M.Fisher]在一个有三个商品的经济中,消费者拥有财富w,他对第一,
第二种商品的需求函数为:
1 2
1
3 3 3
100 5 p p wx
p p p
β δ= − + + ; 1 22
3 3 3
p p wx
p p p
α β γ δ= + + + 。其中,这些希腊字母代
表非零的常数。
43
(1)怎样求第三种商品的需求函数?
(2)第一,第二中商品的需求函数是齐次的吗?
(3)如果这些需求函数是由效用最大化得到的,那么这些希腊字母满足怎样的要求?
(4)根据前面几问的答案,推断这个消费者的效用函数可能具有的形式。
解:(1)通过瓦尔拉斯法则,可以求得第三种商品的需求函数。
(2)容易证明,第一,第二中商品的需求函数是零次齐次的。
(3)注意到,这个消费者的 Slutskty 矩阵是对称的,因此,
1 2 1 2
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
( ) (100 5 )p p p pw w
p p p p p p p p p p
β δ β δα β γ δ β δ+ + + + = + − + + 。
令 3 1p = ,那么, 2 21 2 1 2( ) ( 100 ) 5p p w p p wβ αδ βδ γδ δ β δ δ βδ δ+ + + + = + − + + 。
于是, 100α = , 5β = − , 5γ = − 。
又由于 Slutskty 矩阵的对角线上的元素是非正的,从而可得 0δ = 。
(4)固定第三种商品,在平面内画出第一,第二中商品的无差异曲线可以看出,对第一,
第二种商品的效用函数可以表示为 1 2min( , )x x 。又由于对第一,第二种商品没有财富
效应,于是可知,这个消费者的效用函数可能为: 1 2 3( ) min( , )u x x x x= + 。
6.[简单][来自 WMG 习题 3.G.8]如果间接效用函数满足 ( , ) ( , ) lnv p w v p wα α= + ,那么称
这个间接效用函数 ( , )v p w 是对数齐次的。证明:如果 ( , )v i i 是对数齐次的,那么
( ,1) ( ,1)px p v p= −∇ 。
证明:将 ( , ) ( , ) lnv p w v p wα α= + 对α 微分,并令 1α = ,得到 ( , ) 1v p w w
w
∂ =∂ 。因此,
( ,1) 1v p
w
∂ =∂ 。根据罗尔等式,可得 ( ,1) ( ,1)px p v p= −∇ 。
7.[简单][来自夏老师的习题]如果间接效用函数具有形式 ( , ) ( ) ( )v p w a p b p w= + ,那么称
这种间接效用函数是 Gorman 形式的。证明:如果间接效用函数是 Gorman 形式的,那么
Engle 曲线是线性的。
证明:由于间接效用函数是 Gorman 形式的,即 ( , ) ( ) ( )v p w a p b p w= + 。
根据罗尔等式,可得 1( , ) ( ) ( )
( ) ( )p p
wx p w a p b p
b p b p
= − ∇ − ∇ 。
即 Engle 曲线是线性的。
8.[简单][来自 MWG 习题 3.G.14]下面的矩阵是一个理性的消费者的 Slutskty 矩阵。价格
分别为 1 1p = , 2 2p = , 3 6p = 。求矩阵中剩余的几个位置的值。
10 ? ?
? 4 ?
3 ? ?
