相对K,1,K,2和代数整数环的K,2（可编辑）

相对K,1,K,2和代数整数环的K,2（可编辑） 中国科学技术大学 博士学位论文 相对K,1,K,2和代数整数环的K,2 姓名:郭学军 申请学位级别:博士 专业:基础数学 指导教师:冯克勤;宋光天 2000.3.1年 中国科学技术大学博士学位论文 筹。页 代数一理论是从年.证明广义? 定理开始的. 年代以后,它逐渐成为一门独立的数学分 支,并获得了长足的发展,在代数几何,代数拓扑,。一代数,代 数数论,典型群论,示论和领域里都有着深刻的应用,许多 奖得主,如.、,、,、.,.等 人都在代数一理论方面做出了重要的工作. 本博士论文主要研究相对,群,相对,。群和代数整数环的 配群,首先,对稳定秩为的环及其理想,,证明了?,, ,/,,,其中,,为,,中由曲 ?。一:?,,?,?,,?,, ?.,生成的子群,进一步,对半完全环和环的相 对,,群给出了更具体的结果.其次,考虑的是相对“群。,, 证明了当环及其理想,满足条件,,即对,?,,且 。,一定存在?,,使得??,川 时的情况,,,可由,』和,,生成.最后,考虑的是 代数整数环的群.我们给出了一种,可以找到比较小的 使得。:;”? 自,从而可以简化计 ?吼\。。 算.利用这种方法,我们进一步计算证明了址牛塑和‰ 是平凡群.第页 中国科学技术大学博士学位论文 年 ;口;;一 , . . . , .。., ,.. ..碣 .“?. ., 。,,/.., .., ’.,/..,. ? .., ., 一口? 十一:??,?,?,.?,.下?口上?? ‘.,. . ‘ 、、 ?., , ., , ?一中尺, ?, ?一? ? ’,.’., , ’ .,. 巩 ? 女‘七 。兰. ’ 【 ,、,:旦?翌足第一章概述 代数.理论是从年.证明广义?定理开始 的.它最初的发展与..,.建立的拓扑一理论联系密切。后 来慢慢的代数化参见.因此它与代数几何,代数拓扑和一代数有 着密切 的联系.并且代数?一理论也在代数数论,典型群论和代数表示 论等代数领域里 有深刻的应用. 年代以后,代数,一理论逐渐成为一门独立的学 科并获得长 足的发展。为众多的数学学科提供了方法和语言,年来一直是数 学研究的重 点之一.许多奖得主,如:, .,.,.等 人都在代数.一理论方面做出了重要的工作. 代数.理论主要研究一系列由环范畴到阿贝尔群范畴的函子 ,,?, 藉此来刻画的深层次性质.我们先来介绍前三个函子。,。,:的定义.以 下所说的环若无特别说明,都是指含么结合环. 定义..设为环,表示由所有的有限生成投射左.模 的同构类】组成的集合.设以中元素为基做成的自由阿贝尔群为,其 中所有形如】一卜钏的元素生成子群为.则 :鬲 例如当是整环时,凰兄/~,其中是的理想类 群.由于每个有限生成投射模对应于上的一个幂等方阵.所以.能反 映出上的幂等阵的相似问题,反之亦然.我们在这方面的工作已发表,可参 见,.本文不再收录. 定义.冗.设兄为环,对任意正整数,阶可逆方阵全体。 到阶可逆方阵全体。有一个自然的嵌入。将。的元素 。。。映为。的元素 “舻? 因此可看作是。的子群,记 。。第页 年 中国科学拄术大学博士学位论文 设。是,位置为,对角元都为,其他位置都为的阶初等方阵,尺 为由它们生成的子群.则在。的作用下,既可自然的嵌入到晶中 从而。咒可看作是最的子群,令 。。兄. 记,】为的换位子群,则由引理参见】可知, 【,. 环的盯群定义为 篙. 这两个函子娲和都比较具体.下面的虬函子是由.给出的, 群. 通常称为 定义.’ .设为环,对 ,如是由生成元。,? ??,?兄和以下定义关系称为关系确定的阿贝尔群, ””, 如果??且?, ,蚴】 ”,。州】。; 如果?且?, 如果??且, 。,。“。 ,一 容易看出初等方阵,,也满足上面的关系.所以存在映射 靠: 。??晶,,,” 因为对的关系自然包含了时的关系,所以有一个明 显的嵌入。??。.这样 。尺可看作是“的子群,令 。。 如前所叙.则前面的映射加诱导出满射 曲: ??,” : 则场兄定义为瓴即有下面的正合列 月一第页 年 中雹科学技术大学博士学位论文 第一章概逮 实质上反映了中非平凡的性质即不能由关系刻画的 性质. 其余.函子不能用这样直接的方法来定义. 代数?.理论的中心问题是描述,群的性质直至完全决定耳群.环 的 群髓够反映出的许多不平凡的性质.例如当是代数整数环时,反 映 了的理想类群,反映了的单位群参见】,而兄则与 函数的取值有关. 各阶.群之间是有联系的,这体现在正合序列 叫“/,一’,一%“/,一‘’ .式 .,,叫凰/ 中,其中,是环的一个理想,联接不同阶群的%,,称为相对.群. 它是代数.理论中一个非常重要的概念. 近年来发现对它的研究 有助于解决 著名的?