分红对美式认沽权证行权价格影响下的二叉树定价

分红对美式认沽权证行权价格影响下的二叉树定价 分红对美式认沽权证行权价格 影响下的二叉树定价 3 胡海涛何春雄 () 华南理工大学数学科学学院 ,广州 510640 摘 要 美式认沽权证的定价一般是采用二叉树模型 ,但是 ,由于在持续期内的分红会对行权价格有影响 ,所以经典的二叉树模型无法较为准确地为国内的美式认沽权证定价 。文中针对这一情况 ,在路径到达的假设下推导出行权价格的调整公式 , 并由此修正了二叉树模型 。之后 ,以穗机场认沽权证为例子进行定价研究 ,同时考虑了认沽权证前三个月不能行权对定价所 造成的影响 。定价结果分析中将二叉树模型与 B 2S模型之间 ,以及两种二叉树模型之间进行比较 ,并分析产生差异的原因 。 文中的结论将对国内权证市场中美式认沽权证的定价具有一定的借鉴作用。 关键词 美式认沽权证权证定价分红修正二叉树模型路径到达假设贝叶斯法则 中图法分类号 F832 文献标识码 目前国内上市的 20 多只权证中 , 除了长电认,无论是否发放红利 ,提公式。但对于美式认沽权证 购权证 ,其余的都是备兑权证。而在所有的备兑权 前执行都能让权证持有人有机会获取更大的收益 , (证中 ,也仅有穗机场认沽权证 具体条款可以参 所以美式认沽权证的价值将会比欧式认沽权证更 考《广东省机场管理集团公司关于广州白云国际机 高 。由于必须考虑提前执行对于权证价值的影响。 场股份有限公司人民币普通股股票之认沽权证上市 所以 ,采用 B 2S公式以及蒙特卡罗模拟无法准确地 )公告书 》为美式备兑权证 , 即权证由大股东发行 , 定出美式备兑认沽权证的理论价值 ,这种情况下一 () 或者证券公司创设 如果允许创设的话 ; 权证持有 般采取二叉树模型定价 。 人可以在整个持续期内凭认购权证 , 或认沽权证 按行权价格向发行人或创设人认购或者出售相应 1 经典二叉树模型介绍正股。 目前国内采用的权证理论价值评估方法中 , B 2S Cox、Ro ss和 R ub in ste in 在 1979 年首次提出了公式、二叉树模型以及蒙特卡罗模拟是三种最为常 二叉树模型 。他们假设股票价格的运动是由大量的 用的模型 。对于欧式权证 ,二叉树模型定价的结果 () 小幅度二值运动构成的 。他们把权证 或者期权 是 B 2S公式的近似值 ,所以欧式权证的定价主要采 Δ的有效期分为很多很小的时间间隔 t。假设在每 一个时间段内股票价值从开始的 S 运动到两个新值 用 B 2S公式或者蒙特卡罗模 拟 。对于美式认购权 S u 和 S d 中的一个。一般情况下 , u > 1, d < 1。因此 证 ,如果不发放红利 ,则与欧式认购权证的理论价值 S 到 S u 是价格“上升 ”运动 , S 到 S d 是价格“下降 ” 是一样的 ,同样可以采用 B 2S公式或者蒙特卡罗模 运动。 拟来定价 ; 对于支付红利的美式认购权证 , Ro ll、 价格上升的概率假设是 p, 下降的概率则为 Ge ske和 W ha ley也已经提出了精确的定价 Δ1 - p。当时间为 0 时 , 股票价格为 S; 时间为 t时 , 第一作者简介 : 胡 海涛 , 男 , 华 南 理 工 大 学 数 学 理 金 融 硕 士 ,Δ股票价格有两种可能 : S u 和 S d; 时间为 2t时 , 股票 E2m a il: donysea@ 163. com。 2 2 价格有三种可能 : S u、S ud 和 S d, 以此类推。一般 3 通信作者简介 :何春雄 ,博士后 ,男 ,华南理工大学数理金融硕士 生导师 , E2m a il: m achxhe@ scu t. edu. cn。 Δ 情况下 , 在 i t时刻 , 股票价格有 i + 1 种可能 , 它们 1407 7期胡海涛 , 等 : 分红对美式认沽权证行权价格影响下的二叉树定价 j i - j 是 : S ud, j = 0, 1, . . . , i。如图 1所示 。 期权的内涵价值进行比较 , 因此得Δ j i - j - r t( f= m ax{ X - S u d , e+ 1 -[ pf i + 1, j + 1 i, j ( )) 8 pf] }i + 1, j 一般情况国内股票会每过半年或者一年时间进 行一次分红 。假如在权证持续期内只发放一次红 Δ( )Δτ利 , 而除息日 在 kt到 k + 1 t之间 , 而且红利 数额为 D。所以可以假设股票价格由两部分组成: 一部分是不确定的 , 另一部分是权证有效期内所有 Δ未来红利的现值。所以在 i t时刻 , 股价不确定部 3 分的价值 S为 : 3 ( )τ Δ9 S = S , 当 i t > 和τΔ() - r- i t3 ( )Δτ S = S - D e , 当 i t?10 3 3 3 ( σ 为 S的标准差 即 S的年波其中 D 是红利 , 而 图 1 股价变动的二叉树图 3 S 3 ) σσ ( ) σ动率 。