《勾股定理》自测试
一、选择
(30分)
1. 在△ABC中,的对边分别为,且,则( )
(A)为直角 (B)为直角 (C)为直角 (D)不是直角三角形
2.下列各组数据中的三个数,可作为三边长构成直角三角形的是( )
(A)1、2、3 (B) (C) (D)
3. 三角形的三边长为,则这个三角形是( )
A. 等边三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形.
4. .已知△ABC各边均为整数,且,,,则的长为 ( )
A.5 B.6 C.7 D.5或6
5. 在Rt△ABC中,∠A=90º,a=15,b=12,则第三边c的长为( )
A. B.9 C.或9 D.都不是
6.有一块苗圃如图所示,已知AB=3米,BC=4米,CD=12米,DA=13米,且AB⊥BC,这块草坪的面积是( )
第11题图
第10题图
A、24平方米 B、36平方米 C、48平方米 D、72平方米
第8题图
第7题图
第6题图
7 如图所示,在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中,阴影部分与正方形ABCD的面积比是( )
A、3:4 B、5:8 C、9:16 D、1:2
8. 如图所示,正方形网格中,每个小正方形的边长为1,则网格上的三角形ABC中,边长是无理数的边数是( )
A、0 B、1 C、2 D、3
9. 在△ABC中,AB=20,AC=15,AD为BC边上的高,且AD=12,则△ABC的周长为 ( )
A.42 B.60 C.42或60 D.25
10如图所示,学校里保管室里有一架 5米长的梯子斜靠在墙上,此时梯子与地面所成的夹角为45°,如果梯子底端O固定不动,顶端斜靠到对面墙上,此时梯子与地面所成的角为60°,则此时保管室的宽度AB为( )
A、 B、 C、 D、米
二、填空题(30分)
11. 在长、宽都是3,高是8的长方体纸箱的外部, 一只蚂蚁从顶点A沿纸箱
面爬到顶点B点,那么它所行的最短路线的长是
12. 将勾股数3,4,5扩大2倍,3倍,4倍,…,可以得到勾股数6,8,10;9,12,15;12,16,20;…,则我们把3,4,5这样的勾股数称为基本勾股数,请你也写出三组基本勾股数 , , .
13. 如图,一棵大树在一次强台风中于离地面5m处折断倒下,倒下后树顶落在树根部大约12m处。这棵大树折断前高度估计为 .
第14题图
第15题
第16题
第13题图
14. 如图所示的圆柱体中底面圆的半径是,高为,若一只小虫从点出发沿着圆柱体的侧面爬行到点,则小虫爬行的最短路程是 (结果保留根号)
15.如图所示,将矩形ABCD沿直线AE折叠,顶点D恰好落在BC上F点处,已知CE=3厘米,AB=8厘米,则图中阴影部分的面积为 平方厘米.
16. 如图,学校有一块长方形花铺,有极少数人为了避开拐角走“捷径”,在花铺内走出了一条“路”.他们仅仅少走了 步路(假设2步为1米),却踩伤了花草.
第19题
17. 如图是一种“羊头形”图案,其作法是:从正方形①开始,以它的一边为斜边,向外作等腰直角三角形,然后再以其直角边为边,分别向外作正方形②、②′,以此类推,若正方形①的边长为64cm,则正方形⑦的边长为_________cm.
第18题
第17题
18. 如图,在由24个边长都为1的小正三角形的网格中,点是正六边形的一个顶点,以点为直角顶点作格点直角三角形(即顶点均在格点上的三角形),请你写出所有可能的直角三角形斜边的长
19. 如图,已知图中每个小方格的边长均为1,则点到直线的距离为 (结果保留根号).
20. 把如图所示的矩形纸片ABCD折叠,B、C两点恰好落在AD边上的点P处,已知∠MPN=900,PM=6cm,PN=8cm,那么矩形纸片ABCD的面积为___________cm2
第20题图
三、解答题(60分)
21. (7分)一个直立的火柴盒在桌面上倒下,启迪人们发现了勾股定理的一种新的验证方法.如图,火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB′C′D′的位置,连接CC′,设AB=a,BC=b,AC=c,请利用四边形BCC′D′的面积验证勾股定理:a2+b2=c2.
b
22. (7分)一个零件的形状如左图所示,按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角.工人师傅量得这个零件各边尺寸如右图所示,这个零件符合要求吗?