猜测参见,定义如下. 设,是环的一个双边理想,定义 ,,兰 , 它是 的子环.令:,?和:,??是下面的投射 ,口,, 定义, ,,.设为环,是环的双边理想.上面定义 的诱导出同态 .:,川一凰,, 这样就导出相对风群的定义, ,,,:。,,. 在.式中的同态,,?托,,就是诱导同态。在,, 上的限制.很早就知道了上述相对群和相对群的定义.用同样的 方式也 可以定义相对如群《,,这里加以表示其与下面所说的定义的 ,不同,而且可以证明有下面的正合序列,第页 年 中罾科学技术大学博士学位论文 砭尺,,/兄,。?/门 萱 凰,,‰/ 但是在【中证明了不可能定义任何形式的。函子,使其能够接在 上长 面正合列的左边.这个问题一度困扰了很多著名的数学家.直到 用同伦 群的方法才解决了这个问题【. 我们下面简要介绍一下的定义. 对任意结合环,给赋予离散拓扑使其成为一拓扑群. 的分 类空间是一.复形,满足下面的性质: , ?。,?, 其中,?表示的各阶同伦群.而且在同伦等价意义下,满足上述 性质的一复形是唯一的.给添加适当的.胞腔和一胞腔后 可以得到一复形,使得自然嵌入:??满足下 面的性质 “?就是自然的商映射 / 对上任意的局部系数系三, ,:风三,。‘, 对任意的?都是同构. 其中。表示由诱导的同伦群,同调群之间的同态,而。 可以看作 是在 上的限制.在同伦等价意义下,上面的两个性质完全确定了 令 兄,其中赋予离散拓扑,则”。 ”。‰,即它们的各阶同伦群是相同的. 定义.风,,川的?群和相对群定义为 .。。,,?, 可以验证当??时。这样定义的‰尺与前面的定义 ,.,.一致. 第页 年 中国科举技术大学博士学位论文 第一章概逑 自然的商映射,:?/诱导出映射,:?,/,其中,,为 映射 / ,:兄, 的同伦纤维参见】, ;.则定义 ‰,,”。尺、,, 当,时,‰,,与定义 一致参见,】 所定义的相对.群,,可以使长正合列自然的接起来.实际 上,,要比.;,更“小”一些.后来, 用纯代数的方法也导 出了正确的定义参见这些,我们将在下面做详细的介绍. 本文第二章是关于相对群。.,这方面最早的结果是在【中 证明的下面的定理.我们用表示的根即环的所有极大理想 的交.表示的乘法单位群,.』则表示中模,余的元素形成 的子群,称理想,为根理想如果它包含在中. 定理.. .设,是环的双边理想. 是半局部环 或, 环兄的根,则:,,??,,是满射.设是 .,中由 ,..,】和所有的形如 ~.,?,. ., 生成的子群,则 ,假设看作的中心上的代数是由“ 生成,且, ,则, 后来证明了 定理设,是环的根理想,则虬.,,/,这里., 是中由所有形如矿~.?,?,的元素生成的子群. 这两个结果都需要,是根理想,这是一个非常强的条件. 在?中就 提到希望能将,是根理想的条件去掉.在第二章的第一节中,我们 考虑了,不是 根理想时的情形.记,,,十,,,为“.,中由 .,,.,,?“:??,, ,?,.?,,。,.,?.,生成的 子群,本节证明了下面的定理 定理 ?. .设,是环的理想,满足稳定秩的条件即对任意 存在?使得口?则 ,,:,,/?.,?页 中国科学技术大学博士学位论文 年 第一事概逑 在第二章的第二节中。我们应用上面的定理进一步计算了半完全 环的相对 。群.环称为半完全环如果是半局部环且/的幂等元可提升. 对半完全环兄,因/半单,由?定理,/同构于 有限多个除环上的全矩阵环的直和,即有 /、??慨。 其中螈。为除环皿上的。阶全矩阵环.相应有幂等元分解:百?爵, 其中瓦? 是/中两两正交的中心幂等元集.因是半完全环, ?. 瓦 ? 可提升为中幂等元集。, 命题..】.命题..设是含幺环,, 是的理想,且 瓦/中幂等元可提升为的幂等元.则对任意页中两两正交的可数 可能 有限幂等元集钆%?,存在中两两正交的幂等元集‰,??使得对 所有,瓦% 由该命题可知,经过适当选择使得正交幂等元集的提升仍是正交 幂等元 集.故不妨设似,? 两两正交.设? 。,其中。?.则 是中的幂等单位,故必为单位元,于是 .斗令,,,,则 名?洲,其中直和是由的正交性保证的.设妒:屁/ 是到/的自然投射,则由爵,? 的中心正交性知 .于是上式可改写为 ??一,故? 盈 以下,。,:,?,。如上所叙,将是固定的,不再另外解释. 在本节中我们将通过对,,和,,的计算对,,的结构作更细 致的分析.记,为,,中由“:?,,?,? ,,生成的子群,我们证明了下面的定理 定理..设是半完全环,,是其理想,/ 。。 , 其中嘛。是除环破上的。阶全矩阵环.设 是中相应 的正交幂等元分解使得/ 。,其中,,:.若 ,??还满足任取?,, 则 ,,名,,/,, 在第二章的第三节中。讨论了环即存在?,使得有左一模同构第 页 年 中国科学技术大学博学位论文 三兰堡苎 ”舻的相对群.