绝对值问题的某些特殊解法

绝对值问的某些特殊解法 绝对值问题的某些特殊解法,科学思想方法, 罗小青 约1641字 高中数学里经常要解决一些跟绝对值有关的方程和不等式. 本文就来谈谈由一类绝对值方程和绝对值不等式推广而得的与函数y=f(x)=Σni=1ai|x-bi|有关的绝对值函数和方程及不等式的一些特殊解法. 对于函数y=f(x)=Σni=1ai|x-bi|(其中b1?b2?„„?bn),我们知道,当x?bi时,f(x)=-Σni=1aix+Σni=1aibi;当时bi?x?bi+1时,f(x)=(a1+a2+„+ai-ai+1-„-an)x+(-aibi-„+ai+1bb+1+„+anbn);当时x?bn时,f(x)=Σni=1aix-Σni=1aibi.所以,函数y=f(x)=Σni-1ai|x-bi|的图象是由左右两侧两条射线和中间的(n-1)条线段依次连接而成的“折线形”. 当Σni=1ai>0时,两射线分别由点(b1,f(b1))和(bn,f(bn))向上无限延伸. 当Σni=1ai<0时,两射线分别由点(b1,f(b1))和(bn,f(bn))向下无限延伸. 当Σni=1ai=0时,两射线分别由点(b1,f(b1))和(bn,f(bn))沿水平方向向左右无限延伸. 由此可得如下的定理. 一、绝对值函数的最值 定理1:函数y=f(x)=Σni=1|x-bi|;当Σni=1ai>0时,f(x)有最小值;当Σni=1ai<0时,f(x)有最大值;当Σni=1ai=0时,f(x)既有最大值又有最小值. 推论1:函数y=f(x)=Σni=1ai|x-bi|(其中aiR+,b1maxf(ai),i=1,2,„n时,不等式Σni=1|x-ai|maxf(ai),(i=1,2,„n),则在区间[ai,ai+1]上,f(x)的图象都处于直线y=A的下方. 又在区间上(?,a1)上,f(x)的图象是一条射线y=-nx+Σni=1ai,x