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弹塑性力学习题题库及第二章应力理论和应变理论2—3．试求图示体斜截面上的σ30°和τ30°〔应力单位为MPa〕并讲明使用材料力学求斜截面应力为公式应用于弹性力学的应力计算时，其符号及30106.7686.77()104sin2cos2sin602cos60221323.5983.60()22xyxyMPaMPaσστατα=--=----+=?+=?-=-?-?=--代入弹性力学的有关公式得：己知σx=-10σy=-4τxy=+23030()cos2sin2221041041cos602sin607322226.7686.77()104sin2cos2sin602cos60221323.5983.60()22xyxyxyxyxyMPaMPaσσσσσατασστατα+-=++---+=++=--?+=----+=-?+=-?+=?+?=由以上计算知，材力与弹力在计算某一斜截面上的应力时，所使用的公式是不同的，所得结果剪应力的正负值不同，但都反映了同一客观实事。2—6.悬挂的等直杆在自重W作用下〔如下图〕。材料比重为γ弹性模量为E，横截面面积为A。试求离固定端z处一点C的应变εz与杆的总伸长量Δl。解：据题意选点如下图坐标系xoz，在距下端〔原点〕为z处的c点取一截面考虑下半段杆的平衡得：c截面的内力：Nz=γ·A·z；题图1-3c截面上的应力：zzNAzzAAγσγ??===?；所以离下端为z处的任意一点c的线应变εz为：zzzEEσγε==；则距下端〔原点〕为z的一段杆件在自重作用下，其伸长量为：()22zzzzzzzzyzzldlddzdEEEγγγε=???=??=?=?=；显然该杆件的总的伸长量为〔也即下端面的位移〕：()2222llAllWlldlEEAEAγγ?????=??===；〔W=γAl〕2—9.己知物体内一点的应力张量为：σij=50030080030003008003001100-????+-????--??应力单位为kg／cm2。试确定外法线为ni〔也即三个方向余弦都相等〕的微分斜截面上的总应力nP、正应力σn及剪应力τn。解：首先求出该斜截面上全应力nP在x、y、z三个方向的三个分量：n＇=nx=ny=nz题—图16Px=()xxyxzσττ++n＇=()2538100++-?=????Py=()yxyyzτστ++n＇=()2303100++-?=????Pz=()zxyzzττσ++n＇=()()28311100-+-+?=????所以知，该斜截面上的全应力nP及正应力σn、剪应力τn均为零，也即：Pn=σn=τn=02—15.如下图三角形截面水坝材料的比重为γ，水的比重为γ1。己求得应力解为：σx=ax+by，σy=cx+dy-γy，τxy=-dx-ay；试根据直边及斜边上的边界条件，确定常数a、b、c、d。解：首先列出OA、OB两边的应力边界条件：OA边：l1=-1；l2=0；Tx=γ1y；Ty=0则σx=-γ1y；τxy=0代入：σx=ax+by；τxy=-dx-ay并注意此时：x=0得：b=-γ1；a=0；OB边：l1=cosβ；l2=-sinβ，Tx=Ty=0则：cossin0cossin0xxyyxyσβτβτβσβ+=??+=?………………………………〔a〕将己知条件：σx=-γ1y；τxy=-dx；σy=cx+dy-γy代入〔a〕式得：()()()1cossin0cossin0ydxbdxcxdyycγβββγβ-+=???--+-=??化简〔b〕式得：d=γ1ctg2β；化简〔c〕式得：c=γctgβ-2γ1ctg3β2—17.己知一点处的应力张量为31260610010000Pa???????????试求该点的最大主应力及其主方向。解：由题意知该点处于平面应力状态，且知：σx=12×103σy=10×103τxy=6×103，且该点的主应力可由下式求得：(()()31.233331210102217.0831*******6.0828104.9172410xyPaσσσ?++?==????=?=±?=?则显然：3312317.083104.917100PaPaσσσ=?=?=σ1与x轴正向的夹角为：〔按材力公式计算〕()22612sin22612102cos2xyxytgτθθσσθ--?-++====+=--+显然2θ为第Ⅰ象限角：2θ=arctg〔+6〕=+80.5376°则：θ=+40.268840°16＇或〔-139°44＇〕2—19.己知应力分量为：σx=σy=σz=τxy=0，τzy=a，τzx=b，试计算出主应力σ1、σ2、σ3并求出σ2的主方向。解：由2—11题计算结果知该题的三个主应力分别为：1σ=20σ=；3σ=设σ2与三个坐标轴x、y、z的方向余弦为：l21、l22、l23，于是将方向余弦和σ2值代入下式即可求出σ2的主方向来。()()()()()()21222232321222232321222322122020203xyxxzxzyxyyzzyzxzyzyxzylllllllllllllσσττττσσττττσσττ?