记,,为,中由曲。:? ,,?,?,,生成的予群。本节的主要结果是 定理..设是含么环,,是的理想,若对某个?,有左一模同 构 “,贝? ,,,/,,. 第三章讨论了相对如群,,给定一个含么环及其一个理想,,可 以定义另一个环 ,,其元素为,。,?,?,,元素之间的乘法定义为 ,,,?。,元素之间的加法定义为,,,。? 易知该环的么元为,,零元为,. 除非特别指明,本章中的记号与一致.令’只,,代表 ,中由 ,的子群 所有的。。.”,”?,生成的正规子群,显然从&’.,到 ,,,有一个同态.相对群,定义为’,,模掉由 所有交叉换位子 :”,?,,一”,“?,”?,,生成的正规 ,竺?将所有的交叉换位子映为 子群之后形成的商群.显然同态 .此处表示将,中任意,,。映为,因此它诱导出同态 ,,骂.这个同态的像是由所有的,,”,?生成的正规子群.由 ,,的定义可知, ,三萼复合?将,,映满 ,,,,定义为映射,,?,,的核.本文所用的定义直接 来自于】. 我们先介绍几种符号的定义和它们之间的关系.设,?,??, 符号,定义为 口,一一一一 ~口一一。圹。 符号是符号的一种推广.令 ,,?舻一?. 对,,?,,满足 , ,?,定义。一,为 。中以下元 素: 。。《。采帆。 这种符号又是?符号的一种推广.当,是根理想时,在中, 和计算了‘‘匝常”的相对,群《,,’给出了其生成元.游宏在】 中,更第页 中国科学技术大学博士学位论文 年 把这个结果推广至满足相对于理想,的单位稳定秩条件的情况. 至于 的相对.群,, ,,.于年证明了下面的定理 定理】,.设是含么交换环,,是的根理想,,,同构 于下列生成元和关系定义的阿贝尔群 生成元: ,,?或者?, 定义关系式为: ,口,~, 缸,,,?, ,口,,口 我们在本章中讨论了,不是根理想时的情况,我们证明了,当满足 条件 ,州即如果对,?,,且,则存在?,,使 得?,,,,,可以由,, ,,生成,关于这两种 生成元的定义可见第二节,其中的,,相当于定理中用生成元和关 系所 定义的阿贝尔群.由于, ,,都在 ,,中,故这个结果也说明了 ,,??,,是满射. 代数.理论与代数数论的结合一直是富有成果和引入入胜的.早在 年,著名数学家.就在】中指出代数数论中的许多经典猜想都跟?有 关系.其中著名的猜想指出数域的代数整数环的群与的 .函数的取值有关.近年来,围绕猜测,出现了许多深刻 的结果.其中我国数学家冯克勤】,秦厚荣】等人做出了重要的工作. 虽然然人们已经知道代数整数环的?。群的很多性质,但是真正确定其结构 的却不多. 多年来,对判别式为的虚二次域。只对以下情况计算出了其代 数整数环的?群: .,:,一,一,一,一,一,. 秦厚荣:一,;一,. .,:,一,一, 另外 在他的一篇预印本中解决了一,一的情况. 设是一个代数数域, 是其代数整数环,。。代表的所有阿基米 德位的全体.如果是包含。的一非空位集.我们令? ? .对所有的” 代表的一整数环.设是对应于”?的极大理想,记第 页 年 中国科学技术大学博士学位论文 第一章概速 /,则的范数】”?. 记亨是硒中有所有的‰,,?生成的子群.我们将 的有限位按范数的大小排列为 ??” , 。 记。。。,?,”。,。,”。 口, ;,/,其中’代表的乘法群.我们用巩表示与”对应的 映射,即对任意的,?, 巩,一。“”。/”。 在中,和证明了,对充分大的%诱导同态 氐 /;’ 是同构.由这个结果可以得到 巩:扣?%’. ?\。。 因此,如果我们能让充分的小,并且在??中找到“足够”多的关 系,就可 以决定出。.第一节中的主要结果就是给出了一种方法,可以使比 较小, 从而可以简化计算.我们给出的比】,】,,中给出的数量级更低. 例如当是判别式为的虚二次域时,令 /”/?/ ,我们证明了下面的定理 定理..如果踞,则 瓯:;/??%’ 是同构.即昭. 在下面的表中,我们对一些情况给出了的估值.第一行是虚二次 域的判 别式,第二行是码的值,第三行是在其预印本中给出的. 一 ? 一 ? ? 一 . . . . .. . . . . . .第页 年 中国科学技术大学博士学位论文 第一章概逮 利用这种方法,我们在第二节中计算证明了??/:一石为平凡群.在这里, 除了降低的值以外,我们还引入了同余的算法来计算关系,得到。【峄 是阶群或平凡群.然后我们利用下面的正合列 。。眯;吲。州。。娜伸。 其中?/,。是中的在纠完全分裂的一位集,通过 计算是一个×的群,得到,嘲中无阶元,从而 五嘲.另外易知’为空集,因此址学是平凡群. 人们已经计算出来的。,一般都是二次域.在第三节中,我们证明了 ?。鼢是平凡群.】是一个次数域婚】的整元环.确定它的整数环的: 群比虚二次域要复杂的多,证法和计算也有所不同.第二章相对。