充要条件教案

充要条件教案 精品文档 充要条件教案 一、教学目标 、知识目标: 1、理解充分条件、必要条件、充要条件三个概念。 2、利用充分条件、必要条件、充要条件三个概念，熟练判断四种命题间的关系。 、能力目标: 培养学生的 “会观察”，“敢归纳”，“善建构”的认识事物的能力. 、情感目标: 1、通过以学生为主体的教学方法，让学生自己构造数学命题，发展体验获取知识的感受。 2、通过对命题的四种形式及充分条件，必要条件的相对性，培养同学们的辩证唯物主义观点。 二、教学重难点 教学重点: 1 充分条件、必要条件、充要条件概念的理解; 判断给定命题的条件与结论之间的关系. 教学难点: 1 在p?q中 q 是p的必要条件的理解; 如何判断 p是 q的什么条件; 三、教法及学法 1 / 17 精品文档 教法:情景引导，师生互动 学法:自主探索，合作交流 四、 教师创设情境，激发兴趣，引出课题?引导学生分析实例，给出定义?例题分析?知识小结?扩展例题?练习反馈。 五、 课题引入 同学们，当某一天你和你的妈妈在街上遇到老师的时候，你向老师介绍你的妈妈说:“这是我的妈妈(”那么，大家想一想这个时候你的妈妈还会不会补充说:“你是她的孩子”呢, 不会了～为什么呢,因为前面你所介绍的她是你的妈妈就足于说明你是她的孩子(那么，这在数学中是一层什么样的关系呢,今天我们就来学习这个有意义的课题——充分条件与必要条件( 为等价转化作铺垫 引出课题 充分、必要条件定义: 如果p ? q ，称p是q的充分条件，同时q是 p的必要条件. 思考:? 如果p是q的必要条件,那么应该是 p? q 还是 q ? p , ? 如何去判断p是q的什么条件, 2 / 17 精品文档 典型例题分析: 例1、用充分条件或必要条件填空 由于命题“如果a是有理数，那么a是实数”是正确的，因此“a是有理数”是a是实数的，“a是实数”是“a是有理数”的 由于命题“梯形一组对边平行”是正确的，因此“四边形一组对边平行”是“四边形是梯形”的，“四边形是梯形”是“四边形一组对边平行” _。 例2、 下列“若p，则q”形式的命题中是否正确，若正确，指出q是p的必要条件, p::若x=y，q: x2=y2; p: 三角形三条边相等，q:三角形三个角相等; p: a=b，q:|a|=|b|。 堂上练习:课本第020页 1、2及021练习1、2、3 巩固提高 练习1 (指出下列各组命题中，p是q的什么条件. p:x-1=0; q:=0 p:四边形的四条边相等 ; q:四边形是正方形 p:a>b; q:a2>b2 p:两直线平行; q:内错角相等 练习(如图所示，在下列电路图中闭合开关A是灯泡 B亮的什么条件, 3 / 17 精品文档 开关A闭合是灯泡B亮的条件; 开关A闭合是灯泡B亮的条件; 开关A闭合是灯泡B亮的_ 条件; 开关A闭合是灯泡B亮的条件。 拓展训练: 已知p , q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件。s是q的什么条件,r是q的什么条件, p是q的什么条件, 充要条件 ?教学目标 教学知识点 能力训练要求 1(充要条件的概念( 1(理解并掌握充要条件的概念( 2(判断命题的条件的充要性的方法( (掌握判断命题的条件的充要性的方法( 3(把充要条件的思想自觉地运用到解题之中(3(培养学生简单的逻辑推理的思维能力( ?教学重点 1(理解充要条件的意义( (命题条件的充要性判断( ?教学难点 命题条件的充要性判断( ?教学过程 ?(复习回顾 4 / 17 精品文档 1、什么是充分条件和必要条件? 2、试判断下列命题的条件是结论成立的什么条件? 若a是无理数，则a，5是无理数( 若a,b，则a，c,b，c( 若一元二次方程ax2，bx，c,0有两个不等的实根，则判别式Δ,0( ?(讲授新课 1.2.