积分中值定理“中间点”的渐近性态

积分中值定理“中间点”的渐近性态 积分中值定理“中间点”的渐近性态 第24卷第3期 2010年5月 湖南工业大学 JournalofHunanUniversityofTechnology V01.24No.3 May2010 积分中值定理"中问点"的渐近性态 胡晶地 (浙江广厦建设职业技术学院信息与控制工程学院,浙江东阳322100) 摘要:对积分中值定理"中间点"的渐近性态进行了研究, 改进和推广了已有的结论. 了系列新结果, 关键词:积分中值定理:中间点;渐近性态;洛必达法则 中图分类号:O172.2文献标志码:A 通过构造辅助函数,应用洛必达法则,获得 文章编号:1673-9833(2010)03--0022-03 TheAsymptoticBehavioroftheIntermediatePointof Mean—ValueTheoremofIntegrals HuJingdi (InformationandControlEngineeringSchool,GuangshaCollegeofAppliedConstructionT echnology, DongyangZhejiang322100,China) Abstract:Studiesasymptoticbehavioroftheintermediatepointofmeanvaluetheoremofinte grals.Obtainsaseriesof newachievementsbyconstructingauxiliaryfunctionandapplyingLHopitalRule,whichim provingandgeneralizingthe exsitingconclusion. Keywords:meanvaluetheoremofintegrals;theintermediatepoint;theprogressiveteleomor ph;LHospitalrule 1背景知识 关于积分中值定理"中间点"当区间长度趋于无 穷大时的渐近性态,笔者在文献【1]中给出了一个新的 渐近估计式.对区间长度趋于0时积分中值定理"中 间点"渐近性态的研究已有不少结果,本文通过构造 辅助函数,借助洛必达法则,获得了系列新结果,改 进和推广了已有的结论. 为叙述方便,先将2个积分中值定理重述如下: 积分中值定理若,(f)是闭区间[a,x】上的连续函 数,则在(口,)内至少存在一个数毒,使 rf(t)dt=()(一口).(1) 推广积分中值定理若厂(f),g(f)在[口,x]t-连续, 且g(力在[a,x]tz不变号,则在)内至少存在一点,使 f:f(t)g(t)dt=厂(rg(t)dt.(2) 文献【2—9]0t:究了上述2个定理中当一口时的渐 近性态,其中具有代性的结果由文献[9】给出,其内 容是: 定理1若,(f),g(f)满足推广积分中值定理的条 件,??0'l„im这里 0是2个常数,则式(2)中的满足 lim=.(3) -+.X—a+l 2改进和推广已有结论 本文对E述结果进行推广.使其成为特例. 收稿日期:2009-06-28 通信作者:胡晶地(1964一),男,浙江东阳人,浙江广厦建设职业技术学院副教授,主 要从事数值方面的教学与研究, E-mail:~d314@mail.guangshaxy.com 第3期胡晶地积分中值定理"中间点"的渐近性态 )?0,这_1, A?o是2个常数,rp(t)~Ea,]上的单调函数,且当t=日 时右导数(口)存在,则式(2)中的孝满足 l „ im=.? 证明不妨设g(口)>0,g(0且(f调增加.此 时显然有g(f)d,>0,构造 , (州 根据洛必达法则,并对函数g(f)使用公式(1),有: lim?=lira!二: (1+)[g(,)d,]g() lim.二: (1+)[g(仇)],rI(一口) lim...!二. .?"(1+)[g(叩)]I()一(d)r 2二 【一口J [)(5) 另一方面,由式(2)及对使用式(1)又有: lim=lim二!: — [J.g(,)d,1 lim二: _+[g(叩)](一口) 丽1''[卜[g(町)]l(考)一(口)I【-———二J一 A X- m『'@g『,?[g(d)]L-一口j'(6 f『=1am,_?0l—Il+L.,J 从而公式(4)成立,定理得证. 定理3设f),g(f),(f),,A满足定理2所述条 件和关系,并满足(口)?0.则式(2)中的满足 lim~P( ( ~ ) ) 一 - cP ( ( 口 a ) )=丽1.(7) 证明由定理2及(f)满足的条件,有 = [()/()]= ?=丽1, 即式(7)成立. 定理4设力,g(啪甫足推广积分中值定理的条件, 且g(以)?0,(口)存在.则式(2)中的满足 l „ im:(口).(.)a20_?一 ',,/ , Ig( 类似定理2证明,一方面有: lim厅?=lim二: .2~g(t)dt' l „ im 2 f g ( ( x 仉 )- )( f 一 (a 口 )i:1?(口), limf)=limf2二f12: . 一一 g(f)df = lim二!, g(a)—a 比较以上2式可知式(8)成立. 