群 设,是环的理想,记,为自然同态/的核.实 际上,,与无关参见】.定义既,,为晶中包含所有初等 阵。,,。,,???的最小的正规子群.而,,则定义为所有这些 晶,,。的并正向极限由于跟理想,有关,所以,,比。 更复杂.实际上,当,时,,,就是普通的 著名的相对引理断言,,,是,的正规子群,由此导 . 出相对.群的定义: .,,,,/,,】, 由于跟 理想,有关,所以,,,比?更复杂.实际上,当,时,?,,就 是普通的耳. 和讨论了具有稳定秩的环的相对?。群的性 在【】中, 质.在本章中,我们将要研究具有稳定秩的环,完全环,以及环相 对,.。 群,,的性质. 我们用表示的乘法单位群,,,则表示中模,余的元 素形成的子群. 定理.,..设,是环的双边理想.是半局部环或, 环的根,则,:,,??,,是满射.设是,,中由 ,,,】和所有的形如~,,?,, ,,生成的子 群,则 ,.假设看作的中心上的代数是由生成,且 ,.,则,. 后来证明了 定理设,是环的根理想即,包含在的根中,则 ?,,?/,,,这里,是中由所有形如四~.? ,?的元素生成的子群. 这两个结果都需要,是根理想,这是一个非常强的条件. 在中 就提到希望能将,是根理想的条件去掉.在本章的第一节中,考虑 了,不是根 理想时的情形.记,,,,,,为,,中由 ,,,,,,“:口?,,?,?,,?,,,,,?,,生成的 子群,本节证明了下面的定理 定理..设,是环的理想,满足稳定秩的条件即对任意口,?. 存在 使得?,则,, ,,/,,第薅 年 中固科学技术大学博士学位论文 稳定秩为环的相对?群 ? 二章相对群 在第二章的第二节中。我们应用上面的定理进一步计算了半完全 环的相对 ,群.环称为半完全环如果是半局部环且/的幂等元可提升.记 “:?,,?,?,,生成 ,,为,中由曲 的子群,我们证明了下面的结果. 定理. 设露是半完全环,,是其理想,/尬。。皿?。, 其中慨。耽是除环上的阶全矩阵环.设。?是中相应 的正交幂等元分解使得最/竺嘛。,其中皿,.若 , ?还满足任取?,, 则 州刈:粼 在第二章的第三节中,讨论了环即非环的相对?。群.记,, 为,,中由口,,。:?,,?,,?,生成的子群,本 节的主要结果是 定理..设是含么环,,是的理想,若对某个?,有左只.模同 构”,则 ,,,,/矿,,. ?.稳定秩为环的相对群 设只是任一环,记是的单位群.我们先来介绍在】中引入的多 项式?,.该多项式是通过递归的方法来定义的,,,对 ?,?,,?, 。一。,?,.该多项式具有下面几条性质: 引理..对任意?和?, ?,有下面各式成立。 ,?, 。,?,一,,?, 。。一,?,一” ,,?, 。 。,。一?,, ,一.,。一,?.., ,?,。?当且仅当?。,。,?? 证明 引理中的,可见】,我们只来证明.由对称性,我们只需证 “商”.因为,?.,?。,?,口。一。,..,且口,?,口。?,, 所以存在。使,?,,由可知?..,.再由得到第页 中国科学技术大学博士学位论文 年 稳定秩为环的相对?【群 ? 第二章相对?群 。 下面两式: ,.,?四?,一,,?,,,,一““, ?四一小..,,,..,口一。,,..,,,.,? ?。一” 所以,口,..,?,一?..,口,,?, 。,。一,.,?,. 本章中,我们记,, ,一 ,,记,,为,,中由 .,“:?,?,,?,,生成的子群,记,为,, ,, 中由,,,,,,:?,,?, ,,,,,?,,生 成的子群, 引理.. ,,和,,都是,,的正规子群. 证明 ,,所以只要证明对任意 由,,,,,可知,, ,?,,’““?,,注意到”“?一一?一 口 一“。,即可知结论成立. 现在我们来介绍一下引入的稳定秩条件.首先我们固定一个含么 结合 环及其一个双边理想,回忆,..,。?“称为模的,如果存在 “.,。。?使得?。她?.进一步,如果还有 ,,.., 则称是,.模的. 定义..称满足条件。,,如果对任意的,一模向量?.。? 疗”,?,存在:。。, ,? 使得,?,二?“是。 模的.当,时,我们将。,,简记为。. 这里定义中的。乘在。的左边,类似的可以定义。乘在右边的情 况,这 样的条件记为心。,,’这里的表示兄的相反环 注意?,且。,,哥。,,’对任意?成立.如满足 ,通常称满足稳定秩条件. 定义..称满足条件:,如果。,,在“中的模向量 上的作用是传递的.同样的,当,时,我们将:,,简记为暖兄注 意对?,由:,,不能推出:,而:,,总是成立的. 引理..叭定理.设,是环的一个双边理想。假设条件%尺,, 。,强:一,,成立,则映射,,?,是满射.对所有 ,自然同态。兄,,/‰,,?,,是同构.第页 年 中曾科学技术大学博士学位论文 兰塞丝坚些些坚 兰三兰堡兰垒:竺 . 