充要条件 一般地，如果既有p?q，又有q?p，就记作:“p?q”，“?”叫做等价符号，“p?q”表示“p?q，且q?p”( 这时p既是p的充分条件,又是q的必要条件,则p是q的充分必要条件，简称充要条件( 命题中因:a是无理数?a，5是无理数，所以“a是无理数”是“a，5是无理数”的充分条件;又因“a，5是无整数?a是无理数”则“a是无理数”又是“a，5是无理数”的必要条件，因此，“a是无理数”是“a，5是无理数”的充分必要条件( 命题中因“a,b?a，c,b，c”，又有“a，c,b，c?a,b”，则“a,b”是“a，c,b，c”的充要条件( 命题中因:“一元二次方程ax2，bx，c,0有两个不等实根?Δ,0”，又有“Δ,0” ?“一元二次方程ax2，bx，c,0有两个不等实根(” 5 / 17 精品文档 则“一元二次方程ax2，bx，c,0有两个不等实根”是“判断式Δ,0”的充要条件( 例1 下列各题中，哪些p是q的充要条件( p:b,0，q:f,ax2，bx，c是偶函数; p:x,0,y,0， q:xy,0; p:a,b，q:a，c,b，c; p:两直线平行;q:两直线的斜率相等. 命题中因“,0?x,2或x,3x,2,0”; 而“x,2,0?,0”，所以p是q的必要而不充分条件( 命题中因“同位角相等?两直线平行”，所以p是q的充要条件( 命题中因“x,3?x2,9”，而“x2,9”x,3”，所以p是q的充分而不必要条件( 命题中因“四边形的对角线相等 四边形是平行四边形，又因“四边形是平行四边形 四边形的对角线相等(”所以p是q的既不充分又不必要条件( 命题中因:p:x2x?3,x2?x,0，解得x,0或x,3;q:2x，3,x2得x,,1或x,3(则有 p q且qp(所以p是q的既不充分也不必要条件( 由命题可知:对复杂命题条件的判断，应先等价变形 6 / 17 精品文档 后，再进行推理判定( 例2.已知p、q是r的必要条件，s是r 的充分条件，q是s的充分条件问: s是q的什么条件, r是q的什么条件, p是q的什么条件, 例3. p:x?{x|,1 解由“x?M或x?P”可得“x?P”，又由“x?M?P”可得:x?{x,2,x,3}( 则由x?P，即x?{x,x, 3} x?{x,2,x,3}(但由“x?{x,2,x,3}?x?{x,x,3}，即x?P( 故“x?M或x?P”是“x?M?P”的必要而不充分条件( 例求证|a|，|b|,|a，b|的充要条件是ab?0. 分析:充分性即证:xy?0?,x，y,,,x,，,y,必要性即证: ,x，y,,,x,，,y,?xy?0( 证明:?充分性( 若xy,0，则有x,0或y,0或x,0且y,0( 此时显然,x，y,,,x,，,y,( 若xy,0，则x，y同号( 当x,0且y,0时，,x，y,,x，y,,x,，,y,( 当x,0且y,0时，,x，y,,,x,y,，,,x, 7 / 17 精品文档 ，,y, 综上所述，xy?0?,x，y,,,x,，,y,( ?必要性 ?,x，y,,,x,，,y,，且x，y?R ?2,2 即x2，2xy，y2,x2，2,x,,y,?y2 ?xy,,xy,?xy?0( 因此,x，y,,,x,，,y,?xy?0( 故xy?0?,x，y,,,x,，,y,( 评述:证明“p的充要条件是q”时，即等价于“q是p的充要条件”( 也就是需证明充分性:q?p;必要性p?q不能颠倒证反”( 注:本题也可用绝对值的概念证明: ,x，y,,,x,，,y, ?,x，y,2,2 ?x2，2xy，y2 ,x2，2,xy,，y2 ?,xy,,xy ?xy?0( 故xy?0?,x，y,,,x,，,y, 例5、已知圆o的半径是r，圆心o到直线l的距离 8 / 17 精品文档 为d.求证:d=r是直线l与圆o相切的充要条件. 