[中学]直角三角形边角关系1.2§1-2 30度,45度,60度角的三角函数值

[中学]直角三角形边角关系1.2§1-2 30度,45度,60度角的三角函数值 数学电子备课工作安排 课题 30?、45?、60?角的三角函数值 课型 新授课 课 本节在前两节介绍了正切、正弦、余弦定义的基础上，经历探索30?、45?、 60?角的三角函数值的过程，进一步体会三角函数的意义，并能够进行含有30?、标 45?、60?角的三角函数值的计算. 与 教教学重点:能够进行30?、45?、60?角的三角函数值的计算;能够根材 据30?、45?、60?的三角函数值说明相应的锐角的大小 教学难点:三角函数值的应用 三角尺是学生非常熟悉的学习用具，教学中，教师应大胆地鼓励学生用所学的数学 知识如“直角三角形中，30?角所对的边等于斜边的一半”的特性，经历探索30?、 45?、60?角的三角函数值的过程，发展学生的推理能力和计算能力. 学 情 知识与能力:1(历探索30?、45?、60?角的三角函数值的过程，能教 够进行有关的推理，进一步体会三角函数的意义。 学 目2(能够进行30?、45?、60?角的三角函数值的计算 标 3(能够根据30?、45?、60?的三角函数值说明相应的锐角的大小 过程与方法:经历探索30?、45?、60?角的三角函数值的过程，发展学生 观察、分析、发现的能力。 情感态度价值观:培养学生把实际问题转化为数学问题的能力 教自主探索法 学 方多媒体 法 与 媒 体 教具准备 一副三角尺 多媒体演示 师 生 活 动 过 程 复备修改 及设计意 图 复习回顾:直角三角形中边与角的关系:锐角三角函数的定义. ?.创设问题情境，引入新课 [问题]为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具:?含30?和60? 两个锐角的三角尺;?皮尺.请你设计一个测量方案，能测出一棵大树的高度. (用多媒体演示上面的问题，并让学生交流各自的想法) [生]我们组设计的方案如下: 让一位同学拿着三角尺站在一个适当的位置B处，使这位同学拿起三角 尺，她的视线恰好和斜边重合且过树梢C点，30?的邻边和水平方向平行，用 卷尺测出AB的长度，BE的长度，因为DE=AB，所以只需在Rt?CDA中求出CD 的长度即可. [生]在Rt?ACD中，?CAD,30?，AD,BE，BE是已知的，设BE=a米， 则AD,a米，如何求CD呢? [生]含30?角的直角三角形有一个非常重要的性质:30?的角所对的边 等于斜边的一 222半，即AC,2CD，根据勾股定理，(2CD),CD+a. 3 CD,a. 3 则树的高度即可求出. [师]我们前面学习了三角函数的定义，如果一个角的大小确定，那么它的 正切、正弦、余弦值也随之确定，如果能求出30?的正切值，在上图中，tan30? CDCD ,=，则CD=atan30?，岂不简单. ADa 你能求出30?角的三个三角函数值吗? ?.讲授新课 1.探索30?、45?、60?角的三角函数值. [师]观察一副三角尺，其中有几个锐角?它们分别等于多少度? [生]一副三角尺中有四个锐角，它们分别是30?、60?、45?、45?. [师]sin30?等于多少呢?你是怎样得到的?与同伴交流. 1 [生]sin30?,. 2 sin30?表示在直角三角 形中，30?角的对边与 斜边的比值，与直角三角形的大小无关.我们不妨设30?角所对的边为a(如图所示)，根据“直角三角形中30?角所对的边等于斜边的一半”的性质，则斜 a1,边等于2a.根据勾股定理，可知30?角的邻边为a，所以sin30?,. 2a2 [师]cos30?等于多少?tan30?呢? 3a3 [生]cos30?,. ,2a2 a13 tan30?= ,,33a3 [师]我们求出了30?角的三个三角函数值，还有两个特殊角——45?、60?，它们的三角函数值分别是多少?你是如何得到的? [生]求60?的三角函数值可以利用求30?角三角函数值的三角形.因为30?角的对边和邻边分别是60?角的邻边和对边.利用上图，很容易求得 3a3sin60?=, ,2a2 a1, cos60?=, 2a2 3a tan60?,. ,3a [生]也可以利用上节课我们得出的结论:一锐角的正弦等于它余角的余弦，一锐角的余弦等于它余角的正弦.可知sin60?,cos(90?-60?), 3cos30?=cos60?=sin(90?- 2 160?)=sin30?=. 2 [师生共析]我们一同来 求45?角的三角函数值.含 45?角的直角三角形是等腰 直角三角形.