设,是环的一个双边理想,假设条件只成立,则 推论 ,月.,.,,是满射,自然同态,/.,?尺.,是同 构. ,可知.,成立.又 因为条件成立,由命题 证明 可知 由可知,满足。。,而:,,总是成立的,故由引理 巴 结论成立. 以下我们都假设环满足条件.考虑自然映射 几、 . ,: .,,:,, 日 . 引理 ,,?,, 证明 取,则,,.,.从而尺,,?..,为了证明 另一包含关系,考虑下面的等式: :::::::,嚣?:,,:::? 。..? 这里的口,、?,?,假设、,,可逆,令一., . 从引理 的证明中,我们可以看到此时有 ,则有.,,, ....,,?。成立.所以 吲?州吲: ’’:’?一 ,。。,。,。.。, ’:’一,三之芝,:。:口 ’,’:,’;??’:’一,。。.:。,。,: ?如‖,第页 二年 中国科学技术大学博士学位论文 苇二章相对?群 ? 稳定秩为环的相对?群 这里的?,又因为 ,一,。,,一 。和,。 \、 \、 ,/ ,,,/ 吲:;州洲州‖’。’‰? ?,,. 注意到 :一’。::一。。。, 因为,.,?,,,所以?.,.?, ,,, :一。 ? 而 州:;州引二? 所以 圳::。::?吲‖’。’蚰油 :。:;::。:::一。’ 口 引理 .如果口.,,?,,?,且有下式成立 吲洲州州洲::。中国科学技术大学博士学位论文 第页 竺?, ?稳定秩为环的相?,; .一 兰三兰竺垒坚一 。。。。。?一::竺兰竺窒:兰:竺竺霎 则?., 证明首先易知?, ?.,且 \、,, ,..,/ \ /’ ,麓托麓麓? 所以,,.、一从引理..的证明可知 。,,,.,,.,..,.口一?.露, ::州? 目??只,, 证明 易知?,”?,,’由引理中的等式可知 翟黝;:‘ 多以陋?虮,?刊?。出?”,咖“:胛.矿.??刚 :?:;『 , 的形式,其中?‖兄,,”?‖兄,。,?。?,. 证明任取 月::?,:,,,. “钆?,.因为满足。,从而满足:只,, ”“??”””‘。““’ 型,:,妻?? 所以存在?,使得口?,,所以 :?;?第 页 年 中国科学技术大学博士学位论文 ?稳定秩为环的相对群 苇二章相对群 ?,又 其中’?,,,’ ,。’、/?“、 /。’ 、 一。’。’一。/ 。, /。 /。’ 其中’‘?,,?’” 三 所以 吩??‖她: 即。尺,,中每个元素都可以写为 吲。?; 现在我们来定义一个映射 。: 。,,,???.,,,,,,,。 :。。;一面 引理. 上面的。是良好定义的. 证明 如果 洲。 。。;二::,斗 ” “ .“ ? 一, 叫 , \、??/ /,,??、\ /,,??\ \、??/ /,???\ \、??/ /,???\ \、??/ \、?,/ ~ /,,??\/,???\ 一\??/ 这里的?,应用引理. 的转置可知,一“一”’矿.所以 兰 ’尺,, 一。年 中国科学技术大学博士学位论文 第页 稳定秩为环的相对??群 第二章相对.群 ? 口 因为,, ,上面的引理诱导出映射: :刚一黜 定理..任给?,映射 妒:刚黼 满足,川妒. 该定理的证明需用下面两个引理. 引理..设 . 二?,. 则,尸.~妒.. 设 证明 州::曩 则 ?:;:::,::二; 。。。::。。:。. 假设 尸一?:::’;, 则 ?“。,,。::’,,一:。::中国科学技术大学博士学位论麦。稳定 秩为。环的相对?.罢 :.。年..,,。 兰三兰望兰竺茎????????』兰兰兰三???一 尸“。 ,,一妒 可知“口“?、所以“三’”‘。 由引理. . 设 引理. , 、 尸: ?刚、 一妒【.. 贝 设 证明 : : 、 、、,?,/ 、、??/ ? , 、、??/,/,??\\、、?/ /,\\、/ /??一/ /,???\ 则因为一 ” , , \、,/ /,??、\ 、、?/ 、、,?/ ,,???\ /,???\ 所以 九 “,。 一 ? 一\、??/ ,,?、、 \、?,/ \、,?/ ,,???、\ ,,?、\ ? 。二。,城: 嬲九州置“‘?. 。:姑:置“‘? 三。 、,【 /‘ ?,所以 可知, 由引理. 任给?,尸?岛,有妒“妒 推论 因为可以写成形如 证明 ::四 ,年 中国科学技术大学博士学位论文 第页 二章相对? 群 ? 稳定秩为环的相对’,群 和 ?::州;小 的元素之积,再由引理. 和引理 口 .可知结论成立. 定理..的证明 因为、,是,,的正规子群,这等价于证 ?岛,妒..又因为任意岛,,中的元素都可写为形如 尸抄一 的元素之积,其中?,.?易,且对任意?尺,, :;;?.尸? 由引理, 和推论 .可知结论成立, 口 定理 .说明了存在映射 :,。?。/.? 这个映射显然是同态 ,: ,,/?,,?斗,,/岛,, 的逆,所以是单射. 定理. 