课堂小结: 1.p是q的充分条件包括两种可能，即p是q的充分不必要条件或p是q的充要条件;同样，p是q的必 要条件也包括两种可能，即p是q的必要 不充分条件或p是q的充要条件. 2.关于充要条件命题的证明，一般分充分性和必要性两个方面进行，其中由条件推出结论就是充分性，由结论推出条件就是必要性. 3.充要条件是一种等价关系，许多数学问题的求解，就是求结论成立的充要条件. 在判断p是q的什么条件时，要“正逆互推，注意特例”. 充要条件作业 1、指出下列各组命题中，p是q的什么条件( ?填写序号 p:,0，q:x,2,0 p:同位角相等，q:两直线平行( p:x,3，q:x2,q( p:四边形的对角线相等，q:四边形是平行四边形( p:x2,3x+4，q:x,3x?4 答案: ________________________ ___________ ___________ ______________ 9 / 17 精品文档 2、设集合M,{x,x,2}，P,{x,x,3,，则“x?M或x?P”是“x?M?P”的什么条件? 3、若已知A是B的充分条件，C是D的必要条件，而B是D的充要条件，则D是C的 _______条件;D是A的__________条件;A是C的__________条件，D是B的__________条件( 1 24、已知p:,5x,2,,3，q:x?4x?5,0(则?p是?q的什么条件? 1 解:?p:,5x,2,?3，即:,5?x?1 ?q:,5?x?1，则?p??q; 而?q p(则?p是?q的充分而不必要条件( 评述:要注意准确把握一个命题的否定(特别是不等式所表示的区域的否定，在命题的条件的确定中常用( 5、证明:三角形ABC三边为a,b,c, 三角形ABC是等边三角形的充要条件是 a2+b2+c2=ab+ac+bc 1.2. 充要条件 教材分析 充要条件是中学数学中最重要的数学概念之一，它主要讨论了命题的条件与结论之间的逻辑关系，目的是为今后 10 / 17 精品文档 的数学学习特别是数学推理的学习打下基础(这节内容被安排在高二第一学期第一章“常用逻辑用语”的第二节( 有了“四种命题”的知识铺垫，既可以使学生丰富并深化对命题的理解，也便于老师讲透充要条件这一基本数学概念( 课时分配 本节内容用1课时的时间完成( 教学目标 重 点: 1(理解充要条件的意义( 2(命题条件的充要性判断( 难 点:命题条件的充要性判断( 知识点:1(充要条件的概念( 2(判断命题条件的充要性的方法( 能力点:1(理解并掌握充要条件的概念( 2(掌握判断条件的充要性的方法( 3(培养学生简单的逻辑推理能力( 自主探究点:充要条件的证明;从集合角度充分理解命题关系( 考 试 点:充要条件的概念、等价转化的思想( 易错易混点:概念比较抽象,加强对充分条件与必要条件的理解( 教具准备:多媒体 11 / 17 精品文档 一、复习引入 一种逻辑关系的四种表达形式 : ?“若p则q”为真命题; ?p?q; ?p是q的充分条件; ?q是p的必要条件. 温故知新，对充分条件与必要条件的理解是本节课的基础( 练习:判断正误 22x?yx?y ?是的充分条件. 22x?yx?y ?是的必要条件. ?sinA?sinB是A?B的充分条件. ?sinA?sinB是A?B的必要条件. ?a?b是a?b的充分条件. ?a?b是a?b的必要条件. ?222x?x x?x是x?0的充分条件. ? 是x?0的必要条件. 答案:?× ×? ×× ?? 讨论: 问p是q的什么条件时共几种情况? 共4种情况: p是q的充分不必要条件; p是q的必要不充分条件; 12 / 17 精品文档 p是q的既不充分又不必要条件; p是q的既充分又必要条件. 进一步巩固对充分条件与必要条件的理解，同时引入充要条件的概念. 