一般 , =, 将 代替前面 3 式、3 S 假设市场是处于风险中性的世界中 , 所以 , 股票)( ) σ( 4 式、5 式中的 , 就可以用通常的方法构造模 Δ的期望收益是无风险利率 r。因此 , 在时间间隔 t3 Δ() r t拟 S的二叉树图。通过把未来红利 如果有的话 段末的股票期望值为 S e, 其中 S 为该时间间隔段 的现值加在每个结点的股票价格上 , 就会使原来的 初始股票价格。因此 Δ r t二叉树图转化为另一个模拟 S 的二叉树图。 ( ) ( )S e= pS u + 1 - pS d 1 Δ τ 当 it?, 树图上的结点对应的股票价格为 即j i - j τΔ() 3 - r- i tr ( )Δt S = S u d + D e 11 ( ( )) e= pu + 1 - pd2 Δ 当 iτ t >, 树图上的结点对应的股票价格为 ( )由 2 式可得3 j i - j ( )12 S = Sud a - d ( )p = 3 u - d σ Δ t( )u = e 4 2 经典二叉树模型的缺陷 1 ( )d = 5 u 在我国的权证市场中 , 分红会对权证价格产生 其中影响。当正股股价除息时 , 权证的行权比例不变 , 行 Δ rt( )a = e 6 权价格按下列公式调整 : σ而 代表股价的年波动率 。(新行权价 =原行权价 ×正股除息日参考价 ? 所以 , 在不支付红利的情况下 , 可以假设美式认 ) 除息前一日正股收盘价 。 Δ沽权证的有效期被分成 N 个长度为 t的小段 。设 其中 , 正股除权日参考价 =除息前一日正股收 Δ f为 i t时刻第 j个结点的美式期权价值 , 其中 0 ?ii, j盘价 - 红利数额。 ( ) ?N , 0 ?j?i。将称 f为结点 i. j的权证价值 。在i, j而在经典的二叉树模型中 , 分红只是对股价产 j i - j ( )结点 i. j的股票价格为 S ud。由于美式认沽权生了影响 , 但是对行权价格的影响却没有考虑 。所 ( ) f证在到期日的价值为 m ax X - S, 0 , 于是 = N , jT 以我们应该在二叉树模型中考虑分红对行权价格的 j N - j ( ) m ax X - S ud, 0 , j = 0, 1, . . . N 。假设不提前执 影响因素。 行 , 风险中性估价公式给出 :Δ - r t( ) ( )1 - pf]7 + f= e[ pf i + 1, j i, j i + 1, j + 1 ( ) 再考虑提前行权 , 则 7 式中的 f必须与看跌 i, j ? 1994-2013 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 1408 科 学 技术与 工 程 7卷 面结点的行权价格是由它的前两个结点的行权价格 Δ按照同样的概率分布而生成的。也就是说 , 在 i t( 3 修正二叉树模型 考虑红利对行权价格3 ( ) 时刻 i > k + 1 , 每一个结点所对应的 X 价格是由 )的影响 3 到达它的前面两个结点的 X价格调整得出 , 即 : 3 3 3 3 3 ( ) ( )X = pX + 1 - pX , 0 ?j?i 15 i, j i, j i - 1, j - 1i, j i - 1, j 假设在权证持续期内只发放一次红利 , 初始行( ) 根据后验概率的贝 叶斯方 法则 P A | B =Δ( )Δτ权价格为 X。而除息日 在 kt到 k + 1 t之间 , (()) P B |A P A 3 )()(。这里 P A |B 代表 p; P B |A 代表 i, j而且红利数额为 D。按照经典的二叉树模型 , 当 i? () P B Δk, 在 i t时刻 , 树图中结点对应的股票价格为 S = ( ) ( ) ( ) 经过 i - 1, j - 1 到达 i, j的概率; P A 代表从开(τΔ) 3 j i - j - r- i t S u d + D e , 0 ?j?i。当 i = k + 1 时 , 树图( ) ( ) 始结点到达 i - 1, j - 1 结点的概率; P B 代表从 中结点对应的股票价格即正股除息后的价格为 : S =( )开始结点到达 i, j结点的概率。 3 j k + 1 - j j i - j ( )Δ S u d , 0 ?j?k + 1。把红利贴现到 k + 1 t时( )( ) 由于在 i, j结点 , 股价为 S ud, 所以 P B =3 j k + 1 - j = Sud+ 刻 , 则 除 息 前 的 股 价 应 该 为 Si - j i! j j j ( ) () Cp 1 - p, 其中 C= 。同理 , P A =i i r( ( k + 1 )Δt - τ) ( ) i - j! j! D e。所以按照除息对行权价格调整的公j - 1 j - 1 i - j 3 () ( ) 1 - p 。