设环月满足条件尺,是的理想.则’只,, 。尺.,/?.,. 证明 由推论 .可知, ,, 尺,,/岛,”再由该定理上一 段讨论,只需证是满射.:给?。,设 .,,,。.。.,,. :::。:;,,”第页 中罾科学技术大学博士学位论文 年 ? 半完全环的相对’群 第二章相对?群 则 一 ” 九 ? ” 癌 /,??、\ \、??/ /,,??、\ ,,,??一/ \、??,/ /,,???\ \、??/ /,, ???\ \、??/ \、?,/ ?了弘则, 所以是满射,从而是同构. ?.半完全环的相对虬群 设为含幺环,的根记作,的单位群记作 ’兄.再分别 以和月“记的单位群的换位子群和化群.熟知,环只称为半 局部环若/半单.而若是半局部环,且/的幂等元可提升为尺 的幂等元,则称为半完全环. 我们约定下面若无特别说明,均指半完全环.易知是满足尺。条 件的. 对半完全环、因/半单,由 ?定理,/同构于 有限多个除环上的全矩阵环的直和,即有 /。?‘?。 其中‰。。为除环。上的;阶全矩阵环.相应有幂等元分解:百巧. 其中酉,?。? 是/中两两正交的中心幂等元集.因是半完全环, 爵, ?可提升为中幂等元集。,? . 命题..,命题..设是含幺环,,?。,是尺的理想,且 再/中幂等元可提升为的幂等元.则对任意再中两两正交的可数 可能 有限幂等元集扎%?,存在中两两正交的幂等元集钆..使得对 所有,瓦% 由该命题可知,经过适当选择使得正交幂等元集的提升仍是正交 幂等元 集.故不妨设, ?两两正交.设.产.其中,?则 【是中的幂等单位,故必为单位元,于是.%令斤::兄。则 什::。十?幽,其中直和是由,的正交性保证的.设:/., 是胛到/的自然投射,则由瓦? 的中心正交性知?七,第页 年 中国科学技术大学博士学位论文 半完垒职的相对?謦 ? 每二章相对,、。群 蕊,故?:,?于是上式可改写为 ? 式 冗:。 以下,‰% .。如上所叙,将是固定的,不再另外解释 在本节中我们将通过对’。,和.、,的计算对硒,.,的结构作更细 致的分析. 命题..设为半完全环,,是其理想,则,?兄。.,,一, ,,,其中:?,。.,。。,。 证明设“?“矗.,由的分解式. 知,存在?:?只.’?/尺使得 。?:’因为?’?:’:?’ 所以?“:.?:&’;?,’ 记 品 罡 : ? 一? 。.“/:十 .?。‘,则??:.下面来证明,?二,,。 ? 设为“的逆,。?’.其中?矗.. ,,则有【?用自然投 射作用即得一, 丽 一毗 丽 一 。?七 ,?七 。?州 式中百万万,。?.因为爵可万而另有分解式玎 匪 分解的唯一性有百两瓦于是 。.其中:?,尺两边分别夹乘 ,得。,。。:? 。。.故有“‖:。十。.而一。,; ,,至’忌,其中:,。.,:见中定理【于是 。。.。:即有:?“。又 ?/.。?. ? 引一?:一?叩’。一??’一七 ? ? ? 叫一?愀一?叫’,~?唧一 : ? ? , ? 匀‘ 卸 以 所 ? ? 一 一 , ‰因 ? 一 , , ?为 十而 ?以 ?昕 : 四第页 年 中国科学技术大学博士学位论文 半完全环的相对?群 ? 第二章相对,群 设?。使得 反之,任取壹,其中。?,,;,口?, ; ,%则 “ 叶 。?七 。?七 。?? 。?七 。?一 口 其中?。?,,于是?吨?,,,进而“?., 注易见上面命题中的求和?盈,,实际上是直和. 以下为了记号简单起见,记。,.,兄,.,:,, 命题 对半完全环及其理想,,有 ,,?,,。 证明 先证,?。,,;,气 首先,易知 ,,三?;,』。,气 其次,任取?,,由命题 ,可设壹“:,其中,?:, ?。设“?鼠,,为毗的逆,则 ?“。十?“ ??:,,/ 注意到。是,,的一个正规子群即对任意。?.,叫?,, 有一?,,可知,,??。,,.,,所以 ,,??。,,。, 第页 年 中国科学技术大学博士攀位论文 半完仝环的相对?群 第二章相对:群 ? :?,毛 女?, 十 喝 。?七 ?确 所以对任意的?矿,有 ??【,,: ?:,?。。,‘:?毛? ?,,,,?加 再由?以,的正规性可知 ? ,,??:,十?% : 女?, 口 反过来的包含关系是显然的,所以命题成立. 引理. 设,是半完全环的理想,则.?。,,:一, ? 证明左边包含右边是显然的.反之,任取“?.由引理 知存在第页 中国科学技术大学博学位论文 年 兰兰童竺堑皇堡垒兰 兰三兰望兰垒矍 。’?圭:.,;.??使得/.设;%,其中。?,则 ? 洋, 。??% 【 ?。? ?: ?融 ?口 ??% ?? ?, ?虮??? ?.‘ 其中;’?,;?蛳?。‖??。??, ‘ ?。十 ?? ??。? 。? ? ?% ?。胁??。? ‘ 士 其中妒?以;%?四 ??? ? 重复上面的过程可得。;;?十?。? 