−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
解:用待定系数法。设这个矩阵为:
10
4
3
a b
c d
e f
−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
。根据 Slutskty 矩阵是对称的,再由
于 ( , ) 0pS p w = ,可得这个矩阵为:
44
10 4 3
4 4 2
3 2 7 / 6
− −⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
。
9.[简单][来自 MWG 习题 3.G.15]考虑效用函数 1/2 1/21 2( ) 2 4u x x x= + 。
(1)计算马歇尔需求函数;
(2)求希克斯需求函数;
(3)求支出函数,并验证 ( , ) ( , )ph p u e p u= ∇ ;
(4)求间接效用函数,并验证罗尔等式。
解:(1) 2 11 2 2 2
1 2 1 1 2 2
4( , , ) ( , )
4 4
p w p wx p p w
p p p p p p
= + + ;
(2) 2 22 11 2
1 2 1 2
( , , ) (( ) , ( ) )
2(4 ) 4
p u ph p p u
p p p p
= + + ;
(3)
2
1 2
1 2
1 2
( , , )
4(4 )
p p ue p p u
p p
= + ,容易验证, 1 2 1 2( , , ) ( , , )pe p p u h p p u∇ = 。
(4) 1/21 2
1 2
4( , , ) 2( )w wv p p w
p p
= + ,根据罗尔等式,可得
1/21 2
2
1 1 2 1
1/21 2
2
2 1 2 1
1/21 2
1 2 1 2
( , , ) 4( ) ( )
( , , ) 4 4( ) ( )
( , , ) 4 1 4( ) ( )
v p p w w w w
p p p p
v p p w w w w
p p p p
v p p w w w
w p p p p
−
−
−
∂ = + −∂
∂ = + −∂
∂ = + +∂
。
第四节 利润最大化问题
1. [简单] [来自 MWG 习题 5.C.9]求下列生产函数的利润函数和供给函数:
(1) 1 2( )f z z z= + ;
(2) 1 2( ) min{ , }f z z z= ;
(3) 1/1 2( ) ( )f z z zρ ρ ρ= + , 1ρ ≤ 。
解:(1)
2
1 1 2
2
2 1 2
/ 4 ,
( )
/ 4 ,
p w w w
w
p w w w
π ⎧ ≤= ⎨ >⎩
2 2
1 1 1 2
2
1 2 1 1 2 1 2 1 1 2
2 2
2 2 1 2
{( / 4 ,0, / 2 )} ,
( ) {( , , / 2 ) : 0, 0, 1/ 4 } , ;
{(0, / 4 ,1/ 2 )} ,
p w p w w w
y w z z p w z z z z w w w
p w w w w
⎧ − <⎪= − − ≥ ≥ + = =⎨⎪ − >⎩
(2)
2
1 2
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
( ) / 4( ).
( ) ( / 4( ) , / 4( ) , / 2( )
w p w w
y w p w w p w w p w w
π = +
= − + − + +
(3)若 1ρ < ,则
45
/( 1) /( 1) ( 1) /
1 2
/( 1) /( 1) ( 1) /
1 2
[ ]
( )
0 [ ]
if w w p
w
if w w p
ρ ρ ρ ρ ρ ρ
ρ ρ ρ ρ ρ ρπ
− − −
− − −
⎧∞ + <= ⎨ + ≥⎩
/( 1) /( 1) ( 1)/
1 2
/( 1) /( 1) /( 1) /( 1) 1/
1 2 1 2
/( 1) /( 1) ( 1)/
1 2
/( 1) /( 1) ( 1)/
1 2
, [ ]
{ ( , , ( ) ) : 0}
( )
, [ ]
{0} , [ ]
w w p
w w w w
y w
w w p
w w p
ρ ρ ρ ρ ρ ρ
ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ
ρ ρ ρ ρ ρ ρ
ρ ρ ρ ρ ρ ρ
φ
α α
− − −
− − − −
− − −
− − −
⎧ + <⎪ − − + ≥⎪= ⎨ + =⎪⎪ + >⎩
若 1ρ = ,则
1 2
1 2
0 { , }
( )
{ , }
if Min w w p
w
if Min w w p
π ≥⎧= ⎨∞ <⎩
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
{0} , { , }
, { , }
( ) { ( 1,0,1) : 0} ,
{ (0, 1,1) : 0} ,
{ ( , ,1) : 0, 0, 0, 1} ,
Min w w p
Min w w p
y w p w w
w w p
z z z z z z w w p
φ
α α
α α
α α
≥⎧⎪ <⎪⎪= − ≥ = <⎨⎪ − ≥ > =⎪ − − ≥ ≥ ≥ + = = =⎪⎩
。
2.[简单][来自夏老师的习题]给定 CES 生产函数 ( ) /1n i iiy x β ρρα== ∑ ,满足 1 1n ii α= =∑ ,
0 1ρ≠ < ,请计算替代弹性 ijσ ,以及规模弹性 (x)µ 。
解:
1
1
11
1
1
1
( )
( ) ( )
( )
( )
n
i i i i
ii i i
ij n
j j j
i i j j
i
x x
f x xMRTS
f x x
x x
β
ρ ρρ
ρ
β
ρ ρρ
β α α ρ αρ
αβ α α ρρ
− −
−=
− −
=
⋅ ⋅ ⋅
= = =
⋅ ⋅ ⋅
∑
∑
,
1
ln( ) ln( )
1
ln 1ln[ ( ) ]
j j
i i
ij
i iij
j j
x x
d d
x x
xd MRTS d
x
ρ
σ α ρ
α
−
= = = − , (x)µ β= 。
3. [中等][来自白重恩老师的习题] 一个公司用三种要素来生产一种产品。生产函数为
1 2 3 1 2 3( , , ) min{ , }f x x x x x x= + 。
(1) 假定要素价格向量为(2,4,1)。求生产 1个单位产出时的条件要素需求向量?