-++==??+-+==??++-=+=??以及：()22221222314lll++=由〔1〕〔2〕得：l23=0由〔3〕得：2122lalb=-；2221lbla=-；将以上结果代入〔4〕式分别得：21l===；22l===；2122allb=-22l∴==同理21l=于是主应力σ2的一组方向余弦为：〔，22ab+0〕；σ3的一组方向余弦为〔，，2±〕；2—20.证实下列等式：〔1〕：J2=I2+2113I；〔3〕：()212iikkikikIσσσσ=--；证实〔1〕：等式的右端为：()()22211223311231133IIσσσσσσσσσ+=-+++++()()22212312233112233112223σσσσσσσσσσσσσσσ=+++++-++()()()222123122331122331246666σσσσσσσσσσσσσσσ=+++++-++22212312233126σσσσσσσσσ??=++---??22222211222233331112226σσσσσσσσσσσσ??=-++-++-+??()()()222122331216Jσσσσσσ??=-+-+-=??故左端=右端证实〔3〕：()212iikkikikIσσσσ=--右端=()12iikkikikσσσσ-()()()222222122xyzxyyzzxxyzxyzσσστττσσσσσσ??=+++++-++++??()()2222222221222xyzxyyzzxxyzxyyzzxσσστττσσσσσσσσσ??=+++++----++??()2222xyyzzxxyyzzxIσσσσσστττ=-++---=2—28：设一物体的各点发生如下的位移。012301230123uaaxayazvbbxbybzwccxcycz=+++??=+++??=+++?式中a0、a1………c1、c2均为常数，试证各点的应变分量为常数。证实：将己知位移分量函数式分别代入几何方程得：1xuaxε?==?；2yvbyε?==?；3zwczε?==?；12xyuvbayxγ??=+=+??；23yzvwcbzyγ??=+=+??；31zxuwacyxγ??=+=+??；2—29：设己知下列位移，试求指定点的应变状态。〔1〕：()()22232020410uxvyx--?=+???=???在〔0，2〕点处；〔2〕：()()()22222615103210810uxwzxyvzy---?=+???=-???=???在〔1，3，4〕点处解〔1〕：2610xuxxε-?==??2410yvxyε-?==??20410xyuvyyxγ-??=+=+???在〔0，2〕点处，该点的应变分量为:0xyεε==；2810xyγ-=?；写成张量形式则为：204040010000ijε-????=???????；解〔2〕：将己知位移分量函数式代入几何方程求出应变分量函数式，然后将己知点坐标〔1，3，4〕代入应变分量函数式。求出设点的应变状态。2212101210xuxxε--?===??；228103210yvzyε--?===??226102410zwzzε--?===??；0xyuvyxγ??=+=??()()2228210242102210yzvwyxzyγ---??=+=+-=-?=???????()222020610zxwuyxzγ--??=+=-+=-???；用张量形式示则为：21203032111031124ijε--????=?????-??2—32：试讲明下列应变状态能否可能〔式中a、b、c均为常数〕(1):()22200000ijcxycxycxycyε??+??=????????(2):()()()()222222222210210211022ijaxyaxbyaxyazbyaxbyazbyε??+??????=+??????++????(3):()22200000ijcxyzcxyzcxyzcyzε??+??=????????解〔1〕：由应变张量εij知：εxz=εyz=εzx=εzy=εz=0而εx、εy、εxy及εyx又都是x、y坐标的函数，所以这是一个平面应变问题。将εx、εy、εxy代入二维情况下，应变分量所应知足的变形协调条件知：22222yxyxyxxyεγε???+=????也即：2c+0=2c知知足。所以讲，该应变状态是可能的。解〔2〕：将己知各应变分量代入空间问题所应知足的变形协调方程得：222222222222222222222yxyxyyzzxzxzxyyzzxxxyyzyzxyzxyzxzyxxyzyyzxzzxxyzxyzyzxyzxzxyzxyεγεεγεεγεγγγεγγεγγγγε????+=???????????+=?????????+=????????????+-=????????????????+-=????????????????+-=??????????????????????