23(7分).如图,已知等腰△ABC的底边BC=20cm,D是腰AB上一点,且CD=16cm,BD=12cm,求△ABC的周长.
A
24(7分).如图,三个村庄A、B、C之间的距离分别为AB=5km,BC=12km,AC=13km.要从B修一条公路BD直达AC.已知公路的造价为26000元/km,求修这条公路的最低造价是多少?
.
25.(7分)如图,AB为一棵大树,在树上距地面10m的D处有两只猴子,它们同时发现地面上的C处有一筐水果,一只猴子从D处上爬到树顶A处,利用拉在A处的滑绳AC,滑到C处,另一只猴子从D处滑到地面B,再由B跑到C,已知两猴子所经路程都是15m,求树高AB.
26. (7分)如图,在△ABC中,∠ACB=90º,AC=BC,P是△ABC内的一点,且PB=1,PC=2,PA=3,求∠BPC的度数.
第26题
27(8分)在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c.若∠C=90°,如图1,根据勾股定理,则a2+b2=c2.若△ABC不是直角三角形,如图2和图3,请你类比勾股定理,试猜想a2+b2与c2的关系,并证明你的结论.
图1
图2
图3
28. (10分)阅读材料并解答问题.我国是最早了解和应用勾股定理的国家之一.古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用,古希腊数学家毕达哥拉斯首先证明了勾股定理,在西方勾股定理又称为“毕达哥拉斯定理”.
关于勾股定理的研究还有一个很重要的内容是勾股数组,在《几何》课本中我们已经了解到,“能够成为直角三角形三条边的三个正整数称为勾股数”.以下是毕达哥拉斯等学派研究出的确定勾股数组的两种方法.
方法l:若m为奇数(m≥3),则a=m,b=(m2-1)和c=(m2+1)是勾股数.
方法2:若任取两个正整数m和n(m>n),则a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2是勾股数.
(1)在以上两种方法中任选一种,证明以a、b、c为边长的△ABC是直角三角形.
(2)请根据方法l和方法2按规律填写下列
:
勾m
3
5
11
…
股(m2-1)
4
12
60
…
弦(m2+1)
5
13
61
…
m
2
3
3
4
4
4
5
5
6
…
n
1
2
1
3
2
1
4
3
5
…
A=m2-n2
3
5
8
7
12
15
9
16
11
…
B=2mn
4
12
6
24
16
8
40
30
60
…
C=m2+n2
5
13
10
25
20
17
41
34
61
…
(3)某园林管理处要在一块绿地上植树,使之构成如图所示的图案景观,该图案由四个全等的直角三角形组成.要求每个三角形顶点处都植一棵树,各边上相邻两棵树之间的距离均为1米,如果每个三角形最短边上都植6棵树,那么这四个直角三角形的边上共需植树多少棵.
第28题图
即
意图
一、选择题
1. A 2.C 3.C 4.D 5. B 6. B 7. B 8. C 9. C. 10.A
分析:
1. A分析:因为常见的直角三角形表示时,一般将直角标注为,因而有同学就习惯性的认为就一定表示直角,加之对本题所给条件的分析不缜密,导致错误.该题中的条件应转化为,即,因根据这一公式进行判断.正解:,∴.故选(A)
2.C 分析:彻底区分勾股定理及其及逆定理,对概念的理解流于表面形式.判断直角三角形时,应将所给数据进行平方看是否满足的形式. 因为,选(C)
3.C
4.D 错解:由勾股定理,得.故选A.
剖析:致误原因是受“勾3股4弦5”的影响,将△ABC当成了直角三角形而用了勾股定理,出现了知识的“负迁移”.实际上,题中并没有给出直角三角形这个前提条件.
正解:由三角形三边关系,得,即4