二 ? ??。 ,? ?%。黝?。?士 ?。黔 嚣 壬】卑 第页 中罾科学技术大学博士学位论文 ?.章相对‘群 ?二半完全环的相对?群 取” 十?。,?,,, 女?’ 则 ”一” 。女 ‘彳.十; ?。??。, 所以集合和 厶可交换.所以的乘积展开式中的属于“的项都 可移到左边以中.所以 ?以, ? 由此结论成立. 一 我们将证明在一定条件下,引理..中的项圯在。,,中是平凡 的,为此我们还需要一些准备工作. 引理..设,是半完全环的理想,若对任意?.都有。,,。;: 则 只,‖?。.‘? 证明 首先验证。名,,中元素与十,忽?%中元素具有某种交换 性.设?,?矿,.,?.则 , 勺?‰?,?。一勺女?“:。 ‘产 ?“?“?“:? ‰ 一, ?宁?七第页 年 中国科学技术大学博士学位论文 半完全环的相对??群 ? 第二章相对?。辨 ? 而且因??,,?尺.故而 任取单换位子”一”一?,,,.由引理..可设 叭 。?曲 。? 嘶 “ 。?七 。? 哟 其中,,。?,再对它们分别求逆得 一心 。?七 。?崩 ?哟一一 一吒 。?四 ?嘶 。?同 其中 一十 勺 。?闰 ?哟 嘞 。?川 。? ? ?嘶 。? 于是由上面所证明的交换性即知 ”。”“?‰?“?? 哪:“不? 。, ? ? 。?。。 并且等式右边的前四项的乘积即?”??弓,砬,,;,而后四项的 乘 积显然在,’中,考虑到对任意?,都有。。,由引理..的 证明可知后四项的乘积实际上在 “中.所以 ? 吃 ??‖,,。’ 。?矧 ?响 一 一第黄 中国科学技术大学博士学位论文 定 半完全环的相对群 ? 苇二章相对,群 口 因此由归纳即得引理成立 现在我们来解释一下引理. 中条件。?,,?的含义.对 半完全环.我们可以定义它的箭图,,,其中代表顶点集.,? 代表箭头集:己 茎??,且,?参见反映了尺 的复杂程度.若,,中没有长度为的循环道路,即对任意?。??,。 中所 和忌。中只有一个存在于中,则显然。尺:故引理. 加的条件实际上相当于要求的箭图中没有长度的的循环. 的条件,则 引理. 若半完全环及其理想,,满足引理. 以 ?月.,。::。且, ? 证明首先任给,,,.,.口?.其中..?,.?则 口.,, ? :?。。?:?,?:?。?:』 ?。?:?:?:?:?;?。?。 ?:邮“巳十:。‘ 其中’? 设:;。.。,。。,:。。,则由上式可知 。,,,?。,;。。。十’ ?虬?.哦’ ?;%一,。十 其中 一 【 ? 托 。十?。?。,, 。九 州年 中国科学技术大学博士学位论文 第页 节二章相对?群 ?芈完全环的相对’拜 同理可知存在??以,使得 ? ,,,?:十,。,埘: 所以 ,.,,,.一‘ ?。%“?叫?。“?.口。 ?。% 。,。?;,。,?。一。‖一 : 对适当的?、, 由引理..可知, 砧 ??矿尺。 卜 ???,,』: 。川:川 哟?嘞 所以 ‘ ,..,,,一??尺。 嘭 ?雨 。?川 因此 ,,??.,。 噶 : 哟 :?川 反过来的包含关系是显然的,故 』.,』。名,;,,:” ? 亡 定理. 设是半完全环,,是其理想,/帆。...?。。研 其中.‰,是除环上的阶全矩阵环.设, .。是尺中相应第页 年 中罾科学技术大学博士学位论文 半完全环的相对。群 ? 第二章相对“群 【 若 。。 的正交幂等元分解使得。露 舯地 , 。?还满足任取?、 则 酬刚刮:,粼 证明 首先我们有: . 吲理 ,,黜 圭:.。矗,” ???』二引理.. ‘善‰哆粤?’ 若我们再能证明 ?。,,?.,、 则由引理. 即知上式可化为 ?,,; ?,,』芋????一:,、,; ?,,, 可知 叉由于忍是局部环,它的任一理想都是根理想,由中定理 州取瓷鬻. 于是 ?:,,, ?,,: 得到结论. 下面我们来证明..式.由题设条件知, 『,?嘲, ‘? 二 设 托, ???。? ,磁正 第页 中国科学技术大学博士学位论文 ?二章枢对 群 ? 环的相对?群 二一 则一方面:。 肚 于是对每个 勺码 舢 互 已氩 面故叫而 式 成 ‰故而?: 方 岛犯 鳓 另一 ?. 环的相对,群 一个环被称作环 .若存在?,使得兄 左.模同构. 本节中的主要结果是下面的定理: 定理. 设是含么环,,是的理想,若对某个?,有左.模同 构”,则 ,,.,/.,. 下面将对的情形给出证明,对一般的.完全类似可证.我们先 来作一些准备工作. 首先由可知,存在 一:: 使得,腰.定义映射 ,: 一: ,,. 则由,的性质可知,是同构.递归的定义 。;。二。。、, 芦?:口二。 则?是‘×的矩阵,是 ‘的矩阵,。女仇,。.巩?:,类似的,可 以定义同构 : ,,?,,,.? 几诱导出自然的商同态 ,: 【,,?斗,,/,,, .呻??。. 这里百表示在,,/,,中的同余类.