第5-6节：两个重要极限,无穷小的比较.doc

第5-6节：两个重要极限,无穷小的比较.doc B 第 5节 两个重要极限 第 6 节 无穷小的比较 教学目的:掌握两个极限的存在准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极 限的方法 教学重点:利用两个重要极限求极限 教学难点:利用第二重要极限求极限的方法 教学内容: 一(极限存在的两个准则 1(夹逼准则 ,,,,,,zx、y如果数列及满足下列条件: nnn y,x,z，，n,1，2，3...(1)，(2)limy,A，limz,A， nnnnn,,,,nn ,,x那么数列的极限存在，且limx,A。(证明见书p38) nn,,n f(x),g(x).h(x)推论:如果函数在某一变化过程下满足下列条件: g(x),f(x),h(x)limg(x),limh(x),A(1)，(2) limf(x),A则 ，，111例1(求 lim...，，，,,222x,,(n1)(n2)(nn)，，，，， 解:由于 1111,，，...，2224n(n，n)(n，n)(n，n) 111,，，...， 222(n，1)(n，2)(n，n) 1111,，，，,...222nnnn 11又因为，则原式=0。 lim,lim,0n,,n,,nn4 ,,111,,lim，，？，另例 求 ,,222n,,nnnn，，，12,, n11nnn,，？，,解: 而 lim,lim,1222222n,,n,,n，nn，1n，nn，1nnn，，1 xsinD例2((重要极限一) limx,0x1 x Ao C,0解:作图，根据平面几何相关知识可知，当时， ,x,2 ?AOB 的面积,圆扇形AOB的面积,?AOD的面积 111sinx,x,tanx222即 x1故 1,, sinxcosx sinx进而 1,,cosxx 1由于 lim,lim1,1x,0x,0xcos xsin则 lim,1x,0x 2(单调有界数列必有极限 ,,x,x,x,？,x,x,？,,xx如果数列满足条件，就称数列是单调增加的;如n123nn，1n ,,x,x,x,？,x,x,？,,xx果数列满足条件，就称数列是单调减少的。单调增加n123nn，1n和单调减少的数列统称为单调数列。 单调有界准则:单调有界数列必有极限 二(两个重要极限 xsin1(第一个重要极限: lim,1x,0x 注1为了更好利用第一个重要极限求极限，应掌握好如下模型: ,xsin，，lim,1 ,(x),0，，,x ，，,x上式成立的条件是在给定的趋势下，两个应该是一模一样的无穷小量。 0注2 该极限可以解决型，含三角函数的未定式。 0 例3 求下列极限 xxsin5xxsin2sin5tanlim1. 2. 3. 4. limlimlimx,0x,0x,0x,0xxsin8xx sin(x,2)xsinx,sin21,cosxsinlimlim5. 6. 7. 8. limlim2x,x,,x,2x,20xx,2x,2x tan2xarctanx1,cosxxsin练习:(1)，(2)，(3)， (4) limlimlimlim2x,,x,0x,0x,0x,,sin3xsinxx nx111,,,,x2(第二个重要极限: ;; lim，，1，x,e，,e，,elim1lim1,,,,,0,,x,,nxnx,,,,注1 上述三种形式也可统一为模型 1 (),x ，，，，lim1，,x,e(),0x, ，，,x成立的条件是在给定趋势下，两个是一模一样的无穷小量。 ,1注2 第二个重要极限解决的对象是型未定式。 例4 求下列极限 xxx3x,82,,2,x331( 2( 3(lim 4( ，limlimlim1,,(1,)(1,)(),,,,,,x2x，1xx,,xx3,xx,, x2,,ln(12x)x，,,limlim5( 6( 2,,x,,x,0x,1sin3x,, x，322x1x，，，ln1，,,cotxxxlim练习:(1);(2); (3); (4) ，，limcosx，，limx，elim,,,x,0,xx00x,,xx2,,, xxln1ln,,，，，,lim (5)(*) x,，,12xsinx 三(无穷小量阶的比较 ,当在给定的趋势下，变量、都是无穷小量，那么，它们谁趋近于零的速度更快呢，我们给出如下, 定义: ,,，，,,0,如果，就说是比高阶的无穷小，记作; lim,0,, ,,如果，就说是比低阶的无穷小。 lim,,,, ,,如果，就说是和同阶无穷小; lim,c,0,, ,,k如果，就说是关于的阶无穷小。 lim,c,0，k,0,k, ,,,~,如果，就说与是等价无穷小，记作。 lim,1,, x,0注1 常见的等价无穷小量 11x2ln(1，x)~xsinx~xtanx~xe,1~x1,cosx~x，，，，， 1，x,1~x22 注2求极限过程中，一个无穷小量可以用与其等价的无穷小量代替，但只能在因式情况下使用，和、差情况不能用 例4 计算下列极限 2x2sinx(e1)arcsinxln(1，x),tanx,sinx1( 2( 3( 4( limlimlimlim3x,x,0x,00,0xxtanx1,cosxarctanxx 小结:本节讲述了两个极限的收敛准则，两个重要极限及利用两个重要极限求限的方法，对无穷 小量进行了分类