而显然又有P B | A = p, 所以Cpi - 1 式 , 则调整后的行权价格 X应为 3 j k + 1 - j 可得 : S u d 3 X=X , k + 1, j j - 1 j - 1 i - j r( ( k + 1 )Δt - τ) 3 j k + 1 - j () pCp 1 - p S u d + D e i - 1 j 3 ( )p== , 0 ?j?i 16 i, j j j i - j i() Cp 1 - p( ) 13 0 ?j?k + 1i 3 ( ( ) ) 特别地 , 对于 i, i结点 , p= 1; 而对于 i, 0 结 由于二叉树的每一个分支会产生两个结点 , 所i, i 3 3 ( ) 以 , 在 i = k + 2, 有 2 k + 2 个 X价格 , 其中有一半 点 , p= 0, 恰好与前面的分析吻合 。i, i ( )( ) 价格相同 。 将 16 式代入 15 式 , 再综合前面的结果 , 就 可以得到 , 对于任何的 0 ?j?i, 调整后的行权价格当 i = k + 2时 ,树图中结点对应的股票价格为 : 33j k + 2 - j( )= X , i < k + 1 = S u d ,14 XS 0 ?j?k + 2 i, j 3 j k + 1 - j 共产生 k + 3 个结点。这样就使得结点跟行权价格 S u d 3 i = k + 1 X = X , i, j )Δτ) ( ( 3 j k + 1 - j rk + 1 t - ( ) 17 为 :发生了不一致对应的情况 。同样的结点 , 对应的却 S u d + D e j i - j 可能是不同的行权价格。而且 , 越到二叉树后面的 3 33+ X = X X i > k + 1 i, j i - 1, j - 1i - 1, ji i 结点 , 行权价格与结点对应的混乱情况会更为严重 。 3 这里补充假设任意的 X ?0。将原来二叉树 i, - 1 为了解决这一问题 , 先回到股价二叉树的结点 3 j i - j( )模型中每个 i, j结点的行权价格 X 替换为 X , 则 i, j ( ) 上考虑。二叉树中 i, j结点的股票价格为 S ud。 可以计算出权证的理论价格。 对于存续期内多次( ) 如果 j = 0, 则股价必定是由 i - 1, 0 结点的股价下 分红的情况 , 也可以类似处 ( ) 跌而得到 ; 如果 j = i, 则股价必定是由 i - 1, j - 1 ( ) 理得到。考虑第二次及之后的分红只需要将 17 结点的股价上涨而得到 。对于 0 < j < i结点的股价 , 式中 的 X 更 换 为 分 红 前 结 点 对 应 的 实 际 行 权 ( )既可能由 i - 1, j - 1 结点的股价上涨而取得 , 又可 价格。 ( )能由 i - 1, j结点的股价下降而取得。所以 , 不妨 j i - j 3 j - 1 i - j 3 ) ( 假设这一价格为 S ud= p S u d u + 1 -p i, j i, j j i - 1 - j 3 () ( )4 实证分析 以机场认沽权证为例 S u d d, 其中 p为到达 i, j结点的前提下 , 路径 i, j ( ) 是经由 i - 1, j - 1 结点到达的概率 , 而相应的 1 - 3 ( ) p为同样前提下经由路径 i - 1, j结点到达的概 JTP1 唯一一只美式权由于国内现在仅有机场 i, j 率。证 ,所以以它作为例 ,运用二叉树模型计算权证上市 3 ( )Δ( ) 因为在 k + 1 t时刻会产生 k + 2 个 X价 之日的理论价格。 格 , 在前面路径到达的假设下 , 我们同样可以假设后 机场 JTP1 的正股为 G穗机场 , 行权价格为 7? 1994-2013 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 1409 7期胡海涛 , 等 : 分红对美式认沽权证行权价格影响下的二叉树定价 元。存续期为 2005 年 12 月 23 日起至 2006 年 12,由于机场认沽权证的行权期并不是整但是 月 22日止 ,总计 1 年。上市日期为 2005年 12 月 23个存续期 ,而是从 2006 年 3 月 23 日开始 。也就 日 ,而行权日是从 2006年 3月 23日起至 2006 年 12 是说 ,权证上市的前 3 个月时间内是无法行权的。 月 22日 。我们以 2005年 12月 22 日 G穗机场的收 因此 , 可 以 将 3 个 月 的 时 间 点 换 算 成 结 点 的 序 () 号 M 保留小数 。比如我们将持续期分为 30 段的盘价 6188 元为参考 ,而考虑之前 180个交易日的历 史波动率 29176 %作为正股的波动率 。假设正股在 3 = ×30 = 715。然后 ,将结点分两种情况 话 ,则 M12 存续期内的半年分红一次。我们将整个持续期分为 ( ) 进行考虑 ,从而对 8 式进行修正 ,得出 :30段 ,利用红利对行权价格影响下的二叉树模型来 估算权证价值。 - Δr t ( ) 制度

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