奇数角星与非奇数角星的内角和

奇数角星与非奇数角星的内角和 奇数角星与非奇数角星内角和 奇数角星与非奇数角星的内角和 ?李占勇 安徽省六安市金寨县麻埠镇鲜花岭中学 姓名: 李占勇 性别: 男 学位: 学士 职称: 中学二级教师 中文摘要:通过图例先给出‘奇数角星’的定义，然后再利用圆的知识‘奇数角星角和’恒等于180度，然后又给出了‘非奇数角星’的画法，又证明了‘非奇数角星角和大于180度’. 关键词:奇数角星;非奇数角星 第1页 奇数角星与非奇数角星内角和 奇数角星及非奇数角星的内角和 定理1 采用作外接圆的可得:任意奇数角星各顶角之和=180? 1 首先对奇数角星进行定义，明白什么是奇数角星:按如下顺序画成的 图形叫做奇数角星，有几个角就称为几角星。画奇数角星的步骤: o ? o ? o ? o ? 第2页 奇数角星与非奇数角星内角和 o ? o ? o ????????? 直到最后一条线段的末端点与起始点o重合，得到所需的奇数角星。 可看到，在画奇数角星时，要按每一条线段都在前一条线段的左边或每一条线段都在前一条线段的右边的规则画下一条线段(根据画线段的方向确定该线段的左右),并且以所画的第一根线为分界线，从画出的第二个角开始直到倒数第二个角(最后画成的角之前的角)，依次画出的角交错地指向分界线的两侧，这也是奇数角星的文字定义. 2 观察几个奇数角星的各角度数之和: 180? 180? 180? 3 提出疑问:对任意的奇数角星，它的各角度数之和均为180?吗, 4 下面我们来进行证明: 先看五角星各顶角之和的求法: C B D A E 第3页 奇数角星与非奇数角星内角和 在五角星所覆盖的区域内任选一点o，寻找到五角星的五个顶点中距o点最近的一个顶点，从图中看出A点距o最近，连接OA，以o为圆心，OA为半径作圆，可知五角星的五个顶点均不在圆的内部。下面我们想法在保持五角星五个顶角度数之和不变的情况下把五角星的五个顶点移到圆周上: C D B A E ? C B' D B A E 先移动B点，把点B移到圆周的B'处，因为?EB'D=?B'EB+?B,可知?B+?E=?EB'D+?B'EC,可知五角星ABCDE与五角星AB'CDE的五个顶角之和相等，求五角星ABCDE五个顶角之和转化为求五角星AB'CDE的五个顶角之和，并且五角星AB'CDE仍满足奇数角星的定义;然后再利用类似的步骤将五角星AB'CDE中不在圆周上的其他顶点一步一步地移到圆周上，最后得到顶点都在圆周上的五角星AB'C'D'E',因为每一次移顶点，转移之前与转移之后的五角星的五个顶角之和相等，所以五角星AB'C'D'E'与原五角星ABCDE的五个顶角之和相等，也就是说，只需要求出五角星AB'C'D'E'五个顶角之和即可。 然后根据该奇数角星AB'C'D'E'的画法步骤依次AD'B'E'C':首先连接oA, 其次连接oB'，?AoB'是?D'对应的圆心角;连接oC',可知?B'oC'是?E'对应的圆心角;连接oD',可知?D'oC'是?A对应的圆心角;连接oE'，可知?D'oE'是?B'对应的圆心角;重复连接oA，?AoE'是?C'对应的圆心角，我们可以发现顺时针连接各顶点与圆心，得到顺次的圆心角对应的奇数角星的顶角是按顺时针的，当圆心角顺时针覆盖一周时，奇数角星的各顶角正好顺时针对应完。按这个步骤找对应的圆心角，可得到:每两个相邻半径(如本例顺次连接oA，oB'，oC'，oD'，oE'，oA，这时我们称oA与oB'相邻，oB'与oC'相邻，oC'与oD'相邻，oD'与oE'相邻，oE'与oA相邻)所成的夹角都是五角星的一个顶角对应的圆心角且五角星各顶角对应的圆心角无重叠，它们之和正好构成一个圆周，即360?。(类似地，当我们求任意奇数角星各顶角之和时，按照上述奇数角星的画法步骤，可发现仍有这个结论.) 由同一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半知: ?A+?B'+ C'+?D'+?E'=?D'oC'/2+?D'oE'/2+?AoE'/2+ ?AoB'/2+?B'oC'/2 =(?D'oC'+?D'oE'+?AoE'+?AoB'+ ?B'oC')/2 =360?/2 =180? 事实上，上面提供了解决任意奇数角星的各顶角度数之和的通用方法，按上述步骤，可 第4页 奇数角星与非奇数角星内角和 得出任意奇数角星的各顶角度数之和为180?，我把这个结论称为奇数角星定律。 定理2 非奇数角星没有这个结论，例如下面的非奇数角星各顶角之和就不是180?，可证 明它是大于180?的. C B C D B D A E (图1) (图2) E A 区分奇数角星与非奇数角星的关键是要了解奇数角星的画法，当我们了解了奇数角星的画法之后，可以知道奇数角星的顶角数是逐2增加的，顶角数最少的奇数角星是三角形. 按照奇数角星的画法可知非奇数角星的画法，非奇数角星就是在奇数角星的基础上将奇数角星顶点相对位置互换，可以是一对顶点互换，也可以是多对顶点互换,如图1就是图2中五角星顶点A与顶点E交换后的非奇数角星(注意:互换时，原来相邻的半径在互换后仍称为相邻的半径)，可知互换后相邻半径构成的圆心角所对应的圆周角保持不变，且互换后相邻半径所构成的圆心角发生覆盖，所有相邻半径构成的圆心角之和大于一个周角，所以非奇数角星的各个顶角之和是大于180?的。 注:奇数角星的几种特殊图形: 下面的图形就不是奇数角星，因为它的角不是交错的指向分界线的两侧: 第5页