(2) 成本函数是什么?
(3) 此技术的规模回报是递增、递减、或常数?
解:(1)首先要求 2 3x x= ,因此生产 1 单位产出,如果用 2 3,x x ,则至少需要成本 5,如果
用 1x 投入,则至少需要 2,因此只用 1x 生产成本是最低的。所以要素需求向量为(1,0,
0)。
(2)设三个要素的价格分别为 1 2 3, ,w w w
情况 1: 如果 1 2 3w w w> + , 1 2 3 2 3 2 3( , , ) min( , )q f x x x x x x x= = = = ,
2 3( ) ( )c q w w q= +
情况 2: 如果 1 2 3w w w< + , 1 2 3 1( , , )q f x x x x= = , 1( )c q w q=
46
情况 3: 如果 1 2 3w w w= + , 1 2 3 1 2 3 2 3
1 2 1 2
( , , ) min( , ), ,
0 , ,
q f x x x x x x x x
x x q x x q
= = + =
≤ ≤ + =
1 2 3( ) ( )c q w q w w q= = +
(3)假设 Y为生产集,任意的 1 2 3( , , , )x x x y Y− − − ∈ ,如果 1 2 3min{ , }y x x x≤ + 。
任意 0α > , 因为 1 2 3 1 2 3min{ , } ( min{ , })y x x x x x xα α α α α≤ + = + ,
所以 1 2 3( , , , )x x x y Yα α α α− − − ∈ 。
所以该技术为规模报酬回报常数。
4. [简单][来自夏老师的习题]平均产出的弹性定义为 ( )
( )
i i
i i
AP x x
x AP x
∂
∂ 。证明:平均产出的
弹性等于 ( ) 1i xµ − 。
证明:平均产出定义为 ( ) ( ) /iAP x f x x= 。于是,
2
( ) ( ) ( )/
( ) ( ) ( ) /
i i i i i i i i
i i i i i i
AP x x AP x x f x x x
AP x x x AP x x f x x
⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
。
而注意到, 2
( ) ( ) 1 ( ) 1
( ) / ( )
i i i i i i i
i
i i
f x x x f x x x
x f x x f x
µ= − = − 。
5.[简单] [来自 MWG 习题 5.C.11]证明 ( , ) 0lz w q
q
∂ >∂ ,当且仅当在 q处的边际成本函数是 lw
的增函数。
证明:注意到,根据 Shepard 引理有, ( , ) ( , ) ( , )( )( ) ( )( )l l
l l
z w q c q w c q w
q q w w q
∂ ∂ ∂ ∂ ∂= =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 。
于是, ( , ) 0lz w q
q
∂ >∂ ,当且仅当在 q处的边际成本函数是 lw 的增函数。
6.[中等] 考虑一个利润最大化问题:
1/ 2 1/ 4
1 2 1 1 2 2max px x w x w xπ = − −
产品的供给为 1/2 1/41 2Q x x= 。
(1)求最优的要素投入 *1 1 1 2( , , )x x p w w= , *2 2 1 2( , , )x x p w w= ;
(2)如果利润函数为 *π ,验证 Hotelling 引理:
*
*1 2
1 2
( , , ) ( , , )p w w Q p w w
p
π∂ =∂