二、探究新知 定义:一般地，如果既有p?q，又有q?p，就记作:“p?q”，此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件(显然，如果p是q的充要条件，那么q是p的充要条件.概括地说:如果p?q,那么p与q互为充要条件.也说p与q等价. 例1. 下列各题中，哪些p是q的充要条件, p:b?0，q:函数f?ax2?bx?c是偶函数; p:x?0,y?0，q:xy?0; p:a?b，q:a?c?b?c. 解:在中，p?q，所以中的p是q的充要条件.在 中，q??p，所以中的p不是q的充要条件. 通过例题的分析让学生理解判断充要条件的步骤. 例2、请用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空: “x?2?0” 是的,,,,条件. “?0” “同位角相等”是“两直线平行”的,,,条件. 2“x?3”是“x?9”的,,,,,,条件. 13 / 17 精品文档 “四边形的对角线相等”是“四边形为平行四边形”的,,,,,,,,,,条件. 答案:?必要不充分?充要?充分不必要?既不充分也不必要 让学生独立运用充要条件的概念去分析解决问题,灵活运用知识. 练习 在下列电路图中,开关A闭合是灯泡B亮的什么条件 : ?如图?所示,开关A闭合是灯泡B亮的__________条件; ?如图?所示,开关A闭合是灯泡B亮的__________条件; ?如图?所示,开关A闭合是灯泡B亮的__________条件; ?如图?所示,开关A闭合是灯泡B亮的__________条件. 答案:?充分不必要 必要不充分 充要 既不充分也不必要 思考探究: ?p是q的充分不必要条件，相当于P?p是q的必要 14 / 17 精品文档 不充分条件，相当于Q?p是q的充要条件，相当于P=Q 例3、已知p:,2?x?10，q:1,m,x,1，m ，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围( p:,2?x?10. q:1,m,x,1，m( 因为p是q的充分不必要条件( 即{x|,2?x?10} {x|1,m,x,1，m}， ?1?m??2? 故?10?1?m， 解得m,9.又m>0 ?实数m的范围为{m|m>9}( 理解和演练集合的包含关系与充分，必要条件的关系. 三、运用新知 例4. 已知:?O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d( 求证:d?r是直线l与?O相切的充要条件( 分析:设p:d?r,q:直线l与?O相切(要证p是q的充要条件，只需分别证明充分性和必要性即可( 证明:充分性: 作OP?l与点P，则OP?d(若d?r，则点P在?O上( 在直线l上任取一点Q，连接OQ.在Rt?OPQ中，OQ?OP?r( 所以，除点P外直线l上的点都在?O的外部， 15 / 17 精品文档 即直线l与?O仅有一个公共点P( 所以直线l与?O相切( 必要性: 若直线l与?O相切，不妨设切点为P，则OP?l(因此，d?OP?r( 充分性证明:条件?结论;必要性证明:结论?条件( 在观察和思考中，在解题和证明题中，培养学生思维能力的严密性品质( 练习:求证q?0是实系数一元二次方程x2?x?q?0有两个异号根的充要条件( 证明:先证充分性 ?q?0， ?方程x2?x?q?0的??1?4q?0( ?方程x2?x?q?0有两个不相等的实根，设其为x1，x2( ?x?1x2?q?0， ?方程x2?x?q?0有两个异号实根( 再证必要性 ?方程x2?x?q?0有两个异号实根，设其为x1，x2 ?x?1x2?0， ?x?1x2?q， ?q?0( 由，原命题得证( 四、课堂小结 1.四种条件的判断: 16 / 17 精品文档 五、布置作业 课本P1 练习 1，2 习题A组2,3,4 17 / 17