定理5iff~f(t),g(啪翡足定理4的条件,(f)是[,] 上的单调函数,且当f=a时右导数(a)?0,则式(2) 中的满足 um一1 x-.~a2a.()一(口)(). 24湖南工业大学2010正 证明应用定理4和(f)满足的条件,类似由定理 2证明定理3的,这里从略. 定理6设f(f)在【口,】上连续,在a点k次可微 (k?N)且f"(a)=0,(i=1,2,„,k-1);f(a)?0, g(f)在[口,x]l-_连续不变号且g(n)?0,则式(2)中的 满足: lim x.-~aIa l0,i=l,2,„,k-2; -1,i=k-io? 证明由洛必达法则有 lim—f— (x— )-— f(a)=lirn f(X)-f . (a): .l一口I^-+.(一口) lim一.: .k(x一日'I^' „ lim flk-t) 一 ( 口 x)=西1 k (口)?.,_?!(一 口l! 取)=,应用定理2可得 .., 一 alli m一=, xax—ak+1 进而, '(一 一 口 (11) lim二纽]: _+.L-一口一口J = ? 说明若,(f),g(满足定理6条件,以上证明中得 到的式(11),其实已在文献【9】中得到(定理1),而定 理1显然是此处定理2IR~p(t)=,的特殊情况. 定理7在定理6条件中,再加上条件(在[a,】 上单调,且存在(口)?0,则 = 10,i=1,2,„,后一2; {.帮,2 证明利用定理6,类似由定理2证明定理3的方 法,即可得证. 参考文献: 【1】胡晶地.中值定理"中间点"的渐近性态[J】.高等数学研 究,2009,12(1):52—54. HuJingdi.TheProgressiveTeleomorphoftheIntermediate PointofMeanValueTheorem[J].StudiesinCollege Mathematics,2oD9,12(1):52-54. 【2】施伟民,陈争鸣.关于积分中值定理的中间值的渐进性质 【J].吉林化工学院,2006,23(2):77-79. ShiWeimin,ChenZhengming.TheAsymptoteBehaviorof IntermediatePointintheMeaIlValueTheoremforIntegrals 【J】.JournalofJilinInstituteofChemicalTechnology,20o6, 23(2):77—79. [3】刘昌茂.积分中值定理中间点的渐近性更一般结果【J】.吉 首大学:自然科学版,2006,27(3):8-11. LiuChangmao.AsymptoticityoftheIntermediatePointin theMeanValueTheoremofIntegrals[J].JounalofJishou University:NaturalScienceEdition,2006,27(3):8—11. 【41刘晓纲,艾青,张树义.关于中值定理"中间点"的渐 近性[J】.渤海大学:自然科学版,2005,26(4):333— 335. LiuXiaogang,AiQing,ZhangShuyi.OnAsymptotic Behaviorof"Medialpoint"forMeanValueTheorem[J]. JournalofBohaiUniversity:NaturalScienceEdition,2005, 26(4):333—335. [5】JacobsonB.OntheMeanValueTheoremforIntegrals[J]. Amer.Math.Monthly,1982(89):300--301. 【6】ZhangBL.ANoteontheMeanValueTheoremforIntegrals 【J】,Amer.Math.Monthly,1997(1o4):561—562. [7】戴立辉,吴亭.积分第一中值定理中间点的渐近性【J】.闽 江学院,2009,30(2):24-29. DaiLihui,WuTing.AsymptoticPropertiesofIntermediate PointontheFirstMeanValueTheoremforIntegral[J].Journal ofMinjiangUniversity,2009,30(2):24-29. 【8】高国成,郑艳琳,张来亮.关于积分中值定理的一个注记 [J】.大学数学,2003,19(2):94-95. GaoGuocheng,ZhengYardin,ZhangLailiang.ANoteO11 theMeanValueTheoremforIntegrals[J】.College Mathematics,20o3,19(2):94—95. 【9】安芹力.积分中值定理的渐近性推广[J】.高等数学研究, 2009,l2(1):55—56. AnQinli.IntegralMean-ValueTheoremAsymptotic Promotion[J].StudiesinCollegeMathematics,2009,12(1): 55-56. (责任编辑:罗立宇)