第页 年 中国科学技术大学博士学位论文 环的相对?群 ? 第二章相对?群 引理.. ,, 证明 先看女,这时邑只,,中的元素可由形如。的元素生成 此处 / 、 、??,.? \ / 故我们只要证明 一?,, 即可.而 一,,.一::?& 设 口: ;口 一一八:。 \/ 贝:,, 所以 厶“ ?;:::一因为:: ?, 对一般的,完全类似可证. 引理. 说明存在同态 妒:,/岛,,./’尺.,,万??? 对一般的,设‘一‘,定义?。妒??.其中“。 ?表 示自然嵌入: ?: :,,/。,,。./。,, 引理 .存在群同态 妒:,,,/,,龟 中国科学技术大学博士学位论文 第页 鬻二章相对群 ? 环的相对?群 使得对任取的有妒。妒。。,其中。是 的自然映射. 证明 因为,,是正向系。,,/晶, 。。:的正 向极限,所以如果能证明对任取的都有‰‰?则由正向极限的 泛性质可知引理中群同态的存在性. 下面我们分三步来验证这个结论. 先验证,的情形.也就是证对任取“?,,有 ?:弘圳?四,” 而 芦”。?。 ? 三一,, 因为口, 再验证‘。,‘,女的情形.即证对任取?。有 ;一一.&一,”。。 ,,,,, 口 ,。一。。 仇 扯。卜 “.、几 风 、, 口 理 & ? 趾。八,。 一 \、,,/ 瓯 \ 女一 口 : 、几、第页 年 中国科学技术大学博士学位论文 环的相对?群 ? 第二.章相对、,.群 再令巩一一?,即化为中情形,于是得证. 口 对一般的情形由中所证和。,的定义容易得证, 中的 定理..设是一个环,是它的一个理想,则引理. 妒:“,,?’兄./,, 是个同构,即,,,/., 证明 我们先来验证妒是个单射.令 川引,一,一叫删郴, 一“。 其中五表示?,,在.,中的像.由引理 .可知,.,? 这样就有映射 ,:,/,,?.,,,,/., 一“。 再由引理..的证明步骤知对任取的“?.』 /。 、 一 面 妒,百口\、 / 即?所以妒是单射. 再证满.对任取??,令?,则妒万面,故满. 口 综述之即知妒是同构,定理得证.第三章相对虬群 给定一个含么环及其一个理想,,可以定义另一个环,,其元素为 一. ?,?,,元素之间的乘法定义为,,,,元素之间的加 法定义为’。,,易知该环的么元为,.零元为. 除非特别指明,本章中的记号与一致.令 ’.,代表 ,中由 所有的,,,?,生成的正规子群,显然从’兄,,到 ,的子群 ,, ,有一个同态. 相对群,,定义为 ’,,模掉由 所有交叉换位子 :,,,。如,一儿“?,,?,,生成的正规 ,兰笃将所有的交叉换位子映为 子群之后形成的商群.显然同态 .此处表示将,中任意。。,,。映为:,。因此它诱导出同态 ’月,,兰写这个同态的像是由所有的:,,?,生成的正规子群.由 只,的定义可知, ,旦骂复合?将兄,映满 ,,定义为映射,,??,的核. 以上相对.群的定义的导出经历了一个逐步探索的过程.最初, .等人用定义相对群,相对群的方法定义了相对?。群 ?;.,这里加以表示其与下面所说的定义不同,并且证明了下面 序 列的正合性 ,,?/,,/ 叫‰.,/, 但是在七十年代初证明了无法定义一个从环范畴到阿贝尔群范 畴的函 子虬使得能够接在上面长正合列的左面. 在 中由此断定 这个;,,的定义没有多大用处. 后来用同伦群的方法给出了高阶?群的定义,同时也给出了高阶 相 对“群的定义参见第一章但是这样定义的,,是一个阶同伦群,没 有 给出虬,,的具体的代数刻画.后来..和 才给出了 具体的代数定义.本文所用的相关记号直接来自于 当,是根理想时,在中,和计算了“通常”的相对。群 凡。,,给出了其生成元.游宏在中,更把这个结果推广至满足相对 于 理想,的单位稳定秩条件的情况.至于相对?群?, 于年 证明了下面的定理 定理,.设是含么交换环,,是的根理想,只,,同构 第页 年 中国科学技术大学博士学位论文 ?基本概念和性质 第三章相对?群 于下列生成元和关系定义的阿贝尔群 生成元: ,,?,或者?,.曲?. 定义关系式为: ,,~, .,,?, ,,, 我们在本章中讨论了,不是根理想时的情况,我们证明了,当满足 条件 .,即如果对,?,,且口兄,则存在?.,使 得 ?,,,,.,,可以由, ,,生成,关于这两种 生成元的定义可见第二节,其中的,,相当于定理中用生成元和关 系所 定义的阿贝尔群.由于, ,,都在&:,,中,故这个结果也说明了 ,,??,,是满射. ?.基本概念和性质 我们先来回顾几个常用符号的性质及其相互之间的关系.以下都 指含么 结合环,代表的乘法群. 设,?兄,符号他定义为 它具有以下几条性质: ,。.。 .,. ,? 设.?.一?‖尺,?符号,定义为 一一。 一: 一。~一市 它具有以下几条性质: ,,“ ,,,? ,.,