问题31(第115页)广义平均值定理

问题31(第115页)广义平均值定理 8.07 作業 4 問題 1. Griffiths的書 問題3.1(第115頁)。廣義平均值定理。 問題 2. Griffiths的書 問題3.8(第126頁)。球殼和虛像法。 ,,,,問題 3. Dirichlet Green’s 函數之對稱特性。用滿足G()及 G()之方,,DD,,xxxx12 ,,,, 程式及質變數之Green’s 定理,證明G()=G()。 ,,DDxxxx1221 問題 4. 虛像法和Green函數。 在一無限導體平面(x-y平面)上有半徑為a之半球殼輪殼,其電位為零。將一個電荷q置於輪殼中心軸(可定義為z軸)距離前述平面z的位置。 (i) 針對這個問題,找出一組適合的虛像。證明該平面吸引電荷之力為 , (ii) 假設我們現在在二維平面(已不再是導體)上有個任意的位勢V(),並移去原0,x來的電荷(無限遠處電位為零)。試以Dirichlet Green函數寫出z軸上任意位置( z > a)電位之積分形式。(不用計算出結果,只要找到G和列出積分式即可。) 問題 5. 圓柱(座標)之虛像法(依據Jackson的書 問題2.11) 線形電荷,其線性電荷密度為τ,被平行置於距離圓柱導體(其半徑為b)中心軸R的位置。該圓柱導體之電壓固定,所以電位消逝於無限遠處。 (i) 試找出虛電荷之位置及大小。 (ii) 試找出圓柱之電位(以R, b 和 τ表示)。 問題 6. Griffiths的書 問題3.15(第136頁)。盒形幾何之拉普拉斯方程式。 問題 7. (挑戰題!) 單一導體之電容。 (i) 考慮一個單一導體,V表示導體外部之空間體積。證明此單一導體之電容如下 ,這裡為當導體持有單位電位時,電位之解。 ，，,x (ii) 證明實際電容值小於等於 這裡Ψ滿足上述導體持有單位電位時之邊界條件。 (iii) 證明表面為S’之導體電容值C’小於表面為S之導體電容值C。(S表面將S’表面包於其內) (iv) 利用(iii)之結果,找出邊長為a之正方形導體,其電容值之上限值及下限值。以下列形式表示所得答案: ; 並找出常數α 和 β。由數值計算得到之結果為,試比較此結果與你所求得之答案。