(如图)设其中一 条直角边为a，则另一条直角 2边也为a，斜边a.由此可求得 a12 sin45?=, ,, 22a2 a12 cos45?,, ,,22a2 a,1 tan45?= a [师]下面请同学们完成下表(用多媒体演示) 30?、45?、60?角的三角函数值 三角函数角 sinα coα tanα 133 30? 223 2245? 1 22 13 60? 3 22 这个表格中的30?、45?、60?角的三角函数值需熟记，另一方面，要能够根据30?、45?、60?角的三角函数值，说出相应的锐角的大小. 为了帮助大家记忆，我们观察表格中函数值的特点.先看第一列30?、45?、60?角的正弦值，你能发现什么规律呢? 1 [生]30?、45?、60?角的正弦值分母都为2，分子从小到大分别为， 32，，随着角度的增大，正弦值在逐渐增大. [师]再来看第二列函数值，有何特点呢? [生]第二列是30?，45?、60?角的余弦值，它们的分母也都是2，而分 321子从大到小分别为，，，余弦值随角度的增大而减小. [师]第三列呢? [生]第三列是30?、45?、60?角的正切值，首先45?角是等腰直角三角形中的一个锐角，所以tan45?=1比较特殊. [师]很好，掌握了上述规律，记忆就方便多了.下面同桌之间可互相检查一下对30?、 45?、60?角的三角函数值的记忆情况.相信同学们一定做得很棒. 2.例题讲解(多媒体演示) [例1]计算: (1)sin30?+cos45?; 22 (2)sin60?+cos60?-tan45?. 分析:本题旨在帮助学生巩固特殊角的三角函数值，今后若无特别说明，2用特殊角三角函数值进行计算时，一般不取近似值，另外sin60?表示 22(sin60?)，cos60?表示 2(cos60?). 121，2 解:(1)sin30?+cos45?=, ，,222 22 (2)sin60?+cos60?-tan45? 1322 =()+()-1 22 31 = + -1 44 ,0. [例2]一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5 m，当秋千向两边摆动时， 摆角恰好为60?，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最 低位置时的高度之差.(结果精确到0.01 m) 分析:引导学生自己根据题意画出示意图，培养学生把实际问题转化为数 学问题的能力. 解:根据题意(如图) 可知，?BOD=60?， OB=OA,OD=2.5 m， 1?AOD,×60?,30?， 2 ?OC=OD?cos30? 3=2.5×?2.165(m). 2 ?AC,2.5-2.165?0.34(m). 所以，最高位置与最低位置的高度约为 0.34 m. ?.随堂练习 多媒体演示 1.计算: (1)sin60?-tan45?; (2)cos60?+tan60?; 2 (3) sin45?+sin60?-2cos45?. 2 33,2 解:(1)原式,-1=; 22 1，2313, (2)原式=+= 22 2223(3)原式=×+×; 2222 1，3,22= 2 2.某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30?.高为7 m，扶梯的长度是多少? 77 解:扶梯的长度为=14(m)， ,1sin30: 2 所以扶梯的长度为14 m. ?.课时小结 本节课总结如下: (1)探索30?、45?、60?角的三角函数值. 213 sin30?,，sin45?,，sin60?,; 222 213 cos30?,，cos45?, ，cos60?,; 222 3tan30?= ，tan45? 3 3,1，tan60?=. (2)能进行含30?、45?、60?角的三角函数值的计算. (3)能根据30?、45?、60?角的三角函数值，说出相应锐角的大小. ?.课后作业 习题1.3第1、2题 0:::,:21 拓展提升:计算: sin30tan45cos30tan30，，,，， 板书设计 ?1.2 30?、45?、60?角的三角函数值 一、探索30?、45?、60?的三角函数值1.预备知识:含30?的直角三角形中，30?角 的对边等于斜边的一半. 含45?的直角三角形是等腰直角三角形. 2.30?，45?，60?角的三角函数值列表如下: 三角函数角 角α sinα coα tanα 133 30? 223 2245? 1 22 1360? 322二、含30?、45?、60?角的三角函数值的计算. 三、实际应用 教 后 随 笔