【2017年整理】太原理工大学2013矩阵论试题(A)

【2017年整理】太原理工大学2013矩阵论试(A) 考试方式:闭卷 太原理工大学 矩阵 ,A， 适用专业:2013级硕士研究生 考试日期:2014.1.13 时间:120 分钟 共 8页 题 号 一 二 三 四 总 分 得 分 ) …………………………………………密…………………………封……………………………………线………………………………… 一、本题共10小题，每小题3分，满分30分. 得 分 1-5题为填空题: AE,20141(已知阶矩阵，则的最小多项式 . nm(),,A tA,ed,,Aa,2. 如果为n阶可逆矩阵，则 . ，，ij,0 100,,密封线外不要写姓名、学号、班级、密封线内不准答题，违者按零分计3(已知矩阵 ，则的全体减号 . A{1},A,A,,010,, 学院 系 专业班级 姓名 学号 3,,RVV4.在中，如果是过原点的平面，是平面上过原点的直线,那么 L12 ( dim()VV，, . 12 A,12345(已知，则的全部奇异值为 . A，， 第 1 页 共 9 页 (A卷) 6-10题为单项选择题: 6(下列矩阵中不是正规矩阵的是( ). HT,1 (A) (B) AA,AA, HH(C) (D) AAAA,, 27(如果,则下列多项式中不是的化零多项式的是( ). A,AA (A)的特征多项式 (B)的最小多项式 AA 2的第一个不变因子 (D) (C)d(),f(),,,,,A1 8(下列矩阵范数中不是算子范数的是( ). AA (A) (B) 12 AA (C) (D) ,F VVVV,9(已知都是线性空间的子空间，则下列集合不是的子空间的是( ). 12 VV,VV, (A) (B) 1212 VV，VV, (C) (D) 1212 10(矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件是( ). A (A)的初等因子都是一次的 (B) 的若当标准型中只有一个若当块 AA (C)的最小多项式是一次的 (D) 的行列式因子都是一次的 AA 第 2 页 共 9 页 (A卷) 二、本题共2小题，满分24分. 得 分 11. (12分) nnT，nn，(1)已知,是的一个线性子空间，并VXXRX,,,,|,0,(1,1,,1)},,？RV, n,2求的维数及当时的一个基. VV) …………………………………………密…………………………封……………………………………线………………………………… 1,,VffRxf,,,{|,(0)0}fgfxgxdx,()(), (2) 在线性空间上定义运算，证明,,,,,n0 232n,3fg,是内积. 当时，求使在此内积abc,,fxxfxxaxfxxbxcx(),(),(),,，,，，123 密封线外不要写姓名、学号、班级、密封线内不准答题，违者按零分计意义下两两正交. 学院 系 专业班级 姓名 学号 ( 第 3 页 共 9 页 (A卷) 12. (12分) nnnn，TxAx,(1)证明是上的线性变换当且仅当存在使得对任意的有，并且满足RxR,AR,T TxAx,的是唯一的. A T3Tn,3(2)当时，对任意的，定义线性变换, 求xxxxR,,(,,)Txxxxxxx()(,,),,,,12233112333，T3TxAx,AR,使得对任意的，有，并求在基xxxxR,,(,,)T123 TTTA下的矩阵. ,,,,,,(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0),123 第 4 页 共 9 页 (A卷) 三、本题共2小题， 满分26分. 得 分 13. (10分) 2031,, ,,(1) 设，证明的特征值都是实数，并在实轴上找出三个互不相交的集合，使A,2102A,,) ,, 810,,,…………………………………………密…………………………封……………………………………线………………………………… 得每个集合内有且仅有的一个特征值. A 密封线外不要写姓名、学号、班级、密封线内不准答题，违者按零分计TAA,nn(2) 设为阶方阵，证明当且仅当存在维列向量,,,使得. A,,,AF2 学院 系 专业班级 姓名 学号 ( 第 5 页 共 9 页 (A卷) 100,, ,,14. (16分)设. A,020,,,,100,, ，(1)求的加号逆 AA b,,1,,,,b(2)求使得线性方程组无解的全体向量，并求矛盾线性方程组的极小范Ax,,Ax,,2,,,,b3,,数最小二乘解(即最佳逼近解). 第 6 页 共 9 页 (A卷) 四、本题共2小题，满分20分. 得 分 110,, ,,A,22015. (10分) 已知. ,,,,103,, (1) 求的Smith标准型. A(,)A) …………………………………………密…………………………封……………………………………线………………………………… (2) 求的Jordan标准型. JA 密封线外不要写姓名、学号、班级、密封线内不准答题，违者按零分计 学院 系 专业班级 姓名 学号 ( 第 7 页 共 9 页 (A卷) 11,,16. (10分)已知. A,,,11,, At(1) 分别用三种不同的方法求. e dx,1,，，xx112,dt,dx,2,，，xx2(2) 求解微分方程组. ,12dt, xx(0)(0)0,,,12,, 第 8 页 共 9 页 (A卷) ) …………………………………………密…………………………封……………………………………线………………………………… 密封线外不要写姓名、学号、班级、密封线内不准答题，违者按零分计 学院 系 专业班级 姓名 学号 ( 第 9 页 共 9 页 (A卷)