34_向量组的极大无关组1

34_向量组的极大无关组1 第3.4节 向量组的极大 线性无关组主要内容:一(等价向量组二(向量组的极大线性无关组三 (向量组的秩与矩阵秩的关系一、等价向量组定义1:如果向量组 A : α 1 α 2 α m 中的每一个向量 α i i 12 t 都可以由向量组 B : β 1 β 2 β s 线性示，那么就称向量组A可以由向量组B线性表示。 若同时向量组B 也可以由向量组A线性表示，就称 向量组A与向量组B等价。 即 α i k i 1 β 1 k i 2 β 2 k is β s i 12 m 1 β i l i 1α 1 l i 2α 2 l imα m i 12 s 2自反性:一个向量组与其自身等价;对称性:若向量组 A与 B 等价，则 B 和 A 等价;传递性: A与 B 等价 B 与 C 等价，则 A 与 C 等价。 等价向量组的基本性质定理: 设 α 1 α 2 α s 与 β 1 β 2 β t 是两个向量组，如果1 向量组 α 1 α 2 α s 可以由向量组 β 1 β 2 β t 线性表示;2 s t则向量组 α 1 α 2 α s 必线性相关。 如果向量组 α 1 α 2 α s 可以由向量组推论1: β 1 β 2 β t线性表示，并且 α 1 α 2 α s 线性无关，那么 s ? t推论2:两个线性无关的等价的向量组，必包含相同个数的向量。二、向量组的极大线性无关组定义2: 对向量组A，如果在A中有r个向量 α 1 α 2 α r 满足: )A0 : α 1 α 2 α r 线性无关。 (2)任意r，1个向量都线性相关。(如果有的(1 话) 那么称部分组 A0 为向量组 A 的一个极大线性无关组。 简称极大无关组。 注:(1)只含零向量的向量组没有极大无关组. (2)一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身。 (3)一个向量组的任一向量都能由它的极大无关组线性 表示 2 4 2 1 2 1例如:在向量组 α 1 α 2 α 3 中， 3 5 4 1 4 1 首先 α 1 α 2 线性无关， 又 α 1 α 2 组成的部分组是极大无关组。 还可以验证 α 2 α 1 α 2 α 3 线性相关， 所以 α 3 也是一个极大无关组。注:一个向量组的极大无关组一般不是唯一的。极大无关组的一个基本性质: 任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。又，向量组的极大无关组不唯一，而每一个极大无关组都与向量组等价，所以: 向量组的任意两个极大无关组都是等价的。由等价的线性无关的向量组必包含相同个数的向量，可得定理: 一个向量组的任意两个极大无关组等价， 且所含向量的个数相同。三、向量组的秩与矩阵秩的关系1. 向量组的秩定义3:向量组的极大无关组所含向量的个数 称为这个向量组的秩 记作 r α 1 α 2 α s 2 4 2 1 2 1例如: 向量组 α 1 α 2 α 3 的 3 5 4 1 4 1 秩为2。 关于向量组的秩的结论:(1)零向量组的秩为0。(2)向量组 α 1 α 2 α s 线性无关 r α 1 α 2 α s s 向量组 α 1 α 2 α s 线性相关 r α 1 α 2 α s s(3)如果向量组 α 1 α 2 α s 可以由向量组 β 1 β 2 β t 线性表示，则 r α 1 α 2 α s ? r β 1 β 2 β t (4)等价的向量组必有相同的秩。 注:两个有相同的秩的向量组不一定等价。 两个向量组有相同的秩，并且其中一个可以被另一个 线性表示，则这两个向量组等价。2. 矩阵的秩2.1. 行秩、列秩、矩阵的秩 把矩阵的每一行看成一个向量，则矩阵可被认为由这些行向量组成， 把矩阵的每一列看成一个向量，则矩阵可被认为由这些列向量组成。定义4:矩阵的行向量的秩，就称为矩阵的行秩 矩阵的列向量的秩，就称为矩阵的列秩。 问题:矩阵的行秩 , 矩阵的列秩引理1:矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩。 (列) (列)矩阵的初等变换不改变矩阵的行秩与列秩。定理:矩阵的行秩,矩阵的列秩 Er 0证:任何矩阵A都可经过初等变换变为 形式， 0 0 而它的行秩为r，列秩也为r。 又，初等变换不改变矩阵的行秩与列秩， 所以，A的行秩,r,A的列秩定义5:矩阵的行秩,矩阵的列秩，统称为矩阵的秩。 记为rA或rankA，或秩A。推论:矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1例1 :对矩阵 A 0 1 1 0 0 1 0 2 2 0 0 1 0 1 1 2 2 2 作行初等变换使成为行阶梯矩阵. 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1解: A r1 r2 ? 0 1 1 0 0 1 0 2 2 0 0 1 0 1 2 1 2 2 0 1 1 1 1 1r3 r1 0 0 0 1 1 1r4 2 r1r5 r1 0 ? 0 0 1 1 2 0 0 0 2 2 3 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 r4 r3 r4 r2 0 0 0 1 1 1 r5 r2 r3 r2 0 ? 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 求向量组的秩、极大无关组的步骤.(1)向量组 α 1 α 2 α s 作列向量构 成矩阵A。 初等行变换(2) ? A B(行最简形矩阵) rAB的非零行的行数(3) 求出B的列向量组的极大无关组(4)A中与B的列向量组的极大无关组相对应部分 的列向量组 即为A的极大无关组。 (根据见引理2，幻灯片16)例5:求向量组 α 1 242α 2 110α 3 231 α 4 352 的一个极大无关组，并把其余 向量用该极大无关组 线性表示。 2 1 2 3 2 1 2 3解:设 A 4 1 3 5 ? 0 1 1 1 2 0 1 2 0 1 1 1 2 1 2 3 2 0 1 2 1 0 12 1? 0 1 1 1 ? 0 1 1 1 ? 0 1 1 1 B 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2β 1β则B的1，2列为极 大无关组，且 β 3 1 1β 2 β 4 1 1β 2 1 所以 α 1 α 2 为所求的一个极大无关组， 且 2α 1α α 3 1 1α 2 α 4 1 1α 2 12.3 矩阵秩的性质1 等价的矩阵，秩相同。2 任意 矩阵 A 有 r A r A T3 任何矩阵与可逆矩阵相乘，秩不变。 P 可逆， A 有 r r r AP PA A 4 Am×n Bn× p r A ? B ? r A r B r AB ? min r A r B r AB ? r A r B n 当AB0时，有 r A r B ? n.3.矩阵的秩与行 列式的关系定理: n阶方阵A，r A n A的n个行(列)向量线性无关 A ? 0即A为可 逆矩阵(也称为满秩矩阵)r A n A的n个行(列)向量线性相关 A 0