………………………………〔1〕得：220000000002000axayb+=??+=??+=?=??≠?=?不知足，因而该应变状态是不可能的。解〔3〕：将己知应变分量代入上〔1〕式得：202000002220czczcycycx+=??+≠??=??=?≠??不知足，因而该点的应变状态是不可能的。第三章：弹性变形及其本构方程3-5．试根据物体三向受拉，体积不会缩小的体积应变规律，来证实泊松比V的上下限为0＜V＜21；证实：当材料处于各向等值的均匀拉伸应力状态下时，其应力分量为：σ11=σ22=σ33=pσ12=σ23=σ31=0假如我们定义材料的体积弹性模量为k，则显然：k=ep，e为体积应变。将上述应力分量的值代入广义胡克定律：eGijijijλδεσ+=2得：??????+=+=+=eGpeGpeGpλελελε321222三式相加得：()eGp233+=λ将p=ke代入上式得：()GGk323231+=+=λλ……………………〔1〕由弹性应变能u0的正定性〔也就是讲在任何非零的应力值作用下，材料变形时，其弹性应变能总是正的。〕知k＞0，E＞0，G＞0。因：ijijodoreGekeJGIkuuu+=+=+=222102121181我们知道体积变形e与形状变化部分，这两部分可看成是互相独立的，因而由uo的正定性可推知：k＞0，G＞0。而又知：GkkGE+=39所以：E＞0。我们将〔1〕式变化为：()()()()()()()()VEVVEVVVGVGVVGVGVGGk21312213122131221362122123232-=+?-+=-+=-+-=-+=+=λ()()VVG21312-+=……………………………………〔2〕由〔2〕式及k＞0，G＞0，E＞0知：1+V≥0，1-2V≥0。解得：-1≤V≤21。但是由于到目前为止，还没有发现有V＜0的材料，而只发现有V值接近于其极限值21的材料〔例如：橡胶、石腊〕和V值几乎等于零的材料〔例如：软木〕。因而，一般以为泊松比V的上、下限值为21和0，所以得：0＜V＜21或：0≤V≤21；3-10．直径为D=40mm的铝圆柱体，严密地放入厚度为=δ2mm的钢套中，圆柱受轴向压力P=40KN。若铝的弹性常数据E1=70Gap.V1=0.35,钢的弹性常数E=210Gap。试求筒内的周向应力。解：设铝块受压q-==21σσ而3324401010014104σππ--?==-??则周向应变???????????----=πε1001qrqE铝铝钢钢钢EqqE10102.02104122=????=--ε∵钢铝εε=q=2.8MN/m2钢套228/2qDMNmtθσ==tqvr2=σ；tqr=θσ；0=zσ；1εσ?=Er；4-14.试证实在弹性范围内剪应力不产生体积应变，并由纯剪状态讲明v=0。证实：在外力作用下，物体将产生变形，也即将产生体积的改变和形状的改变。前者称为体变，后者称为形变。并且可将一点的应力张量σij和应变张量εij分解为，球应力张量、球应变张量和偏应力张量、偏应变张量。ijmijijijmijijseσσδεεδ=+??=+?而球应变张量只产生体变，偏应变张量只引起形变。通过推导，我们在小变形的前提下，对于各向同性的线弹体建立了用球应力、球应变分量和偏应力分量，偏应变分量表示的广义胡克定律：()()3122mmeijijkksGeσε?==??=??(1)式中：e为体积应变1231xyzeIεεεεεε'=++=++=由〔1〕式可知，物体的体积应变是由平均正力σm确定，由eij中的三个正应力之和为令，以及〔2〕式知，应变偏量只引起形变，而与体变无关。这讲明物体产生体变时，只能是平均正应力σm作用的结果，而与偏应力张量无关进一步讲就是与剪应力无关。物体的体积变形只能是并且完全是由球应力张量引起的。由单位体积的应变比能公式：3122oovodmmijijuuuseσε=+=+；可以讲明物体的体变σσ12=σαrQQσ1σZσ2σ1σ1=只能是由球应力分量引起的。当某一单元体处于纯剪切应力状态时：其弹性应变比能为：221102oovodxyxyvuuuGEττ+=+=+=由uo的正定性知：E>0，1+v>0.得：v>-1。由于到目前为止还没有v0。3-16．给定单向拉伸曲线如下图，εs、E、E′均为已知，当知道B点的应变为ε时，试求该点的塑性应变。解：由该材料的σ—ε曲线图可知，该种材料为线性强化弹塑性材料。由于B点的应变已进入弹塑性阶段，故该点的应变应为：εB=ε=εe+εp故：εp=ε-εe()()11eessEEEEEEσεεσεεεεεε''=-=-+-=-+-????????111sssEEEEEEEEEEεεεεεε'''????=--+=---??????()1sEEεε'??=--???；3-19．已知藻壁圆筒承受拉应力2szσσ=及扭矩的作用，若使用Mises条件，试求屈从时扭转应力应为多大？并求出此时塑性应变增量的比值。解：由于是藻壁圆筒，所可认圆筒上各点的应力状态是均匀分布的。据题意圆筒内任意一点的应力状态为：〔采用柱坐标表示〕BACOtgE-1tgE-1εεstgE′-1σsσε